(อาจารย์เชาวนี) สวัสดีค่ะ สวัสดีพี่ล่ามด้วยนะคะ สวัสดีวันศุกร์ค่ะ ลูก ๆ เชิญนั่ง เป็นอย่งไรบ้างวันนี้วันศุกร์ อากาศดีไหมคะ อากาศดีไหมวันนี้  ดี หนาวไหม ไม่หนาวนะวันนี้นะ อากาศกำลังดี กำลังอาบน้ำสบาย ๆ นะคะ ตื่นเช้ามาก็สดใสนะ อากาศดี เดี๋ยวเรารอวิดีโอแป๊บหนึ่งนะลูกนะ วันนี้เราจะมาเรียนรู้หัวข้อใหม่ แต่เนื้อหาก็ยังสืบเนื่องจากเรื่องเดิมอยู่ ถ้าใครยังจำชั่วโมงที่แล้ว ที่เราเรียนกันได้นะคะ เรื่องอะไรนะ เรื่องอะไรคะ ลำดับใช่ไหม ใช่ไหม เรื่องลำดับใช่ไหมลูก จำกันได้ไหมนะ ลำดับ ให้เวลานะ ให้เวลาทบทวนนะคะ ลืมหมดแล้ว ไม่เป็นไรเดี๋ยววันนี้คุณเจนจะมาทบทวนให้นิดหนึ่ง เพราะหัวข้อที่เราจะเรียนมันสืบเนื่องจากเรื่องของลำดับด้วยนะคะ รอสักพักหนึ่งนะลูก รอแป๊บหนึ่ง วันนี้นะคะ เราจะมาเรียนในเรื่องของอนุกรม เคยได้ยินไหม อนุกรม ไหนใครเคยได้ยินคำนี้ลูก ไม่เคยนะ แปลกนะลูก วิชาคณิตศาสตร์ มันก็จะมีศัพท์เฉพาะของมันเยอะแยะเลย อนุกรม วันนี้เราจะมาเรียนรู้ในเรื่องความหมายของอนุกรมกันนะคะ โอเค ในเรื่องอนุกรมวันนี้นะคะ จุดประสงค์หลัก ๆ ที่เมื่อเราเรียนจบกับคุณเจนแล้วนี่ ลูก ๆ ทุกคนต้องเข้าใจ หรือว่าต้องสามารถทำได้นะคะ อันแรกเลย ลูก ๆ นะคะ สามารถอธิบายความหมายของอนุกรมได้ ว่าอนุกรมมันคืออะไรนะ เรียนจบแล้ว นี่ต้องเข้าใจตรงนี้เลยนะ ส่วนข้อ 2 นะคะ ลูก ๆ สามารถเข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์ n นะคะ n พจน์แรกของอนุกรมได้ n พจน์แรกของอนุกรมนะ และก็สุดท้ายนะคะ นักเรียนนี่สามารถหรือว่าลูก ๆ นี่ สามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมได้ คือหาผลบวกของ n พจน์แรกได้ ต้องขึ้นกระดานใช่ไหมคะนี่ โอเคขึ้นกระดานก็ได้ค่ะลูก มาดูความหมายของอนุกรมก่อนนะคะ อนุกรม อนุกรมคืออะไร อนุกรมนะคะ คือ ผลบวกของลำดับ ความหมายง่าย ๆ สั้น ๆ เลยลูก ผลบวกของลำดับ ในหัวข้อนี้ ทุกคนต้องได้ฝึกได้ซ้อมเรื่องการบวกเลขนะ เตรียมความพร้อม เผื่อมีการแข่งขันอะไรนะคะ เราจะได้เตรียมตัวได้นะ อนุกรม ก็คือผลบวกของลำดับนะคะ เช่น ดูด้วยนะ เช่นลำดับ 1, 3, 5, 7, 9 นี่คือลำดับจำได้ไหม อันนี้คือรูปแบบของลำดับใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น อนุกรมของลำดับนี้นะคะ อนุกรมของลำดับนี้คืออะไร คืออะไรคะ ความหมายของมันคือผลบวกของลำดับใช่ไหม แสดงว่าลำดับ 1, 3, 5, 7, 9 อนุกรมของลำดับนี้ก็คืออะไรคะ คือ 1 + 3 + 5 + 7 แล้วก็ + 9 ใช่ไหม ใช่ไหมคะ มีค่าเท่าไร อนุกรมนี้มีค่าเท่าไรคะ ก็นำตัวเลขมาบวกกัน นำตัวเลขบวกกัน เป็นอย่างไรคะ 10 20 บวกสิ ลองบวกสิลูก 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 บวกเพิ่มอีก 3 เป็น 4 เป็น 4 ใช่ไหมลูก เก่ง ดังนั้น เป็นอย่างไรคะ 4 + 5 เป็น 4  + 5 4 + 5 เท่าไรลูก 4…  9 ต่อไป  9 + 7 9 9 +... 9 9 + 7 16 เก่งมาก จากนั้น 16 + 9 ค่ะ 16 + 9 16 + 9 คิดดี ๆ 20 เท่าไร 25 ถูกต้องค่ะ 25 เพราะฉะนั้น เห็นไหมคะ อนุกรมของลำดับนี้ก็คืออะไรคะ 25 ง่ายไหม ง่ายไหมคะ ง่ายไหม เข้าใจไหมคะ เห็นไหม อนุกรมคือ ผลบวกของลำดับ ถ้าเรามีลำดับขึ้นมาแบบนี้นะคะ เราสามารถเขียนรูปอนุกรม หาอนุกรมลำดับนี้ได้เลย ก็คือนำตัวเลขมาบวก ๆ ๆ ๆ ๆ กันไปเรื่อย ๆ ถูกไหมคะ อยู่ที่ว่าลำดับนั้นมีกี่พจน์ใช่ไหมลูก ใช่ไหม ทีนี้ มาดูต่อ ในหัวข้อนี้ เราจะกำหนดนะคะ sn นะคะลูก sn มีตัวแปรใหม่มาให้เราเห็นอีกแล้ว sn นะคะ แทนผลบวก แทนผลบวกนะคะ n พจน์แรกของลำดับ หรือพูดง่าย ๆ ว่า sn ตัวนี้ลูก แทนอนุกรมนะ เขียนแทนอนุกรมได้เลยนะคะ เพราะฉะนั้น ถ้าเราเขียนตัวนี้ใช่ไหมคะ เราจะได้ว่า sn เท่ากับพจน์ที่ 1 ใช่ไหม พจน์ที่ 1 + พจน์ที่ 2 + อะไรคะ พจนที่ 3 บวกไปเรื่อย ๆ จนถึงอะไรคะ พจน์ที่ n ในตัวอย่างนี้ ก็คือ 1 + อะไรคะ + 3 + 5 + 7 + 9 เราหามาแล้ว ได้เท่าไรคะ 25 ใช่ไหม นี่ ตรงนี้ที่เราจะเห็นนะคะ จำตรงนี้ไว้เลยนะ ต่อไปนี้เราจะคุ้นเคยกับ sn = a1 + a2 + a3 + ไปเรื่อย ๆ จนถึง + an นะคะ ทีนี้นะคะ พอถึงตรงนี้ ครูเจนก็จะย้อนไปถึงเรื่องของลำดับ จำได้ไหมว่าลำดับมีกี่… กี่ประเภทคะ ลำดับจำได้ไหม ลำดับมีอยู่ 2 ประเภท นึกออกไหมคะ อันแรก คือ ลำดับจำกัด ใช่ไหม ลำดับจำกัด ก็คือลำดับที่เรารู้ว่ามันมีกี่พจน์ ใช่ไหมคะ อย่างเช่น ลำดับที่มี a1, a2, a3 ไปเรื่อย ๆ  an จบที่ an นั่นหมายถึงว่าลำดับนี้มีอยู่ n พจน์ ใช่ไหมคะ อันนี้เขาเรียกว่าลำดับจำกัด ถ้าเรานำลำดับจำกัดนี้มาเขียนเป็นอนุกรม เราก็จะได้ว่า a1 + a2 + a3 และบวกไปเรื่อย ๆ จนถึง an เราจะเรียกว่าอนุกรมจำกัด ดูพี่ล่ามนะคะ ดูพี่ล่ามนะ ตรงนี้ต้องเข้าใจแล้วต้องจำด้วย ทีนี้เหมือนกันค่ะ อีกลำดับหนึ่ง ลำดับประเภทที่ 2 คือลำดับอนันต์ ลำดับอนันต์ ก็คือลำดับที่เราไม่รู้เลยว่าพจน์นั้นมีกี่พจน์ ใช่ไหมคะมีกี่พจน์เราไม่รู้ มันจะเขียนในรูปของ a1 + a2 + a3 + ไปเรื่อย ๆ จนถึง + an และยังมีบวกต่อไปอีก Infinity ไม่มีที่สิ้นสุด แบบนั้นเราเรียกว่า "ลำดับอนันต์" ถ้านำลำดับอนันต์นะคะ มาเขียนเป็นอนุกรม มันก็จะได้เป็นอนุกรมอนันต์ ระวังนะคะ เข้าใจไหม ทีนี้ พอถึงตรงนี้เราสามารถสรุปได้ว่า อนุกรมจำกัด มาจากลำดับจำกัดถูกไหมคะ อนุกรมอนันต์ก็มาจากลำดับอนันต์ โอเคนะ มาถึงตรงนี้นะคะ เดี๋ยวไปในไปในจุดประสงค์ต่อไป ที่เราต้องการเรื่องการบวก n พจน์แรกของอนุกรมนะคะ เดี๋ยวครูเจนขออนุญาตลบกระดานแป๊บหนึ่ง ทีนี้เราจะมาหาผลบวก n พจน์แรกนะคะ ของอนุกรมกันถามก่อน ใครตอบได้ อนุกรมคืออะไรนะ เมื่อ 5 นาทีที่แล้ว ครูเจนพูดไปแล้ว อนุกรมคืออะไรนะคะ ใครตอบได้ บอกได้ไหม อนุกรม คือ อนุกรม คือ อนุกรมคืออะไรคะ จำได้ไหม ฟังอย่างเดียว ไม่จดแล้วก็ไม่จำ อนุกรมคืออะไร ใครตอบได้บ้าง คือผลบวกอะไรนะ อนุกรมคือผลบวกของ... ตอบหน่อย ตอบหน่อย อนุกรมคือผลบวกของ... ของอะไรคะ ของ… ของลำดับ ลำดับคือตัวเลขถูกไหม ของลำดับ อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับ เพราะฉะนั้นวันนี้ถ้ากำหนดให้นะคะ สมมติ วันนี้ตัวอย่างนะ ถ้ากำหนดให้ วันนี้กำหนดให้ สักครู่นะคะ วันนี้ถ้าครูเจนกำหนดให้ ลำดับของ 3, 5, 7, 9 นักเรียนสามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้ได้ไหมคะ หาได้ไหม หาได้อย่างนี้นะคะ เราเขียนตัวแปร sn เห็นไหม sn ตัวแรกที่ครูเจนบอก ให้จำให้ได้นะ sn = a1 + a2 + a3 + ไปเรื่อย ๆ จนถึง an อยู่ที่ว่าอนุกรมนั้นมีกี่พจน์ใช่ไหม ทีนี้อนุกรมที่ครูเจนกำหนดให้มีกี่พจน์คะ ช่วยกันตอบหน่อย ลำดับตัวนี้มีกี่พจน์ กี่พจน์คะ นับสิ 1 2 3 4 ใช่ ลำดับตัวนี้มีแค่ 4 พจน์ เพราะฉะนั้น เราจะเขียนผลบวกของลำดับนี้นะคะ หรืออนุกรมนี้ได้เป็นอะไรคะ  เป็น a1 + a2 + a3 และบวกแค่อะไรคะ a4 ใช่ไหม เพราะมันมีแค่ 4 4 พจน์ เรามาเขียนผลบวกเลยค่ะ a1 คืออะไร ใครตอบได้ a1 คือ a1 มองเห็นไหม a1 คืออะไรคะ 1… 3 a1 คือ 3 ถูกต้องค่ะ a2 ล่ะคะ เยี่ยมมาก a3 = 7 และสุดท้าย a4 คือ 9 เราก็นำมาบวกกัน ถูกไหมคะ บวกกันได้เท่าไร ช่วยกัน 3 + 5 = 8 8 + 7 คิดเลขเร็ว ๆ เร็ว ซ้อมไว้ ซ้อมไว้ 10 เท่าไร่ 15 และ 15 + 9 15 + 9 = 24 เก่งมากนะคะ 24 เพราะฉะนั้น ลำดับของ 3, 5, 7, 9 นะคะ เราสามารถเขียนเป็นอนุกรมหาผลบวกของลำดับนี้ได้นะคะ คือเท่าไร 24 อนุกรมตัวนี้มีค่าเท่ากับเท่าไรคะ 24 นั่นเอง เข้าใจไหมคะ เข้าใจไหใ โอเค เข้าใจ ถ้าเข้าใจมีโจทย์ให้ทำ โจทย์ง่าย ๆ นี้ก่อนโจทย์ง่าย ๆ นี้ก่อน เริ่มจากง่าย ๆ นี้ก่อนนะ ดูโจทย์นี้นะคะ กำหนดให้ ลำดับของ 1, 3, 5, 7, 9 … กำหนดให้ลำดับของ 1, 3, 5, 7, 9 อนุกรม ข้อนี้มีค่าเท่าใด ใครจะลองคะ หา sn ข้อนี้ โอเค เชิญค่ะ ลูก ๆ ที่นั่งดูเพื่อนนะคะ คิดตามเพื่อนไปด้วยนะ คิดตามไปด้วยนะคะ สามารถหาค่าของอนุกรมรอเพื่อนได้เลยนะคะ แล้วมาดูว่าคำตอบเราจะตรงกับเพื่อนไหม ลำดับนี้มีกี่พจน์คะ ไหนมาช่วยกันตอบสิ มีกี่พจน์คะ กี่พจน์เอ่ย กี่พจน์คะ ลำดับนี้มีกี่พจน์เอ่ย 1, 3, 5, 7, 9 มี n กี่ตัว มี n กี่ตัว กี่ตัวคะ พูดได้ลูก พูดได้ ออกเสียงได้ อนุกรมนี้มีกี่พจน์ หรือว่ามี n กี่… เอ๊อ มี 5 อนุกรมนี้มีทั้งหมด 5 พจน์ ถูกไหมคะ เพราะฉะนั้น ถ้าเราจะหาอนุกรมมีค่าเท่าใด เราก็แทน sn =  a1 คือพจน์ที่ 1 + พจน์ที่ 2 + พจน์ที่ 3 + พจน์ที่ 4 + พจน์ที่ 5 ถูกไหมลูก มาแทนค่าลงไป คือ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 เท่าไรคะนี่ เพื่อนหาได้ 25 ตรงไหม ตรงกับเราไหมคะ บวกกันแล้วได้ 25 ไหมลูก 25 ไหม 25 ถูกต้องนะคะ 1 + 3 เป็น 4  4 + 5 เป็น 9 9 + 7 เป็น 16 และ 16 + 9 = 25 เพราะฉะนั้น ข้อนี้นะคะ อนุกรมมีค่า 25 นั่นเอง เก่งมากค่ะ ปรบมือให้เพื่อนหน่อย เลิศค่ะ เก่งมากค่ะลูก โอเคมาดูข้อต่อไปนะคะ มาดูตัวอย่างต่อไป มาดูว่าใครจะออกมาหาคำตอบให้ได้บ้างนะคะ คิดนะ คิดตามนะ ทีนี้มาดูตัวอย่างต่อไปนะคะ อันนี้จะมีความซับซ้อนขึ้นมานิดหนึ่ง นิดหนึ่งนะ โจทย์บอกว่าจงหาผลบวกของ 5 พจน์แรก ของลำดับ 1, 3, 5, ... เรารู้แล้วว่าอนุกรมก็คือผลบวกของลำดับถูกไหมคะ ใช่ไหม อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับ แต่โจทย์ข้อนี้ เขาบอกลำดับมาแค่ 1, 3, 5 แค่กี่ตัวคะ n มีแค่ 3 ตัว แต่โจทย์เขา ให้เราหา 5 พจน์แรก ยากไปไหมนี่ แสดงว่าโจทย์ยังไม่ครบถูกไหมคะลูก เขาให้หา 5 พจน์แรก แต่โจทย์ให้มาแค่ 3 พจน์ ใช่ เพราะฉะนั้นข้อนี้เราจะต้องเป็นอย่างไรคะ หาพจน์เพิ่มอีก 2 พจน์ถูกไหมคะ เพราะฉะนั้น เราก็จะได้ย้อนกลับไปความรู้เดิม ที่เราเรียนผ่านมาแล้ว คือเรื่องของลำดับใช่ไหม เรื่องของการหาพจน์ การหา 2 พจน์แรก 3 พจน์แรก 4 พจน์แรก หรือพจน์ที่ n ของลำดับจำได้ไหม มันจะมีสูตรในการหาใช่ไหมคะ โดยใช้สูตร an = a1 + (n - 1)d ใช่ไหม อันนี้คือสูตรการหาอะไรคะ หาพจน์ที่ n ถูกไหมคะ ย้อนนะ ย้อนความรู้นิดหนึ่ง ถือว่าเป็นการทบทวนนะ เพราะฉะนั้น ข้อนี้นะคะ เราจะต้องรู้ว่า a1 คืออะไร ใครทราบ a คือเลขอะไรคะ ยกมือตอบเลยค่ะลูก a1 คือ a1 คือ เลขอะไรคะ คนนี้ยกมือ คนนี้จะตอบนะคะ เก่งมาก คือ 1 นะคะ ถูกต้องค่ะ เยี่ยมมาก a1 คือ 1 นะคะ ฉะนั้น ในสูตรมันต้องหาค่า d ด้วย ถูกไหม รู้ไหม ค่า d คืออะไร มันมีเฉลยแล้วน่ะ อย่าเพิ่งดูสิ ค่า d คืออะไรคะ ผลต่างร่วมใช่ไหม ค่า d คือผลต่างร่วม เดี๋ยว ๆ ฟังครูเจนก่อน ครูเจนถามว่าค่า d คือผลต่างร่วมใช่ไหม ซึ่งเราสามารถหาค่า d ได้ ได้อย่างไรคะ การนำพจน์ที่อยู่ใกล้ ๆ กันมา 1 คู่ใช่ไหม แล้วนำพจน์ข้างหลังลบพจน์ข้างหน้าใช่ไหมคะ อย่างข้อนี้ เราอาจจะเอาคู่ 1 และ 3 มา ใช่ไหมคะ แล้วเราก็เอา 3 ลบออก 1 ใช่ไหม จะได้ 2 เพราะฉะนั้น ข้อนี้เราก็สรุปได้ว่า d ของอนุกรมนี้คือ ใช่ คือ 2 ต้องเข้าใจด้วยนะว่า 2 มาจากเอาอะไรคะ พจน์หลัง - พจน์หน้า คือ เอา 3 - 1 ได้ 2 แล้วถ้าเอา 5 - 3 ก็ได้ 2 เหมือนกัน เพราะฉะนั้น เราสรุปได้ว่าค่า d ของข้อนี้มีค่า = 2 รู้แล้ว รู้ a1 แล้ว คือ 1 รู้ d แล้วคือ 2 เรานำมาแทนค่าในสูตรของเราได้เลย เพื่อที่จะหาพจน์ที่ n ที่มันยังไม่ครบในโจทย์ ถูกไหมคะ พจน์ที่ยังไม่ทราบคือพจน์ที่เท่าไรคะ คือพจน์ที่ 4 ใช่ไหม และพจน์ที่ 5 2 พจน์ใช่ไหมคะ เพราะพจน์ที่ 1 โจทย์ให้มาแล้วคือ 1 บทที่ 2 พจน์ให้มาแล้ว คือ 3 และพจน์ที่ 3 โจทย์ให้มาแล้วคือ 5 แต่ยังไม่ทราบคือพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 5 เราก็สามารถหาได้เลยค่ะ โดยการนำ เป็นอย่างไรคะ นำสูตรนี้มาหา ทีนี้มาดูค่ะว่าถ้าเราแทนค่า a1 = 1 + n n คือพจน์ที่เราไม่ทราบ ถูกไหมคะ เราไม่ทราบ เราติด n ไว้ - 1 แล้วก็คูณด้วย d d คือ 2 เรานำ 2 เข้าไปคูณใช่ไหม ใช่ไหมคะ 2 เข้าไปคูณในวงเล็บ จะได้เป็น 2n และ -2 ดูตามนะ ดูตามนะคะลูก จะได้เข้าใจนะ ไม่ละสายตานะลูกนะ เราก็จะได้ an = อะไรคะ 2n - 1 งงไหมตรงนี้ มาอย่างไร 2n - 1 แล้วเอา -2 ตัวนี้ค่ะลูก เห็นไหม กับ 1 ตรงนี้ ซึ่งมันเป็นจำนวนเต็มเหมือนกันเห็นไหมคะ มันไม่ติดตัวแปรใด ๆ เลย เรานำมาบวกมาลบกันได้เลย ถูกไหม ทีนี้ ตามความจริงแล้ว 1 มัน - 2 ได้ไหม ไม่ได้ ถ้าแบบนี้นะคะ เวลาเรานำมาลบ เรายังไม่ต้องดูเครื่องหมาย เรานำตัวเลขที่มากกว่าลบออกเลย เป็น 2 - 1 ถูกไหมคะ เป็น 2 - 1 ถูกไหมคะ ทีนี้ ติดเครื่องหมายอะไร ดูสิว่าตัวที่มีค่ามากน่ะ มันติดเครื่องหมายอะไร อย่างข้อนี้ 2 มีค่ามากกว่า 1 ถูกไหมลูก ใช่ไหม 2 มีค่ามากกว่า 1 ใช่ไหม  ใช่ และหน้าเลข 2 ติดเครื่องหมายอะไร เครื่องหมาย - เพราะฉะนั้น คำตอบที่ได้ก็เลยต้องติดลบด้วย 2 - 1 = 1 น่ะ ถูกแล้ว แต่ต้องติดเครื่องหมายลบ นั่นแหละ ใช่ ๆ ติดเครื่องหมาย - เพราะว่าหน้าเลข 2 เป็นเครื่องหมาย - นั่นเอง เราได้มาแล้วค่ะ อันนี้เป็นอะไรคะ พจน์ทั่วไป ถูกไหม พจน์ทั่วไปที่เราจะนำมาหาพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 5 ที่เราต้องการทราบ ถูกไหมคะ โอเคนะ ตามให้ทันนะ ใครตามไม่ทันบอกนะลูก เดี๋ยวครูเจนให้ค่ารถเมล์ [เสียงหัวเราะ] ขึ้นรถเมล์ตามให้ทัน พอมาถึงตรงนี้เราก็สามารถหาพจน์ที่ 4 ได้เลย โดยแทนค่า จาก an ก็เป็น a4  ถูกไหมคะ แทน n นี่ =เลข 4 ไปเลย ใช่ค่ะ เพราะฉะนั้น a4 ก็จะเท่ากับเป็นอย่างไรคะ 2 x n คือเลข 4 ใช่ไหมคือ 2 x 4 เลย ใช่ แล้วลบด้วย 1 มันก็จะเป็นการบวกลบเลขธรรมดาแล้วทีนี้ 2 x 4 เท่าไรคะ 2 x 4 ซ้อมไว้ ซ้อมไว้ ใครจะไปแข่งคณิตศาสตร์ซ้อมไว้นะคะ 2 x 4  = 8 เก่งมากค่ะ 2 x 4 = 8 ลบออก 1 = 7 ถูกต้อง เพราะฉะนั้น พจน์ที่ 4 ตรงนี้ได้แล้ว คือเลข 7 ยังไม่จบนะ เพราะเขาบอกว่าต้องเป็น 5 พจน์แรก เราก็ต้องหาพจน์ที่ 5 แทน a5 ไปเลยใช่ไหมคะ a5 นะ = 2 x n n คือ เลข 5 แทนเข้าไปเลย - ด้วย 1 2 x 5 =... ใช่ 10 เก่งมากค่ะ ลบออก 1 10 ลบออก 1 = 9 เก่งมาก อุ๊ย น่ารัก ได้ยินเสียงด้วย [เสียงหัวเราะ] = 9 นั่นคือพจน์ที่ 5 = 9 ได้ครบแล้วนะ ครบ 5 พจน์แล้วนะ ตามที่โจทย์ต้องการทราบแล้ว เราก็มาเขียนนะคะ 5 พจน์แรก ก็คือ 1, 3, 5 ที่โจทย์ให้มา ใช่ไหม และ 7 ที่เราหาได้ กับ 9 ที่เราหาได้เพิ่มขึ้นมาครบ 5 พจน์หรือยัง ครบไหม 1, 2, 3, 4, 5 ครบทั้ง 5 พจน์แล้ว เราก็มาเขียนในรูปผลบวกของลำดับ นั่นคือเราจะหาอนุกรมกันแล้ว จะได้ว่า Sn หรือ S5 ใช่ไหมคะ S5 ตามโจทย์ S5 ก็ = 1 +3 +5 +7 + 9 = 25 เพระาะฉะนั้นนะคะ ผลบวกของ 5 พจน์แรกของลำดับ 1, 3, 5,... ก็คือเท่าไรคะ 25 นั่นเอง มีใครจะถามอะไรไหมคะ เข้าใจไหม โอ๊ย เข้าใจ ถ้าเข้าใจถ้าเข้าใจต้องทำตัวอย่างได้นะ เดี๋ยวดูต่อไป เมื่อกี้เป็นวิธีแรก เป็นวิธีหนึ่งที่ในที่ใช้ในการหาอนุกรม มันมีอีกวิธีหนึ่งลูก ที่ง่ายกว่าวิธีเมื่อกี้ แต่ได้คำตอบเหมือนกัน มาดูนะ วิธีนี้คืออะไร โจทย์เดียวกันค่ะ จงหาผลบวกของ 5 พจน์แรกของลำดับ 1, 3, 5,... ไปเรื่อย ๆ วิธีนี้เขาบอกว่าแค่เราสามารถหาผลต่างร่วม หรือหาค่า d ของลำดับนี่ได้ เราก็สามารถหาผลบวกได้เลย หรือหาอนุกรมได้เลย มาดูว่าเป็นอย่างไร ดูนะ หาค่า d จำได้ไหม ค่า d หาได้จากอะไรนะ ค่า d หาได้จากนำพจน์หลัง - พจน์หน้าใช่ไหมคะ เอาคนที่อยู่ใกล้กันน่ะลูก มา 1 คู่ แล้วนำตัวเลขที่อยู่ข้างหลัง - ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า อย่างข้อนี้ เอาคู่ 1, 3  มา เห็นไหมคะ 1 กับ 3 3 อยู่ข้างหลังใช่ไหม เอา 3 ลบตัวข้างหน้า คือ เลข 1 เราก็จะได้คำตอบคือ 2 ลองพิสูจน์ดูว่าใช่หรือไม่ว่า 3 - 1 = 2 จริง และ 5 - 3 = 2 ไหม 5 ลบออก 3 เท่ากับ 2 ไหม 5 ลบออก 3 เท่ากับ 2 ไหม เท่าไหม เท่าไหม เท่าใช่ไหมคะ ถ้าเท่ากันไปเรื่อย ๆ แบบนี้ ก็แสดงว่า d = 2 พอทราบค่า d นะคะ เขาบอกว่าให้พิจารณาเลยค่ะ ว่าพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2 ห่างกัน 2 ใช่ไหม ห่างกัน 2 ก็คือบวกเพิ่ม เอาพจน์ที่ 1 บวกเพิ่มอีก 2 เท่ากับพจน์ที่ 2 ใช่หรือไม่ ใช่ เอาพจน์ที่ 2 บวกเพิ่มอีก 2 เท่ากับพจน์ที่ 3 ใช่หรือไม่ เห็นไหมเหมือนกัน จากนั้นเอาพจน์ที่ 3 บวกเพิ่มอีก 2 มันจะเท่ากับพจน์ที่ 4 และเอาพจน์ที่ 4 บวกเพิ่มอีก 2 มันจะเท่ากับพจน์ที่ 5 ไปแบบนี้เรื่อย ๆ เรื่อย         ๆ แบบนี้เราก็จะสามารถหาพจน์ต่อไปได้ ไม่ยากเลยนะคะ มาดู พิสูจน์กันสิ 1  + d d คือ 2 = 3 ไหมคะ 1 + 2 = 3 ไหม เท่าไหม ใครว่าไม่เท่า เท่า เท่านะ จากนั้นมาดูค่ะ แล้ว 3 + 2 ล่ะ เท่ากับ 5 ไหม 3 + 2 = 5 ไหม = 5 ถูก เห็นไหม พจน์ที่ 3 คือ 5 ใช่ จากนั้นมาดูค่ะว่าเอา 5 + 2 ค่ะ เอา 5 บวกกับ 2 ค่ะ จะเป็นเท่าไรคะ เท่าไร 7 โอเค เห็นไหม 7 แสดงว่าลำดับต่อไปคือ 7 แล้ว จากนั้นเอา 7 + 2 ค่ะ 9 ลำดับต่อไปคือเลข 9 แบบนี้เราสามารถหาลำดับถัดไปเรื่อย ๆ ไหมคะ ได้เรื่อย ๆ ไหม เราสามารถหาลำดับถัดไปนี่ ได้เรื่อย ๆ ไหมคะ ได้ ถูกไหม เพราะเรารู้ว่า d มันมีค่า = 2 หรือพูดง่าย ๆ ว่ามันห่างกันคืออะไรคะ หรือมันเพิ่มขึ้นทีละ 2 2 2 แสดงว่าลำดับถัดไปคือเอา 9 บวกกับ 2 ถูกไหมคะ ใช่ไหม 9 + 2 จะเป็นเท่าไร 9 บวกเพิ่มอีก 2 = 11 ใช่ ดังนั้น ลำดับถัดไป คือ 11 ถัดไปอีกเรื่อย ๆ เราก็สามารถหาได้เรื่อย ๆ แต่ในโจทย์ข้อนี้เราไม่ต้องหาต่อแล้วค่ะ เพราะโจทย์เขาถามแค่ 5 พจน์แรกใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น เราก็จะหาได้เอาแค่ 5 พจน์นี้เท่านั้น พอได้ 5 พจน์แล้ว เราก็มาหาผลบวกของลำดับทั้ง 5 ค่ะลูก หรือพูดง่าย ๆ ว่าหาอนุกรมนั่นเอง หาค่าของอนุกรมของลำดับนี้นะคะ จะได้เป็น S5 = 1 + 3+ 5 + 7 + 9 ซึ่งคำตอบก็คือเท่าไรคะ 25 เท่ากันไหม เท่ากันกับตัวอย่างแรกไหมคะ เห็นไหม ตัวอย่างนี้ คำตอบก็ 25 โจทย์เดียวกันนะ หาด้วยวิธีนี้ คำตอบก็เท่าไรคะ 25 เหมือนกัน คำตอบเดียวกัน แต่วิธีการหาแค่ต่างกันแค่นั้นเอง มาถึงตรงนี้ลูก ๆ คิดว่า ระหว่างวิธีนี้ลูก ระหว่างวิธีนี้ลูก คือต้องหาพจน์ทั่วไปของลำดับก่อน แล้วค่อยหาคำตอบของอนุกรม กับวิธีนี้ค่ะลูก หาแค่ค่า d ออกมา แล้วมาหาคำตอบของอนุกรมได้เลย วิธีที่ 1 1 หรือ 2 ง่ายกว่ากันคะ วิธีที่ 1 หรือวิธีที่ 2 ง่ายกว่ากัน เลือก แบบไหนหนูว่าหาง่ายกว่ากัน 1 หรือ 2 1 เหรอ จริงน่ะ วิธีนี้เหรอ นะ วิธีนี้ล่ะ เอาแบบไหนลูก [เสียงหัวเราะ] เมื่อกี้สับสนอยู่ วิธีนี้หาง่ายกว่าถูกไหมคะ ใช่ไหม โอเค ถ้าง่ายกว่า เรามาดูตัวอย่าง เอาตัวอย่างก่อนแล้วกันนะ ค่อยกลับมาตรงนี้ นี่ ตัวอย่างมี 5 ข้อ ครูเจนจะให้ทำข้อ 5 ก่อน จะให้ทำข้อ 5 ก่อนนะ มอง ๆ ๆ สะกิดเพื่อนมองหน่อย ใครหาคำตอบข้อ 5 ได้ ข้อ 5 เขาบอกว่าจงหาผลบวกของ 9 พจน์แรก ของ 1, 4, 7, 10 ใช้วิธีที่ 2 เมื่อกี้ คือ หาค่า หาค่าอะไรคะ หาค่า d d ทำอย่างไร หาค่า d หาค่า d อ๋อ d d d หาค่า d ลองไหม ตัวต่อไปเหรอ [เสียงหัวเราะ] หาค่า d ออกมาก่อน หาค่า d ก่อน หาค่า d ก่อน ค่า d ของข้อนี้คืออะไร คิดดี ๆ 3 ใช่ไหม ค่า d คือ 3 ค่า d คือ 3 อย่างนั้น ออกมาทำให้เพื่อนดูได้ไหมคะ ได้ไหม ได้ไหม ออกมาทำให้เพื่อนดูได้ไหม อย่างนั้นเดี๋ยวขอเวลาสักพักหนึ่งนะคะ เดี๋ยวให้เด็ก ๆ ทำแบบฝึกข้อนี้ดูก่อน ฮัลโหล เทสต์ โอเคนะคะ เมื่อกี้ลูก ๆ ก็ได้ทำแบบทดสอบไปทั้ง 3 ข้อ ซึ่งครูเจนเดินดูแล้ว ส่วนใหญ่ ก็คือทำได้ เข้าใจนะ มีแค่บางคนเท่านั้นที่อาจจะช้า แต่พออธิบายก็คือก็เข้าใจนะ ทีนี้ เรามาสรุปนะคะ สรุปการหาผลบวกลำดับ ถูกไหมคะ หรือการหาค่าของอนุกรมของลำดับที่โจทย์กำหนดมาให้ ถูกไหมคะ วิธีที่ลูก ๆ เลือก ทำแล้วรู้สึกว่าทำแล้วเข้าใจง่าย หาคำตอบให้เร็ว ก็คือวิธีนี้ถูกไหมคะ คือ การหาผลต่างร่วมหรือหาค่า d ใช่ไหมคะ หลาย ๆ คนเลือกวิธีนี้นะคะ ทีนี้มาดู มาเช็กความเข้าใจกันอีกครั้งหนึ่ง ครูเจนมีโจทย์บนกระดานให้ 2 ข้อนะคะ ดูที่โจทย์นะ จงหาผลบวกของ 5 พจน์แรก ของ 2, 5, 8 นะคะ โดยลูก ๆ นี่ เลือกใช้วิธีการหาคำตอบนะ โดย… โดยการหาค่า d ออกมาก่อน ใช่ไหมคะ ค่า d จำให้ขึ้นใจนะ ตราบใดที่เราเรียนเรื่องนี้นะคะลูก เราต้องรู้ว่าค่า d หาอย่างไร ครูเจนมั่นใจว่าหลายคนถ้าเกิดทำบ่อย ๆ ทำบ่อย ๆ จะเก่ง จะเข้าใจ แล้วก็จะจดจำได้ถูกไหม อย่างโจทย์ข้อนี้ค่ะลูก 2, 5, 8 ลองดูนะ 2, 5, 8 มีค่า d เท่าไรคะ ถ้ามองด้วยตา 2, 5, 8 2, 5, 8 ค่า d มีค่าเท่าไรคะ ใครนึกได้ ถูกต้อง ใช่ไหม คิดดี ๆ 2, 5, 8 [เสียงหัวเราะ] 2, 5, 8 เท่าไรคะ ค่า d ค่า d อย่าลืม ว่าค่า d คือเรานำตัวเลขที่อยู่ใกล้กันน่ะลูก เอาตัวเลขที่อยู่ใกล้กัน เอาตัวหลัง - ตัวหน้า เพราะฉะนั้น 5 กับ 8 เอาคู่ไหนคะ เอาคู่ 5 นี่ใช่ไหม ค่า d มีค่า = 3 ถูกต้องค่ะ เห็นไหมคะ พอเราได้ ค่า d แล้วนะคะ มีค่า = 3 เราก็มาหาทั้ง 5 พจน์ที่โจทย์กำหนดถูกไหมคะ หาทั้ง 5 พจน์ที่โจทย์กำหนด แล้วก็หาคำตอบของอนุกรมออกมา โอเคไหมคะ ดูโจทย์ข้อนี้ บนกระดานค่ะ ดูโจทย์ข้อนี้บนกระดาน ใครหาคำตอบให้ครูเจนได้บ้าง มีคะแนนให้นะคะ มีคะแนนให้เลยนะ ข้อละ 10 คะแนนไปเลย ข้อละ 10 คะแนน ทำไหม เข้าใจไหมคะ จ่อยออกมาไหมจ่อย มา ออกมาทำให้ดูหน่อย เรามาดูกันนะคะ ว่าเพื่อนออกมาทำโจทย์บนกระดาน ลูก ๆ ก็ทำในสมุด ทำในสมุดด้วย เรามาดูว่าคำตอบเรากับเพื่อนจะตรงกันไหม ไม่ ต้องตรงสิคะ โจทย์เดียวกัน โจทย์เดียวกันต้องตรง อย่าลืมนะคะ การหาค่า d การหารค่า d แค่จับคู่ลำดับที่อยู่ใกล้กันมานะ จับคู่ลำดับที่อยู่ใกล้กันมา 1 คู่ใช่ไหมคะ นำตัวเลขที่อยู่ข้างหลัง - ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า นั่นคือการหาค่า d นะ จากนั้นเราก็หาผลบวกของพจน์ตามที่โจทย์กำหนดให้เลยนะ จากลำดับ 2, 5, 8 นะคะ เพื่อนหาค่าได้คือ 3 ถูกไหมคะ เพราะฉะนั้น จาก 2, 5, 8 ต่อไปก็คือ 11, 14 ครบ 5 พจน์หรือยัง 5 พจน์แล้ว จากนั้นเราก็หาค่าของอนุกรมได้เลยค่ะ โดยนำแต่ละพจน์มาทำอะไรกันคะ บวกกัน นำแต่ละพจน์มาบวกกัน 2 + 5 + 8 + 11 และ + 14 2 + 5 ได้เท่าไรคะ 2 + 5 = 7 ถูกไหมคะ ต่อไป 7 + 8 ถูกต้องค่ะ เท่าไรคะ 15 ใช่ค่ะ ต่อไป 15 + 11 ค่ะลูก 15 +11 เท่าไรคะ 15 +11 เท่าไรคะ 20 เท่าไร 20 เท่าไรเอ่ย 15 + 11 จะไปแข่งบวกเลขเร็วนะนี่ 15 + 11 เท่าไร 15 + 11 20 เท่าไร 26 ถูกไหมคะ 26 + 14 26 + 14 เท่าไรคะ 26 + 14 คิด ๆ ๆ ๆ เร็วลูก 40 ถูกไหมคะ ถูกต้องค่ะ 40 ปรบมือให้เพื่อนหน่อยค่ะ  ปรบมือให้เพื่อนหน่อย โอเคนะคะ จากตรงนี้นะคะ ครูเจนเห็นแล้วว่าจริง ๆ ส่วนใหญ่เข้าใจ ถูกไหมคะ เข้าใจวิธีหานะ วิธีหาอนุกรม โดยการหาค่า d ตรงนี้นะคะ แต่อาจจะต้องไปฝึกฝนในเรื่องของการบวกเลข ดูนะ ดูนะ ทุกคนนะคะ เกือบทุกคนเลยต้องไปฝึกฝนเรื่องการบวกเลข ไปฝึกเรื่องการบวกเลข เราต้องบวกให้… ต้องบวกให้คล่องนะคะ ต้องบวกให้คล่องนะ โอเคนะคะ สำหรับวันนี้นะคะ ตามจุดประสงค์ของเรา คือ 1. ลูก ๆ รู้ว่าอนุกรมคืออะไร อนุกรมก็คือผลบวกของลำดับ ใช่ไหมคะ และลูก ๆ สามารถหาผลบวกของพจน์ที่ n ได้ ถือว่าโอเคบรรลุเป้าหมายสำหรับวันนี้นะคะ โอเค วันนี้ก็หมดเวลาแล้วใช่ไหมคะ หมดเวลาแล้ว เดี๋ยวลูก ๆ เดี๋ยวขอบคุณพี่ล่ามค่ะลูก ลูก ๆ ลุกค่ะ ใช่ ขอบคุณพี่ล่ามก่อน จ้า ขอบคุณมากค่ะ [สิ้นสุดการถอดความ]