(อาจารย์เชาวนี) ไปแข่ง KidBright แล้วก็นักเรียนที่ไม่สบายด้วย วันนี้ครูอยากให้ลูกทั้ง 2 คนนะตั้งใจ ตั้งใจเรียนนะคะ ครูจะทบทวนสัปดาห์ที่แล้วว่าครูสอนเรื่องอะไรไปบ้างนะคะ แล้วก็มาเริ่มเรียน วันนี้ที่เราจะเรียนนี่ ต้องใช้ความสนใจแล้วก็ตั้งใจมาก ๆ เลยนะคะ เพราะว่าถ้าลูกไม่สนใจไปนิดหนึ่งนี่ มองไปที่อื่น ไม่มองพี่ล่ามนะคะ ไม่มองตรงที่หน้าจอที่ครูพาทำ ลูกก็จะงง ว่าเอ๊ะ ค่านี้มันมาจากไหน วิธีการคิด คิดอย่างไรนะคะ เพราะฉะนั้น ฝากลูก ๆ ให้ตั้งใจดูนะคะ เรามาทบทวนกัน สัปดาห์ที่แล้วสำหรับนักเรียนที่ไม่อยู่นะคะ ลำดับ แต่ก่อนนี้มันคือฟังก์ชันเป็นคู่อันดับใช่ไหมคะ แล้วมันจะมาเป็นคู่เป็นคู่ ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของในคู่อันดับ ก็คือเลข 1 ใช่ไหมคะ ฟังก์ชันคู่อันดับมันจะเริ่มจาก 1 เสมอ 1 2 3 4 5 ไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้น อันนี้ เป็นสิ่งที่ลูกจะต้องเข้าใจ Concept เองนะคะ ให้รู้ให้ได้ว่าเริ่มแรก คือ 1 นะ รู้เอง มันจะเป็นแบบนี้เสมอ ๆ เพราะฉะนั้น ไม่จำเป็นจะต้องเขียนเลข 1 เลข 2 เลข 3 แล้ว ครูนะคะ จะตัด 1 2 3 นี่ออกไป แล้วก็วงเล็บก็จะตัดออกไป สิ่งที่จะมาเขียนลำดับ ครูจะเอาตัวที่อยู่ข้างหลัง ตัวที่อยู่ข้างหลังมาเขียน อย่างเช่นลำดับตัวนี้ลูก มันมาจากคู่อันดับ คือ (1,9) ใช่ไหมคะ ตัวที่ 2 ก็คือ (2,18) (3,27) มันเริ่มจาก 1 เสมอ เพราะฉะนั้น ครูจะตัดออก ครูเอา 1 ออกเอา 2 ออกเอา 3 ออกเอา 4 ออกนะคะ มันก็เลยเหลือแต่ตัวเลขที่อยู่ข้างหลัง เข้าใจนะ เมื่อตัวเลขที่อยู่ข้างหลังเหลือเท่านี้ มันมีเหลือแค่นี้แหละ ทีนี้ สัญลักษณ์ที่เพิ่มเข้ามา คือพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3 สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เข้ามาเพิ่มนะคะ พจน์ที่ 1 คือ a1 สัญลักษณ์ a1 นี่ เวลาเขียนนะลูก a เสร็จแล้วเลข 1 จะห้อยอยู่ท้ายนะคะ เราจะไม่เขียนเลข 1 ขึ้นมาเสมอเท่ากับ a เราจะเขียนต่อท้ายลงไป ท้าย a นะคะ วิธีการเขียน a1 หมายถึงตำแหน่งที่ 1 ตำแหน่งที่ 1 ของลำดับ เพราะฉะนั้น ลูกก็นับไป มันคือค่าอะไรคะ มันคือเลข 9 ตรงกับ 9 ก็คือ a1 นั่นเองนะ ทีนี้ a2 ล่ะลูก a2 ก็เหมือนกัน ตำแหน่งที่ 2 ใช่ คำตอบคือ 18 นั่นเอง เข้าใจนะคะ a3 ล่ะ a3 เท่าไร a3 นับมา 1 2 3 มันตรงกับ 27 ใช่ไหมคะ มันตรงกับ 27 คำตอบของ a3 ก็คือ 27 แล้ว a4 เท่าไรลูก ถูกต้อง a4 ก็คือ 36 นะคะ a5 45 แล้ว a6 เท่าไร 54 เยี่ยมนะคะ ง่ายไหม อันนี้ง่ายไหม ง่ายนะคะ เมื่อไหร่ก็ตามที่ครูให้ลำดับมาปุ๊บ แล้วครูให้หาตำแหน่ง a1 a2 a3 หรือแม้กระทั่ง a ต่าง ๆ นะคะ อย่างตัวนี้ มันจบไหมคะ มันเป็นลำดับที่สิ้นสุดไหม สิ้นสุดเพราะอะไร สังเกตตรงไหน เพราะว่า ข้างหลัง 54 นี่ ตัวเลข 54 มันไม่มี ... ต่อท้าย เพราะฉะนั้น ตัวนี้คือลำดับจำกัดนะคะ ก็คือจบอยู่แค่นี้ มันมีแค่ a6 เท่านั้นไม่มี a7 ต่อ เข้าใจนะ ทีนี้มาดูลำดับอีกตัวอย่างหนึ่งนะคะ ตัวอย่างที่ 2 เห็นไหมคะ ว่าตัวสุดท้ายมันมี ... อยู่ใช่ไหมคะ ... จุดนี้ แสดงว่ามันจบหรือไม่จบ ยังไม่จบนะคะ มันจบยังเลย มันมีตัวเลขต่อไป ข้างหลัง มันต่อ ตัวเลขต่อไปคืออะไรล่ะ วิธีการคิด คิดอย่างไรลูก เราจะคิดอย่างไร แต่ที่แน่ ๆ เรารู้แล้ว a1 a1 คือเท่าไรคะ a1 คือเท่าไรลูก a1 คือ 5 ใช่ ดูง่าย ๆ มากเลย ตำแหน่งที่ 1 คือ 5 a2 7 a3 คือ 9 a4 คือ 11 a5 คือ 13 a6 คือเท่าไรคะ a6 ก็คือตัวที่ติดกับ 13 นี่ คือเท่าไร 15 บางคนบอก 16 บางคนบอก แท็คบบอกเท่าไรลูก 17 เหรอ เอาจริง ๆ หลากหลายคำตอบมาก 18 แล้ว 16 วิธีการคิด 15 ก็มี เพื่อนบอก 15 ก็มี ลูกดูนะ วิธีการทำอย่างไร ครั้งที่แล้วครูบอกแล้วใช่ไหม หาผลต่างร่วม ก็คือสัญลักษณ์ d ตัว d คืออะไร ของลำดับนี้ ลูกดูนะ 5, 7, 9, 11 ลำดับนี้มันเพิ่มขึ้นหรือมันลดลง มันเพิ่มขึ้น ใช่ มันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ นะคะ มันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้น ค่า d จะต้องเป็นบวกเสมอนะลูก ค่า d จะต้องเป็นบวกเมื่อมันมีค่าเพิ่มขึ้น ทีนี้ 7 กับ 5 ที่อยู่ชิดกัน 7 ลบออก 5 เหลือเท่าไร มันเพิ่มเท่าไรคะ มันเพิ่ม 12 หรือเพิ่ม 2 เอาดี ๆ มันเพิ่มอะไรคะ 7 ไม่ใช่บวกนะลูก 7 เอาออก 5 บวกเท่าไร 2 ถูกต้อง 2 นั่นเอง ก็หมายถึง 5 นี่มัน บวกมา 2 ใช่ไหมคะ มัน + 2 5 + 2 = 7 แล้วตัวเลขต่อมา 7 บวกกับ 2 มันก็จะเพิ่มทีละ 2 ทีละ 2 ทีละ 2 ไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้น a6 ตัวนี้ หมายถึง 13 บวกเท่าไรลูก 13 บวกเท่าไรคะ 13 + 2 คำตอบคือเท่าไร 15 นั่นเอง a6 = 15 แต่มันยังไม่จบนะ ถ้าครูจะถามว่า เออ ลำดับนี้ ที่ a50 คืออะไร a50 คือเท่าไร เท่าไร ลูกตอบได้ไหม ลูกสามารถคิดแล้วก็ตอบครูได้ไหม ประมาณทีละเท่าไร เราประมาณไม่ได้ เราจะต้องคิด เราก็ต้องทำทีละลำดับ ทีละลำดับใช่ไหมคะ เราบวกมาเรื่อย ๆ เรื่อย ๆ เรื่อย ๆ ตอนนี้เราได้ a6 แล้ว เราก็ต้องหา a7 หา a8 a9 a10 ไปเรื่อย ๆ จนถึง a49 มีค่าเท่ากับเท่าไร เมื่อเราบวกไปเรื่อย ๆ ก็คือ +2 +2 +2 ไปเรื่อย ๆ นะคะ จนถึง a49 เราก็จะสามารถหา a50 ได้ a50 หมายถึง a49 + 2 มันก็จะเท่ากับ a50 นั่นเอง แต่ทำแบบนี้นานไหมลูก นาน มันนานมากกว่าจะมาบวกทีละ เออ ลำดับบวกไปเรื่อย ๆ ใช่ไหม เออ ดีมาก เพียวถามว่าเทคนิคที่มันง่ายขึ้นใช่ไหม วันนี้แหละลูก สิ่งที่เราจะเรียนนะคะ เราจะมาหาพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ มันจะเขียนพจน์ทั่วไปอย่างไร วิธีการคิดนะคะ จะทำอย่างไร พจน์ทั่วไปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ก็คือ an นะคะ an คือพจน์ทั่วไปนะคะ ก่อนอื่นเรามาทวนเรื่องของผลต่างก่อนนะลูก ผลต่างตัวนี้ สำหรับเพื่อนที่ยังไม่มา สัปดาห์ที่แล้ว เมื่อครูกำหนดลำดับมาให้ลำดับหนึ่ง ลูกจะต้องหาให้ได้ เพราะมันสำคัญมากในการหา an นะคะ หาพจน์ทั่วไปมันสำคัญมาก ลูกจะต้องหา d ให้ได้ หาผลต่างร่วมให้ได้ของลำดับ จากที่สังเกตดู 1, 4, 7, 10, 13 มันเพิ่มขึ้นใช่ไหม เพิ่มขึ้นไหมคะ มันเพิ่มขึ้น เพราะฉะนั้น d เป็นอะไรเป็นบวกหรือเป็นลบ อุ๊ย ค่า d จะเป็นบวกหรือเป็นลบ มันเพิ่มขึ้นนะ ค่า d เป็นบวกหรือเป็นลบ เป็นบวกนะคะ ค่า d มันจะเป็นบวกเสมอ ถ้าลำดับมันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ นะคะ ทีนี้วิธีการหาค่า d หาอย่างไร ตัวนี้คู่แรก ลำดับ a1 a2 นะคะ เอามาลบกัน เราจะต้องเอาตำแหน่ง a2 ที่มากกว่าถัดไปนะคะ ตั้ง แล้วลบด้วย a1 4 ลบออก 1 เหลือ 3 ถูกต้อง ใช่ ตำแหน่งกับค่า ดู สลับกัน มันจะต้องสลับกัน เอาตัวที่อยู่ข้างหลังมาตั้งข้างหน้าแล้วลบ โดยนำตัวข้างหน้ามาลบออก เข้าใจนะวิธีการ คู่นี้ลงมาตรงนี้ คู่ที่ 2 7 - 4 นะคะ ก็เหลือ 3 เท่ากัน ต่อมาคู่นี้ 10 ลบออก 7 ก็เหลือ 3 คู่สุดท้าย 10 กับ 13 ลูก 10 กับ 13 คำตอบ 3 เหมือนกันไหมคะ แต่ละคู่เหมือนกันหรือต่างกัน เหมือนกัน เพราะฉะนั้น สรุปได้เลยว่า d เท่ากับ 3 นะคะ d = 3 โอเคนะ คราวนี้ สิ่งที่ลูกจะมาเห็นแล้วลูกจะงง ลูกจะงงว่าคำตอบมันคืออะไรกันแน่นะคะ คำตอบมันคืออะไรกันแน่ ก็คือผลต่างร่วม เมื่อลำดับนั้นเป็นลำดับที่มีการลดลงไปเรื่อย ๆ การลดเห็นไหม 6, 2, - 2, - 6 มันลดลงไป เมื่อไหร่ก็ตามที่ลำดับนั้นมันลดลงไปลูก ค่า d มันคือติดลบนะคะ ค่า d จะต้องติดลบเสมอห้ามลืม จำให้ได้นะคะ รู้ให้ได้เลย Concept มันมีแค่นี้ ถ้ามันเพิ่มขึ้น ค่า d เป็นบวก ถ้ามันลดลงค่า d เป็นลบ เข้าใจนะ ทีนี้มาดูวิธีการขั้นตอนการคิดเหมือนกันเลย ลูกมาดูคู่แรก 6 กับ 2 เราจะต้องเอาตำแหน่งที่อยู่ข้างหลังมาตั้งก่อน 2 ลบออก 6 2 ลบออก 6 มันเหลือเท่าไร มันเหลือ 4 ก็จริงนะคะ ดู มันเหลือ 4 น้องเพียวตอบถูกแล้ว มันต่างกัน 4 แต่ทีนี้มาดูสัญลักษณ์ข้างหน้า 2 นี่มันเป็นบวกใช่ไหม 6 นี่มันเป็นลบลูก ตัวที่มากกว่ามันติดลบ เพราะฉะนั้นเราอย่าลืมนะคะ เอาสัญลักษณ์ - นี่ มาใส่ข้างหน้าคำตอบที่เราหาได้ ก็คือ 4 นี่ ดูว่าเลข 6 กับเลข 2 สัญลักษณ์ข้างหน้าน่ะ ตัวที่มากกว่าน่ะมันคืออะไรนะคะ อันนี้มันติดลบอยู่ เพราะฉะนั้น เวลาเราหาผลต่างออกมาแล้วปุ๊บนี่ได้ 4 ผลต่างได้ 4 ปุ๊บ เอาลบนี่ย้ายมาใส่คำตอบนี้ด้วย คู่นี้มันก็เลยกลายเป็นผลต่างระหว่าง 6 กับ 2 มันลดลง -4 เข้าใจนะ โอเค ทีนี้ มาคู่ต่อไปลูก มาคู่ต่อไป คู่ที่ 2 ลูกเห็นไหมคะ 2 กับ -2 ใช่ มันเป็นลบนั่นแหละ แต่ว่าค่าข้างหน้า ตัวนี้มันเป็นลบใช่ไหมคะ ค่าตัวที่ 2 ลบด้วย 2 ลบกับลบ เหมือนหรือต่างกัน มันเหมือนกันลูก สัญลักษณ์ข้างหน้าก็เหมือน สัญลักษณ์ข้างหลังก็เหมือน มันเหมือนกัน เมื่อไหร่ก็ตามถ้าสัญลักษณ์มันเหมือนกันให้เอาตัวเลขน่ะ มารวมกันเลย ไม่ต้องเอามาลบนะ เอามารวมกัน จำให้ได้ ข้อแรกนี่ สัญลักษณ์ข้างหน้ามันต่างกัน ลูกก็เลยเอามาลบออก เอาตัวที่มากกว่าตั้ง แล้วเอาตัวน้อยมาลบ แต่ในขณะที่ตัวนี้ สัญลักษณ์มันเหมือนกันลูก พอมันเหมือนกัน เอามารวมเลยไม่ต้องมาลบนะคะ 2 กับ 2 มารวมกันได้เท่าไรคะ 2 กับ 2 รวมกันเท่ากับ 4 ทีนี้สัญลักษณ์มันติดลบลูก เอาสัญลักษณ์ทั้ง 2 เออ ใช่ นี่เห็นไหม สัญลักษณ์ข้างหน้านี่มันเป็นลบเป็นลบ เอาลบลงมาด้วย ดึงลบลงมาเลยนะคะ จากที่เราหาคำตอบได้แล้ว เป็นอย่างไร อันแรกคู่แรกก็เท่ากับ -4 คู่ที่ 2 ก็เท่ากับ -4 เข้าใจนะ ค่า d คือเท่าไร ค่า d คือ ค่าดีคือเท่าไรคะค่าที่มันเหมือนกัน 4 เฉย ๆ ได้ไหม ไม่ได้ต้องตอบว่าค่า d คือ -4 นั่นเองนะคะ ทีนี้เพื่อความชัวร์ ลูกก็มาหาอีกคู่ต่อไป คือคู่สุดท้าย เพื่อชัวร์นะ ดูว่ามันถูกหรือเปล่า เช็กให้ได้ว่ามันถูกหรือเปล่านะคะ คู่นี้ -6 มาตั้ง ลบด้วย -2 สิ่งที่ลูกจะต้องดู เห็นไหม ลบกับลบมันอยู่ติดกัน วิธีการ เราจะเปลี่ยนสัญลักษณ์นะคะ นี่ - - มันอยู่ติดกัน มันอยู่ชิดกัน เราจะเปลี่ยนสัเครื่องหมายลบนี่เป็นเครื่องหมายบวก เพราะมีขีด 2 ขีดใช่ไหมลูก เอามารวมกันนะคะ มัน… เลข 6 ไม่ต้องไปแตะมัน เพราะมันอยู่ข้างหน้า ให้ดูว่าตัวลบกับลบนี่ มันอยู่ชิดกัน มันอยู่ด้วยกันแบบนี้นะคะ อันนี้เป็นการบวกนะ เป็นการรวม ดูนะ โอเคไหม ข้างหน้ายังไม่ต้องดู เพราะว่าข้างหน้ามันไม่มีตัวสัญลักษณ์มาอยู่ข้างหน้าอยู่แล้ว มันไม่เกี่ยว ให้มาดูตัวข้างหลังนะคะ ตัวข้างหลังนี่ ว่ามันลบกับลบนี่ ให้มันเปลี่ยนเป็นบวกเสีย ทีนี้ Step เดิมเหมือนกับข้อที่แล้ว ที่ครูถามว่า -6 + 2 สัญลักษณ์ข้างหน้าเหมือนหรือต่างกัน นี่อันนี้เป็นลบ อันนี้เป็นบวกเหมือนหรือต่างกันลูก มันต่างกัน ใช่ พอมันต่างกันปุ๊บให้เอามาลบใช่ไหมคะ ให้เอามาลบ เมื่อมันต่างกันเราจะต้องเอามาลบ โดยดูว่าค่าไหนมันมากกว่า 6 กับ 2 อันไหนมากกว่า ทีนี้จะเป็นตัวตั้งแล้ว ตัว 6 ใช่ไหม 6 นี่มันมากกว่า 2 อยู่แล้ว เอา 6 มาตั้ง ไม่ต้องไปสนใจสัญลักษณ์แล้วลูก เอา 6 มาตั้งแล้วเอา 2 ไปลบออกเหลือเท่าไรคะ เหลือ 4 ถูกต้อง ผลต่างมันคือ 4 เสร็จแล้ว ก็ดึงตัวที่มันมากกว่านี่ สัญลักษณ์ข้างหน้ามันคืออะไร ลบใช่ไหมคะ ใช่ ขั้นตอนแรกที่จะไปโฟกัส ก่อนที่ลูกจะไปโฟกัส ว่าตัวเลขไหนมากหรือน้อย ลูกจะต้องมาดูก่อน ว่าสัญลักษณ์น่ะ ของ 2 ตัวที่เราเอามาหาผลต่างน่ะ มันเหมือนกันไหม ถ้ามันเป็นบวกกับบวก อันนี้ลูกไม่ต้องมาเปรียบเทียบ ถ้าเป็นบวกกับบวก เอามารวมกันเลย เข้าใจนะคะ ถ้าเป็นเลขเหมือนกันคือตัวไหนคะ ถ้ามันติดลบด้วยกัน มันก็จะออกมาเป็นลบ สัญลักษณ์ลบตัวนี้ มันมาอยู่แล้ว ถ้าลบกับลบ แล้วลูกจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายลบที่มันอยู่ชิดกันนี่ เป็นเครื่องหมายบวกก่อน เพราะฉะนั้น ค่ามันก็เลยเป็นอย่างไรคะ มันต่างกันอยู่แล้ว เห็นไหม เพราะว่าลบกับลบอยู่ชิดกัน เราก็จะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก พอบวกเสร็จปุ๊บ ลูกมาสังเกตข้างหน้าเป็นลบ ข้างหลังเป็นบวก มันต่างกันอยู่แล้วใช่ไหมคะ เพราะมันต่างกันปุ๊บ เอามาลบเลย เอามาหาผลต่าง โดยการนำตัวเลขที่มากกว่านี่ไปอยู่ข้างบน แล้วเอาตัวเลขที่น้อยอยู่ข้างล่างลบออก มันก็เหลือ 4 ที่สำคัญเมื่อมันมีสัญลักษณ์ที่ต่างกัน ตัวเลขที่มันมากกว่านี่ สัญลักษณ์คืออะไร มันติดลบใช่ไหมคะ มันติดลบ เพราะฉะนั้น ต้องเอาลบมาด้วย คำตอบก็เลยกลายเป็น -4 นั่นเอง ตั้งแต่คู่ที่ 1 คู่ที่ 2 คู่ที่ 3 เหมือนกันไหมลูก เหมือนกัน คำตอบคือ d = -4 นั่นเอง ทีนี้ อันนี้คือทวนนะลูก หา d เรียบร้อย ตำแหน่งที่ a1 เรารู้แล้ว วันนี้เราจะเรียนเรื่องการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต วันนี้สิ่งที่ลูกจะต้องทำ ก็คือ หาพจน์ทั่วไปของลำดับที่ครูกำหนดให้ได้ 2. ก็คือหาพจน์ที่ n ที่ครูระบุให้ให้ได้นะคะ อย่างเช่นตัวอย่างเมื่อกี้ที่ครูบอกว่า เอ๊ะถ้าครูอยากได้ a50 ลูกจะหาได้ไหม ลูกจะตอบครูได้หรือเปล่า มันตอบได้ ถ้าลูกหา a ข้อแรกหา an หาข้อแรกได้ หาพจน์ทั่วไปได้ ลูกก็จะสามารถหา a50 ให้ครูได้ง่ายมาก ใช่ ถ้าลูกจะมาเขียนทีละลำดับ a1, a2, a3 ไปเรื่อย ๆ ไปเรื่อย ๆ นี่ กว่าจะไปหาจนถึงตัว a50 ใช่ไหมลูก มันนาน มันหลาย… มันหลายบวกนะคะ ใช่ มันนานมาก นานมากเลย กว่าจะหาได้เสียเวลา แต่ถ้าลูกมาหา Concept หา n… หา an นะคะ หา an ได้ปุ๊บนี่ ลูกสามารถแทนค่าตัว n = 50 นี่ ลงไปในสูตรได้เลย ลูกก็จะหาได้ง่าย ทีนี้มาดูสูตร ดูสูตรนะ ตัวนี้ต้องจำให้ได้ อันนี้คือสูตรการหาพจน์ทั่วไป พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนะคะ จะเท่ากับ a1 + (n - 1)d สิ่งที่เราจะรู้ คือตำแหน่ง a1 ใช่ไหมคะ a1 เรารู้อยู่แล้ว แล้ว d เราก็รู้ด้วย เพราะเราหาได้ใช่ไหมลูก โอเคนะ เดี๋ยวครูจะให้ตัวอย่าง เสร็จแล้วครูจะให้ลูกมาทำ ครูจะพาทำก่อนอันแรก ใช่ ข้อแรกอันนี้คือโจทย์ที่ครูให้ พจน์ ลำดับที่ครูให้มา คือ 2, 4, 6, 8 และ 10 พจน์ทั่วไป สูตรมาแบบนี้ สิ่งที่เราจะต้องหาเริ่มแรกเลยของลำดับ เราจะต้องตอบให้ได้ว่า a1 คือเท่าไรลูก ของลำดับนี้ a1 คือเท่าไรคะ คือเลขอะไร เลข 2 ถูกต้อง a1 คือเลข 2 d ล่ะ d เท่าไร ทำไมได้ 2 เราก็เอามาลบสิ หาผลต่างใช่ไหมคะ 4 ลบออก 2 ก็เท่ากับ 2 ใช่ 6 - 4 ก็เหลือ 2 8 - 6 = 2 10 - 8 = 2 เพราะฉะนั้น สรุปได้เลยว่า d d ตัวนี้เท่ากับ 2 นั่นเอง เข้าใจนะ พอเราหา a1 ได้แล้ว หา d ได้แล้วลูก แทนค่าลงไปเลยจากสูตรนะคะ จากข้อนี้ ลำดับนี้ an เท่ากับ…  a1 = 2 เอา 2 ที่เราหาได้นี่ มาแทนค่าลงไปในสูตรเลย หยิบลงมา เป็นเลข 2 เสร็จแล้วบวก สัญลักษณ์บวกตัวนี้ดึงลงมานะคะ (n -1) ก็ดึงลงมาอันนี้ไม่ต้องไปแตะนะคะ ดึงลงมาเลย แต่ d ตัวนี้ d ตัวนี้เราจะต้องเปลี่ยนใช่ไหม เพราะเราหาค่าได้แล้ว นี่ไง d คือเราหาได้แล้วคือ 2 เราก็เอาเลข 2 มาแทนค่า d ตรงนี้ลูก เห็นไหมคะ d ตรงนี้นะ เราก็เขียนเลข 2 แทน d ลงไป เข้าใจนะ ลำดับนี้เขียนมา พอมาลำดับที่ 2 ปุ๊บ แถวที่ 2 ปุ๊บแทนค่า a1 แทนค่า d ลงไป ใส่ตัวเลข ตัวอื่นเหมือนกันหมดเลย ไม่ต้องไปแตะต้องเขา ก็คือดึงลอกลงมาเหมือนเดิมนะคะ โอเคนะ เสร็จแล้ววิธีการ เมื่อไหร่ก็ตาม ถ้ามันเป็นวงเล็บแล้วชิดกันแบบนี้ มันหมายถึงการคูณนะคะ เราก็จะคูณตัวเข้าไป นี่ 2n กับ 2 เอามาคูณกัน ตัวที่อยู่ข้างใน 1 กับ 2 เอามาคูณกันนะคะ วิธีการทำอย่างไร ลงมาเหมือนเดิมนะคะ แถวที่ 3 an 2 เหมือนเดิมดึงลงมานะคะ 2 นี่ดึงลงมา มาบวกสัญลักษณ์เหมือนเดิม แต่ทีนี้ในวงเล็บทำอย่างไร อันนี้ n กับ 2 มันหมายถึงการคูณ เมื่อไหร่ก็ตามที่ติด… วงเล็บติดกัน ตัวเลขมันติดกันนะคะ มันหมายถึงการคูณนะคะ จำให้ได้ มันหมายถึงการคูณ พอมันเป็นการคูณปุ๊บ n คูณ 2 นะคะ ก็เท่ากับเอาตัวเลข ส่วนมากเขาจะนิยมเขียนเอาตัวเลขมาก่อน มาก่อนตัวอักษรนะคะ จริง ๆ จะเขียน 2n หรือ n2 ก็ไม่ผิด ตำแหน่งมันคูณมันค่าคำตอบเท่ากัน แต่... ไม่ คนปกติทั่วไปเขาก็นิยมเขียนตัวเลขขึ้นมาก่อน เข้าใจนะคะ คนทั่วไป คือครูจะบอกว่า ส่วนมากเวลาสัญลักษณ์มาน่ะ เขาจะเอาตัวเลขขึ้นมาก่อนตัวอักษร การคูณคำตอบมันจะได้เท่ากันนั่นแหละลูก แต่อย่างนี้ n มันอยู่ข้างหน้าเลข 2 ตอนที่อยู่ในวงเล็บ เพราะฉะนั้น เวลาเราเขียน เราก็เขียนให้มันง่าย ๆ ก็คือ 2n ความหมายมันเหมือนกันกับ n2 นะลูก แค่สลับที่ เพราะการคูณคำตอบนี่มันเหมือนกัน เข้าใจนะคะ เสร็จแล้วลบตรงนี้ในวงเล็บ ห้ามลืมดึงลงมานะลูก ลบดึงลงมาเลยข้างล่าง แถวที่ 2 กับแถวที่ 3 เสร็จแล้ว ตัวนี้วงเล็บนี้หมายถึง เลข 1 กับเลข 2 ที่เอามาคูณกัน โอเคนะ ก็คือเอา 1 ตัวนี้มาคูณกับ 2 นะคะ คำตอบมันคืออะไร ถัดลงมาในบรรทัดที่ 4 เลข 2 เหมือนเดิมลูก เอาลงมา 2n ดึงลงมา 1 กับ 2 คูณกันได้เท่าไร ก็ได้ 2 เท่ากันถูกต้อง ทีนี้พอมาเป็นแถวนี้ บรรทัดที่ 5 ลูกอะไรที่มันหายไป ลูกสังเกตดี ๆ นะ ทำไมมันเหลือแค่ 2n เพราะว่า 2 ข้างหน้า กับ 2 ข้างหลัง ข้างหน้ามันเป็นบวกใช่ไหม 2 ลบออก 2 เหลือเท่าไร 2 ลบออก 2 เหลือเท่าไรคะ เหลือ 0 เพราะฉะนั้น บวกด้วย 0 ได้ไหม เขียนน่ะได้ แต่ความหมายมันก็คือว่าง ๆ มันไม่มีความหมายอะไร เพราะ 0 เอาไปบวกหรือเอาไปลบมันก็เท่ากับตัวเดิมใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น เขาก็เลยไม่นิยมเขียน เขาไม่นิยมเขียนนะลูก 0 นี่ไม่ต้องเอามาเขียนใส่เลย เข้าใจนะ มันก็เลยเหลือแค่ 2n โอเคนะ อันนี้คือพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ ลำดับที่โจทย์ให้มา โอเคนะ เข้าใจหรือยัง ตัวนี้คือ an = 2n ทีนี้ครูจะให้ตรวจคำตอบดู ตรวจคำตอบดูว่าเออมันทำถูกหรือเปล่า พจน์ทั่วไปนี่มันถูกหรือเปล่าที่เราหานะคะ เราลองดูนะ อย่างที่บอก อันนี้คือพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ที่เราหามาได้ an = 2n ลูก หา a1 a1 a1 คือตำแหน่งนี้ใช่ไหม a1 นี่จะเท่ากับ 2 จริงหรือเปล่านะ เราก็แทนค่าลงไปเลยนะคะ จากพจน์ทั่วไปที่เราหาได้ an เท่ากับ 2n n เท่ากับ 1 นะ ถ้าเราหาตำแหน่งที่ 1 พจน์ที่ 1 นะคะ n = 1 2 คูณในวงเล็บ n จะต้องตรงกันนะ 1 ก็ต้องเป็น 1 ถ้าเมื่อไหร่เป็น 2 ตรงนี้ n ก็เท่ากับ 2 เหมือนกัน ห้ามหา a1 แล้วเท่ากับ 2 คูณด้วย 2 อันนี้ไม่ได้ ผิดนะคะ n ตัวข้างหน้าคือตัวเลขอะไร ตัวข้างหลังจะต้องเหมือนกัน จะต้องเป็นตัวเดียวกัน ใช่ อันนี้คือ Concept นะ ลูกต้องดูให้ได้ ห้ามเขียนสลับกันนะคะ 1 ข้างหลังก็เป็น 1 เหมือนกัน เพราะฉะนั้น 2 x 1 ได้เท่าไร 2 x 1 ก็เท่ากับ 2 ตำแหน่งที่ a1 ลูก a1 คือ 2 ถูกไหม ตรงกันไหมคะ นี่ a1 คือ 2 ตรงกันไหมคะ ตรงกัน ผ่าน ลองไปดูสิ a2 ตำแหน่งที่ 2 ล่ะ มันตรงกันหรือเปล่า เลข 2 a2 = 2 คูณด้วย 2 2 x 2 = 4 ตำแหน่งที่ 2 ตรงกันไหมคะ ตรง ตำแหน่งที่ 3 ตรงกันไหมคะ ตรง ทีนี้มันง่ายแล้ว ถ้าสมมติว่าลำดับนี้เป็นลำดับอนันต์ มันก็จะมี ... อยู่ข้างหลังถูกไหมคะ ถ้าครูจะให้ลูกหาตำแหน่งที่ a50 a50 นะ หา a50 เท่ากับเท่าไร สมมติ สมมติว่าลำดับนี้ เป็นลำดับอนันต์ ถ้าเป็นลำดับอนันต์ เมื่อมันมีพจน์ทั่วไป an = 2n เราหาได้ไหมคะ a50 หาได้ไหม หาได้ไหม ได้ ได้ มันหาได้ ได้จากไหนลูก n50 เพราะฉะนั้น ตัวนี้ a50 2 คูณด้วยเท่าไรคะ ตัวนี้ 2 คูณในวงเล็บคืออะไร 50 เหมือนกันถูกไหม จำให้ได้นะลูก n ข้างหน้ามันเท่ากับ 50 n ตัวข้างหลังก็ต้องเท่ากับ 50 เหมือนกัน เพราะฉะนั้น มันเท่ากับเท่าไร 50 x 2 เป็นเท่าไร 50 x 2 เป็นเท่าไร 100 นั่นเอง ใช่ ถูกแล้ว เก่งมาก อิ๋วตอบถูกนะคะ 50 x 2 ก็คือเอา 50 50 มารวมกันเป็นเท่าไร 100 a50 = 100 เป็นอย่างไรคะ ย่นเวลาหาไหม แทนที่เราจะมาบวกเพิ่มทีละ 2 ทีละ 2 ทีละ 2 ทีละ 2 เรามาแทนค่าตรงนี้เลย ถ้าเราหาพจน์ทั่วไปได้ของลำดับ ทีนี้ครูถาม ถ้าเราจะหา a100 ได้ไหม a100 ทำได้ไหม หา a ตำแหน่งที่ 100 ได้ไหมคะ ทำได้ โดยเปลี่ยน n ก็คือเอา 2 คูณกับ 100 ถูกไหมคะ มันก็จะได้คำตอบ ตำแหน่งที่ 100 นี่ มันมีค่าเท่ากับเท่าไร อันนี้คือวิธีการหา เข้าใจนะ โอเค มาช่วงทำกิจกรรมแบบฝึกแล้ว ครูมีแบบฝึกมาให้ลูกทั้งหมดอยู่ 5 ข้อ ยัง ๆ ยังไม่ให้ดู เดี๋ยวครูจะให้ดูนะคะ แต่ก่อนจะดู ถามก่อนว่าขั้นตอนของวิธีการคิดหาพจน์ทั่วไป อันดับแรกลูกจะต้องรู้อะไรคะ ก็คือค่า d หาผลต่างใช่ไหมคะ หาค่า d ก่อน เมื่อครูให้ลำดับมาปุ๊บ ลูกจะต้องไปหาค่า d ค่า d คืออะไร ค่า d ถ้ามันเพิ่มขึ้นเป็นบวกหรือเป็นลบ เป็นบวก แต่ถ้าค่า d มันลดลงเป็นลบใช่ไหมคะ เสร็จแล้วลูกหาค่า d ได้ และที่สำคัญ เมื่อให้ลำดับมา ตัวเลขที่ลูกจะต้องรู้อีกตัวหนึ่งก็คืออะไรคะ 1d 2 คืออะไร ค่าอะไรคะ a อะไรคะ จากสูตรเลย จากสูตรเลย จำได้ไหม สูตรคืออะไร a1 ลูกจะต้องระบุให้ได้ ว่า a1 น่ะคือค่าเท่าไร เข้าใจนะ มาลองทำแบบฝึกดู ใครอยากออกมาทำข้อนี้ ลองหา an แล้วก็ทดสอบว่ามันถูกต้องหรือเปล่านะคะ มาตรวจสอบดูว่า an ที่ลูกหาได้น่ะ มันถูกไหม จากโจทย์นี่ลูก พจน์ทั่วไปหาได้อย่างไร ลูกจะต้องจำสูตรนี้ an = a1+(n-1)d นะ ตัวนี้ปุ๊บนี่สิ่งที่ต้องหาอันดับแรก a1 เท่าไรคะ 11 ถูกต้อง a1 คือ 11 อยู่แล้ว ใช่ ทีนี้ d เท่าไร ค่า d เท่าไรคะ หาค่า d ลูก d คือ 2 ทำไม เพราะมันบวกมา 2 ทุกคู่เลยใช่ไหมคะ บวก 2 เหมือนกันหมดเลย d คือ + 2 เสร็จแล้วแทนค่าลงไปในสูตรนี้ เดี๋ยวครูจะลองทำ พาทำบนกระดานนะคะ แล้วลูกตอบครูนะว่าลูกจะตอบถูกหรือเปล่านะคะ สูตรต้องจำให้แม่น ห้ามผิดนะคะ จำให้ได้ จำให้ได้ว่าพจน์ทั่วไปตัวนี้ห้ามลืม ถ้าลูกใส่สัญลักษณ์ผิดนั่นคือผิดเลยนะ an = a1 + (n - 1)d สิ่งที่เราหาได้แล้วคืออะไรคะ a1 ใช่ไหม เพราะฉะนั้น a1 จะต้องมาแทนค่าในนี้แล้ว บรรทัดที่ 2 เปลี่ยน a1 เป็นเท่าไรคะ a1 คือ 11 ใช่ไหม ก็เอา 11 ลงมานะคะ วงเล็บตรงนี้ไม่ต้องไปแตะเขา ดึงลงมาเลย n - 1 นี่ ดึงลงมาเลยนะลูก d ค่าที่เราหาได้คือ 2 เห็นไหม บรรทัดที่ 2 นี่ครูเปลี่ยนแล้วนะ เราเขียนสูตรมาเสร็จแล้วบรรทัดที่ 2 ครูเอาค่าที่เราหาได้นี่ มาแทนค่าแล้ว a1 = 11 ครูก็เอาเลข 11 มาแทน a1 แล้ว d เท่ากับ 2 ครูก็เอา 2 มาแทนดีแล้ว โอเคนะ เปลี่ยนแล้ว ทีนี้บรรทัดที่ 3 คูณเข้าไปค่ะ มันเป็นวงเล็บใช่ไหม คูณ คูณเข้าไปที่มันชิดกัน เอามาเขียน 11 บวกลงมาเลย n คูณกับ 2 สลับกันเป็นเท่าไรคะ 2 อะไรเปลี่ยนเป็น 2n 2n เข้าใจนะ เมื่อไหร่ก็ตาม นี่ไอ้ตัว n x 2 นี่ส่วนมากเขาจะนิยมดูแล้วก็เขียนง่ายก็คือ 2n นะคะ ความหมายเหมือนกันกับ n2 จะเขียนอย่างนี้ก็ได้ n2 ก็ได้ แต่เขาไม่นิยมกัน เขาจะเอาตัวเลขมาเขียนข้างหน้าตัวอักษรนะคะ แค่นั้นเอง ถามว่าผิดไหม ไม่ผิดนะคะ แต่ถ้าดูทั่วไปนี่ เขาจะนิยมเขียนเอาตัวเลขนี่มาอยู่ข้างหน้าตัวอักษรนะคะ ลบตัวนี้ในวงเล็บนี่ดึงลงมาเลยนะคะ ไม่ต้องเปลี่ยนนะคะ ลบตัวนี้ดึงลงมา ตัวนี้ 1 กับ 2 หมายถึงเอามาคูณกันถูกไหม ใช่ 1 x 2 ตัวนี้นะ 1 x 2 ใช่ ตัวนี้คือได้ 2 บรรทัดต่อมา 11 + 2n  - 2 ใช่ไหมคะ เพราะตัวนี้คูณกัน 1 กับ 2 คูณกันเท่ากับ 2 ได้เท่าไรลูก เอา 2n มาเขียนข้างหน้าแล้ว อันนี้ 11 เป็นบวกใช่ไหมคะ ลบออก 2 เหลือเท่าไร นี่มันเป็นจำนวนเหมือนกัน ไม่มีค่าที่เรา... ไม่มีตัวอักษร ถูกต้อง 9 มันเป็นบวกหรือเป็นลบ 9 เป็นบวกใช่ไหม ใช่ไหมลูก มันเหลือ 9 เป็นบวกหรือเป็นลบ 11 ตัวที่มากที่ลูกตั้งข้างหน้ามันสัญลักษณ์เป็นบวกใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น 9 ก็คือบวกนั่นเอง เข้าใจนะ อันนี้คือหาออกมาได้แล้ว an ทีนี้ อยากรู้ ว่าไอ้ an ที่เราหาได้นี่ นะลูก พจน์ทั่วไปที่เราหาได้แล้วนี่ มันถูกหรือมันผิดนะ มันถูกไหม วิธีการหา ว่ามันถูกหรือมันผิดง่ายมาก เราเราก็ลองเอาพจน์ทั่วไปตัวนี้นะคะ มาแทนค่าหาตำแหน่ง สมมติในลำดับนี้เรารู้อยู่แล้ว ลองหาตำแหน่งที่ a3 สิ a3 เท่ากับ เท่าไรคะ ในลำดับนี้ a3 นี่เท่าไรลูก a3 ได้ 13 เหรอ a3 หา a3 นะลูกไม่ใช่ 13 ดูดี ๆ ใช่ 15 ใช่แล้ว a3 คือ 15 ลูก โอเคดูแล้ว a3 = 15 เราก็ลองเอาพจน์ทั่วไปตัวนี้มาตั้งก่อน an เท่ากับที่เราหาได้นี่ลูก an = 2n + 9 นี่ ถ้าเราหาตำแหน่งที่ a3 นี่ แทนค่าตัวนี้ขึ้นมา a3 = 2n n ตัวนี้จะต้องตรงกันนะ n จะต้องตรงกันคือเลข 3 เหมือนกัน นี่ n n ตัวนี้กับ n ตัวนี้มันเหมือนกัน เพราะฉะนั้น ถ้าเราหา a3 ปุ๊บตัวนี้จะต้องเปลี่ยนเป็นเลข 3 นะคะ บวกด้วย 9 คูณกัน ถ้ามันเป็นวงเล็บหมายถึงการคูณ 2 x 3 ได้เท่าไร 6 ถูกต้อง 6 + 9 เอาลงมาได้เท่าไรลูก 15 15 ครูถามว่าจากเราใช้พจน์ทั่วไปหาตำแหน่งที่ a3 เท่ากันไหมคะ เหมือนกันไหม 15 กับ 15 เหมือนกันไหม เหมือนกัน เพราะฉะนั้น แสดงว่าพจน์ทั่วไปที่เราหานี่ ถูกต้องแล้ว ถูกต้องแล้ว เพราะอะไร เพราะเราทดสอบแล้ว เราทดสอบลองหาแล้วตำแหน่งที่ 3 นี่ มันตรงกับลำดับนี้นะคะ ถ้าลูกยังไม่แน่ใจ ลูกลองหาพจน์ที่ 5 ก็ได้พจน์ที่ 5 มันคืออะไรคะ 19 ใช้ตัวนี้มา แล้วหาว่ามันได้คำตอบเท่ากับ 19 ไหม เข้าใจนะ ถ้ามันทำตอบตรง แสดงว่ามันถูกแล้ว พจน์ทั่วไปที่ลูกหาได้ โอเคนะ เข้าใจนะคะ โอเค ทีนี้ข้อที่ 1 ครูพาทำ ข้อที่ 2 ครูจะลองพาทำ หรือว่านักเรียนอยากทำเองคะ พี่เพียวบอกว่าอยากทำเองแล้ว ทำเอง เยี่ยมมาก เอาสมุดขึ้นมา แล้วจดข้อที่ 1 ลงไปก่อนลูก บันทึกข้อ 1 ให้เสร็จก่อน เสร็จแล้วเตรียมตัวทำข้อ 2 ครูจะให้จับคู่กันนะคะ ออกมาทำทีละคู่ ทีละคู่ เหลืออีก 4 ข้อพอดีเลย 8 คนนะคะ พอดีเลย 8 คน ก่อนอื่นเขียนข้อที่ 1 ลงไปก่อน โอเคนะ ข้อที่ 2 เดี๋ยวใครจะมาทำ เดี๋ยวเรายกมือกันดีกว่า ให้ออกมาเป็นคู่นะคะ ลูก ๆ คะ มองกระดานนะลูก ที่ลูกได้ทำแล้ว ลูกทำแล้ว ก็คือข้อ 1 ข้อ 2 ข้อ 3 อันนี้ทำเสร็จเรียบร้อยแล้ว ข้อ 4 นะคะ มีเพื่อนทำเสร็จไป 2 คน ครูตรวจแล้ว ทำถูกด้วยนะคะ ทีนี้ แบบฝึกข้อที่ 5 ข้อที่ 5 นี่ d เท่ากับเท่าไร a1 เท่ากับเท่าไรลูก อันนี้ทำเป็นการบ้าน ถูกต้อง a1 คือ 5 d ก็คือ 5 เท่ากัน ทำไม มันง่ายไหม ข้อนี้น่ะง่ายสุดแล้ว ครูจะให้ลูกทำเองนะคะ ลอกโจทย์นี่แบบฝึกข้อที่ 5 ลงไปในสมุด ข้อ 4 คนไหนที่ยังทำไม่เสร็จ เอาข้อ 4 ลอกลงไปทำด้วยนะคะ แล้ว ถูกต้อง ข้อ 4 เทคนิคคล้ายกับข้อ 2 เพราะว่า ค่า d มันติดลบนะคะ ลักษณะวิธีการทำเหมือนกับข้อ 2 เลย ค่า d ติดลบ คำตอบมันต่างอยู่แล้ว แต่กระบวนการวิธีการทำจะเหมือนกัน คล้ายกันกับข้อ 2 นะคะ ทีนี้ข้อ 5 นี่ มันเพิ่มขึ้น d เป็นบวก เพราะฉะนั้น ง่ายมาก อันนี้ลูกไม่ต้องดูเพื่อนให้ลูกทำเองนะคะ ทำลงไปในสมุดเองแล้วเราจะมาเฉลยกันในอาทิตย์หน้า ว่าลูกทำเองนี่ ลูกทำได้ไหม ข้อ 5 ครูจะดูแค่ข้อ 5 เท่านั้น โอเคไหม โอเค วันนี้สงสัยอะไรไหม สงสัยไหมคะ ไม่มีแล้วนะคะ ทีนี้ครูจะบอกว่าข้อที่ 4 ที่ลูกทำ แล้วมันจะยากหน่อย เพราะว่ามันค่า d ติดลบ ลูกสามารถไปคุยนะคะ แล้วก็ไปถามแท็คนะคะ แท็คที่ทำเสร็จแล้ว แล้วก็ตาลนะคะ ตาลนี้ทำเสร็จแล้ว ทำถูกต้อง 2 คน ครูตรวจดูแล้ว ให้ไปถามพี่เขา ว่าทำถูก ทำวิธีการคิด คิดอย่างไรนะคะ แล้วลูกก็จะได้คำตอบของข้อที่ 4 ที่ถูกต้อง ส่วนข้อที่ 5 ไม่ต้องถามพี่เขาแล้ว ไม่ต้องถามเพื่อนแล้วนะคะ ให้ทำเองเลยข้อที่ 5 โอเคนะ ถ้าไม่มีอะไรสงสัยแล้ว เดี๋ยวไปทานข้าวกันนะคะ วันนี้ ค่ะ สวัสดีค่ะ ขอบคุณมากนะคะ [สิ้นสุดการถอดความ]