[เสียงดนตรี] (คุณครูอุมาพร) สวัสดีค่ะ วันนี้นะคะ เราจะมาพูดคุยกันถึงบทที่ 1 เรื่อง เซต กันต่อนะคะ ซึ่งในบทเรียนที่แล้วนะคะ นักเรียนจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับความหมาย และสัญลักษณ์ต่าง ๆ ของเซตไปแล้ว เดี๋ยวเรามาดูกันค่ะว่าในบทเรียนในวันนี้ นักเรียนจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับอะไรบ้างค่ะ เดี๋ยวเรามาดูวัตถุประสงค์ ของบทเรียนนี้กันดีกว่านะคะ ในบทเรียนนี้นะคะ จะพูดถึงการบอกความหมายของเซตว่างค่ะ บอกจำนวนสมาชิกของเซต บอกความหมายของเซตจำกัดและเซตอนันต์ และเขียนสัญลักษณ์ของเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ ถ้าพร้อมแล้ว เดี๋ยวเราไปเริ่มเรียนบทเรียนกันเลยดีกว่าค่ะ จากภาพนะคะ นักเรียนจะเห็นว่าเป็นภาชนะ 1 ใบนะคะ ซึ่งบรรจุสมาชิก ก็คือ 1, 3, 5, 7, 9 ค่ะ เดี๋ยวเรามาทบทวนการเขียนเซต แบบแจกแจงสมาชิกกันดีกว่าค่ะ นักเรียนสามารถเขียนเซตนี้ได้อย่างไรบ้างคะ อันดับแรกเราจะต้องเขียนวงเล็บปีกกา ใช่หรือเปล่าคะ ตามด้วยสมาชิก คือ 1, 3, 5, 7 นะคะ แล้วก็ 9 ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูภาพถัดมานะคะ ภาพถัดมาเป็นภาชนะเช่นกันค่ะ ที่บรรจุตัวอักษรภาษาอังกฤษเอาไว้ นักเรียนสามารถเขียนเซตนี้ได้หรือเปล่าคะ ก็คือเราจะเขียนเป็น a, b, c, d, e, f ใช่หรือเปล่าล่ะคะ เดี๋ยวเรามาดูภาชนะใบที่ 3 กันค่ะ ภาชนะใบสุดท้าย นักเรียนจะเห็นว่าไม่มีสมาชิกใด ๆ อยู่เลยนะคะ นักเรียนทราบหรือเปล่าล่ะคะ ว่าถ้าไม่มีสมาชิกอยู่เลย นักเรียนจะสามารถเขียนเซตได้อย่างไรบ้าง เดี๋ยวเรามาดูกันดีกว่าค่ะ เราจะเรียกเซตที่ไม่มีสมาชิกนะคะ ว่า "เซตว่าง" ค่ะ โดยจะเขียนแทนเซตว่างนะคะ ด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้ค่ะ เป็นสัญลักษณ์วงเล็บปีกกา {} นะคะ หรือเราจะใช้สัญลักษณ์วงกลมนะคะ แล้วก็มีขีดพาดทับค่ะ ตัวอย่างของเซตว่างนะคะ ตัวอย่างแรกค่ะ ให้เซต A นะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ x เป็นชื่อจังหวัดในประเทศไทย ที่ขึ้นต้นด้วย "ฮ" นักเรียนทราบไหมคะ ว่ามีจังหวัดอะไรบ้างในประเทศไทย ที่ชื่อขึ้นต้นด้วย "ฮ" ตอบได้ไหมคะ นักเรียนก็คงจะตอบว่า ไม่มีจังหวัดอะไรใช่ไหมคะ ที่ชื่อจังหวัดขึ้นต้นด้วย "ฮ" ถูกต้องแล้วค่ะ เพราะเซตนี้นะคะ จะไม่มีสมาชิกอยู่เลยค่ะ ดังนั้นนะคะ เซต A จึงเป็นเซตว่างค่ะ คุณครูก็จะเขียนว่าเซต A นะคะ เป็นเซตว่าง โดยครูจะเลือกใช้สัญลักษณ์นะคะ เป็นวงกลมแล้วก็มีขีดค่ะ แบบนี้ค่ะ ถัดมานะคะ ให้ B ค่ะ เป็นเซตของ x นะคะ โดยที่ x เป็นจำนวนจริงค่ะ และ x + 1 = x ค่ะ นักเรียนสามารถหาสมาชิกของเซตนี้ ได้หรือเปล่าคะ โดยการหาจำนวนจริงนะคะ ที่แทนค่าลงไปใน x ค่ะ แล้วทำให้สมการนี้เป็นจริงค่ะ นักเรียนก็คงจะตอบว่า ไม่มีจำนวนจริงใดเลยใช่ไหมคะ ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง เพราะฉะนั้นแล้ว เซต B ไม่มีสมาชิกนะคะ จะได้ว่าเซต B เป็นเซตว่างเช่นกันค่ะ ต่อไปเดี๋ยวเรามาดู การหาจำนวนสมาชิกของเซตกันดีกว่าค่ะ ในการหาจำนวนสมาชิกของเซตนะคะ ที่มีสมาชิกไม่มากนะคะ เราสามารถทำได้ โดยเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนะคะ แล้วแจงนับจำนวนสมาชิกทั้งหมดนั้นค่ะ เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่างกันดีกว่านะคะ ตัวอย่างนี้นะคะ จงหาจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้ ข้อที่ 1 เซตว่าง ข้อที่ 2 เซต A ค่ะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย ข้อที่ 3 เซตของ B ประกอบไปด้วยสมาชิก x นะคะ โดยที่ x เป็นจำนวนคี่บวกที่มี 2 หลักค่ะ เดี๋ยวเรามาเริ่มการหาจำนวนสมาชิก ในข้อที่ 1 กันดีกว่านะคะ ข้อที่ 1 นะคะ เซตว่างค่ะ จากความหมายของเซตว่างนะคะ นักเรียนจะทราบว่าเซตว่างนะคะ เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกนะคะ จึงจะได้ว่านะคะ เซตว่างนะคะ มีสมาชิก 0 ตัวค่ะ ถัดมานะคะ เป็นข้อที่ 2 นะคะ เดี๋ยวเรามาดูกันค่ะ ในข้อนี้นะคะ เซต A นะคะ เป็นเซตที่เขียนแบบบอกเงื่อนไขมานะคะ ซึ่งในที่นี้เราต้องทำการเขียนเซต A นะคะ เป็นแบบแจกแจงสมาชิกค่ะ เดี๋ยวเรามาเขียนกันเลยดีกว่านะคะ คุณครูจะเขียนเซต A นะคะ แบบแจกแจงสมาชิกค่ะ โดยการใส่พยัญชนะในภาษาไทยนะคะ ก็คือเริ่มต้นจาก "ก" ค่ะ "ข" นะคะ ตามด้วย "ฃ" ค่ะ ไปเรื่อย ๆ นะคะ จนถึงตัวสุดท้าย คือ "ฮ" ค่ะ ในการนับจำนวนสมาชิกของเซต A นะคะ นักเรียนก็สามารถนับได้เลยค่ะ ว่า ก-ฮ นะคะ มีกี่ตัวค่ะ ในที่นี้นะคะ จะได้ว่าเซต A นะคะ มีสมาชิกทั้งหมด 44 ตัวนั่นเองค่ะ เดี๋ยวเรามาดูข้อที่ 3 กันต่อเลยดีกว่านะคะ ข้อที่ 3 นะคะ เป็นการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขเหมือนกันค่ะ เราจะต้องทำการเขียนเซตนี้นะคะ ให้เป็นแบบแจกแจงสมาชิกค่ะ คุณครูก็จะเขียนเซต B นะคะ แบบแจกแจงสมาชิกค่ะ พิจารณาสมาชิกนะคะ นักเรียนจะพบว่าสมาชิกในเซต B นะคะ เป็นจำนวนคี่บวกที่มี 2 หลักค่ะ นักเรียนตอบได้หรือเปล่าคะ ว่าจำนวนคี่บวกที่มี 2 หลักจำนวนแรกคืออะไร ก็คือ 11 นั่นเองนะคะ ถัดมาล่ะคะ 13 ค่ะ 15 นะคะ ไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวสุดท้าย ที่เป็นคี่บวกที่มี 2 หลัก ก็คือ 99 ค่ะ หลังจากนั้นนะคะ นักเรียนทำการนับค่ะ จำนวนสมาชิกในเซต B นะคะ จะได้ว่านะคะ เซต B มีจำนวนสมาชิก 45 ตัวค่ะ เดี๋ยวเรามาดูความหมายของเซตจำกัด และเซตอนันต์กันต่อเลยนะคะ เรียกเซตที่มีจำนวนสมาชิก เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือ 0 นะคะ ว่าเซตจำกัดค่ะ ตัวอย่างของเซตจำกัดนะคะ ตัวอย่างแรกค่ะ เซตของ 1, 2, 3 ไปเรื่อย ๆ จนถึง 20 ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่าเซตนี้นะคะ มีจำนวนสมาชิกทั้งหมด 20 ตัว ซึ่ง 20 นะคะ เป็นจำนวนเต็มบวกค่ะ เราเลยเรียกเซตนี้นะคะ ว่าเซตจำกัดค่ะ ถัดมานะคะ เป็นเซตของ x ค่ะ โดยที่ x เป็นชื่อจังหวัดในประเทศไทยค่ะ นักเรียนสามารถตอบได้ไหมคะ ว่าเซตนี้มีจำนวนสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว 77 ตัวนั่นเองค่ะ เพราะฉะนั้นแล้ว 77 นะคะ เป็นจำนวนเต็มบวกค่ะ เลยเรียกเซตนี้ว่า "เซตจำกัด" เช่นกันนะคะ ถัดมาค่ะ เป็นเซตว่างนะคะ ซึ่งนักเรียนได้หาจำนวนสมาชิก เมื่อสักครู่นี้แล้วนะคะ ก็คือ 0 นั่นเองค่ะ ค่ะ ก็เลยเรียกเซตนี้นะคะ ว่า "เซตจำกัด" ค่ะ ถัดมานะคะ เราจะเรียกเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัดนะคะ ว่า "เซตอนันต์" ค่ะ ตัวอย่างเช่น เซตแรกนะคะ เซตของ 1, 2, 3 ไปเรื่อย ๆ ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่านักเรียนไม่สามารถ บอกจำนวนสมาชิกทั้งหมดได้นะคะ เซตของ 1 เศษ 1 ส่วน 2 เศษ 1 ส่วน 4 เศษ 1 ส่วน 8 ไปเรื่อย ๆ ค่ะ ก็ไม่สามารถ บอกจำนวนสมาชิกทั้งหมดได้เช่นกันนะคะ รวมถึงเซตของ x ค่ะ โดยที่ x เป็นจำนวนเต็มค่ะ ต่อไปเดี๋ยวเรามาดูความหมาย ของเอกภพสัมพัทธ์กันค่ะ ในการเขียนเซตนะคะ จะต้องกำหนดเซตที่บ่งบอกถึงขอบเขตนะคะ ของสิ่งที่จะพิจารณาค่ะ โดยจะเรียกเซตนี้นะคะ ว่าเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ โดยเรานะคะ จะเขียนแทนด้วยตัว U ลักษณะแบบนี้นะคะ โดยที่เราจะต้องมีข้อตกลงค่ะ ว่าถ้าเรากล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ นะคะ เราจะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนะคะ ที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่างดีกว่าค่ะ กำหนดให้นะคะ เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริงค่ะ เซตของ A นะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ x ยกกำลัง 2 เท่ากับ 4 นะคะ และเซต B นะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ x ยกกำลัง 3 เท่ากับ -1 ค่ะ เดี๋ยวเรามาเขียนเซต A และเซต B นะคะ แบบแจกแจงสมาชิกกันค่ะ เราจะได้เซต A นะคะ โดยการพิจารณาสมาชิกค่ะ สมาชิกของเซต A นะคะ จะต้องเป็นจำนวนที่ยกกำลัง 2 แล้วเท่ากับ 4 ค่ะ จำนวนอะไรบ้างคะ นักเรียนทราบหรือเปล่า ก็คือ 2 และ -2 นะคะ เมื่อเรานำ 2 และ -2 มาพิจารณานะคะ จะพบว่า 2 และ -2 เป็นจำนวนจริงนะคะ เพราะฉะนั้นแล้ว สมาชิกของ A นะคะ ก็คือ 2 และ -2 ค่ะ ถัดมานะคะ นักเรียนจะเห็นว่านะคะ จำนวนที่ยกกำลัง 3 นะคะ แล้วเท่ากับ -1 นะคะ ก็คือ -1 นั่นเองค่ะ แล้ว -1 นะคะ ก็เป็นจำนวนจริงค่ะ เพราะฉะนั้นแล้วนะคะ เซต B นะคะ มีสมาชิก คือ -1 ค่ะ ถัดมาทางด้านขวานะคะ กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ค่ะ คือ เซตของจำนวนเต็มบวกนะคะ เซตของ A ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ x ยกกำลัง 2 เท่ากับ 4 นะคะ และเซต B นะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ x ยกกำลัง 3 เท่ากับ -1 ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่าทางด้านซ้าย และด้านขวามือนะคะ เซต A และเซต B นะคะ เหมือนกันนะคะ ต่างกันที่การกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูกันดีกว่านะคะ ว่าการกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกนะคะ จะได้สมาชิกของเซต A และเซต B เป็นอะไรบ้างค่ะ เรามาดูที่เซต A กันก่อนนะคะ เมื่อสักครู่นี้นะคะ นักเรียนได้หาไปแล้วใช่ไหมคะ จำนวนที่ยกกำลัง 2 แล้วเท่ากับ 4 นั่นก็คือ 2 และ -2 นะคะ แต่แล้วเมื่อพิจารณาดูแล้วนะคะ -2 นะคะ ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกค่ะ สมาชิกของ A นะคะ จึงเป็นเพียงแค่ 2 เท่านั้นค่ะ เรามาพิจารณาที่ B กันต่อค่ะ เมื่อสักครู่นี้นะคะ นักเรียนก็ได้หาไปแล้วนะคะ จำนวนที่ยกกำลัง 3 แล้วเท่ากับ -1 ก็คือ -1 นะคะ ซึ่ง -1 นะคะ ก็ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกเช่นกันค่ะ เพราะฉะนั้นแล้วนะคะ เซต B นะคะ จึงเป็นเซตว่างค่ะ นักเรียนจะเห็นว่าในบางครั้งนะคะ การกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ที่ต่างกันนะคะ ส่งผลให้สมาชิกของเซตนะคะ แตกต่างกันด้วยค่ะ เพราะฉะนั้นแล้วนะคะ นักเรียนควรระมัดระวังนะ ในการเขียนเซตทุกครั้งนะคะ ควรจะต้องตรวจสอบนะคะ เอกภพสัมพัทธ์ก่อนค่ะ แล้วเราจะระบุเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้ค่ะ โดยให้เซต N นะคะ เป็นเซตของจำนวนนับค่ะ เซตของ Z นะคะ แทนเซตของจำนวนเต็มค่ะ เซต Q นะคะ แทนเซตของจำนวนตรรกยะค่ะ Q' นะคะ แทนเซตของจำนวนอตรรกยะค่ะ และ R นะคะ แทนเซตของจำนวนจริงค่ะ ในบางครั้งนะคะ เพื่อความสะดวกนะคะ เราจะระบุเอกภพสัมพัทธ์นะคะ ลงในการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขค่ะ ตัวอย่างนะคะ ให้เซต A ค่ะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x นะคะ ซึ่งเป็นสมาชิกของ N ค่ะ โดยที่ x ยกกำลัง 2 เท่ากับ 4 ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่าในเซตนี้นะคะ มีการระบุเอกภพสัมพัทธ์นะคะ ลงไปด้านหลังตัวแปรค่ะ ซึ่งในที่นี้นะคะ เซตของ N ก็คือเซตของจำนวนนับนั่นเองน่ะค่ะ เดี๋ยวเรามาหาสมาชิกในเซต A กันนะคะ จำนวนที่ยกกำลัง 2 นะคะ และเท่ากับ 4 ก็คือมี 2 และ -2 นะคะ แต่เนื่องจากเราต้องการ เพียงแค่จำนวนนับอย่างเดียวนะคะ เพราะฉะนั้นแล้ว สมาชิกของเซต A จึงเป็นเพียงแค่ 2 ค่ะ ถัดมาที่เซต B ค่ะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x นะคะ ซึ่งเป็นสมาชิกของ Z ค่ะ โดยที่ x ยกกำลัง 2 = 4 นะคะ นักเรียนจะเห็นว่าเซตนี้นะคะ ก็ระบุเอกภพสัมพัทธ์ คือ Z ซึ่งเป็นจำนวนเต็มนะคะ ลงไปด้วยค่ะ ซึ่งเมื่อเราระบุเอกภพสัมพัทธ์นะคะ เป็นจำนวนเต็มแล้วนะคะ สมาชิกของเซต B ในที่นี้นะคะ จึงสามารถเป็น -2 ได้ด้วยค่ะ แบบนี้ค่ะ ถ้าเรานะคะ ไม่ได้กำหนดว่าเซตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์นะคะ ในระดับนี้นะคะ เราจะถือว่าเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ คือ เซตของจำนวนจริงนะคะ ต่อไปเดี๋ยวเรามาทบทวนบทเรียนกันดีกว่าค่ะ บทเรียนในวันนี้นะคะ เราพูดถึงเซตว่างค่ะ เซตว่าง ก็คือเซตที่ไม่มีสมาชิกนะคะ โดยจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ปีกกา หรือไม่ก็เป็นวงกลมนะคะ ขีดทับค่ะ แล้วก็เซตที่มีจำนวนสมาชิกนะคะ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือ 0 นะคะ เราจะเรียกว่า "เซตจำกัด" ค่ะ และเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัดนะคะ เราจะเรียกว่า "เซตอนันต์" ค่ะ ถัดมานะคะ ในการเขียนเซต จะต้องกำหนดเซตที่บ่งบอกถึงขอบเขต ของสิ่งที่จะพิจารณานะคะ เราจะเรียกเซตนี้นะคะ ว่า "เอกภพสัมพัทธ์" ค่ะ ซึ่งจะเขียนแทนด้วยตัว U ใช่ไหมคะ แล้วก็เอกภพสัมพัทธ์ที่เราจะพบบ่อยนะคะ ก็คือ N ค่ะ เป็นเซตของจำนวนนับนะคะ Z แทนเซตของจำนวนเต็ม Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ Q' แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ และ R แทนเซตของจำนวนจริงค่ะ [เสียงดนตรี]