สวัสดีครับนักเรียน มาพบกับครูเอิร์ทนะครับ และบทเรียนเรื่องเซต ก่อนหน้านี้เราเรียนอะไรมาบ้างครับ นักเรียนพอจะจําได้ไหมครับ เราเรียนการดําเนินการนะครับ ที่มีชื่อเรียกว่า "ยูเนียน (∪)" และ "อินเตอร์เซกชัน (∩)" นะครับ นักเรียนรู้ไหมครับ ว่าเรายังมีการดําเนินการตัวอื่นอีกนะครับ ซึ่งวันนี้เราจะมาเรียนการดําเนินการอีกตัวหนึ่ง ซึ่งมีชื่อเรียกว่า "คอมพลีเมนต์ (')" นะครับ จะเป็นอย่างไรนั้น เรามาติดตามชมกันเลย ก่อนอื่นครูขอเริ่มที่วัตถุประสงค์ของเรื่องนี้นะครับ เมื่อนักเรียนเรียนจบแล้วนะครับ นักเรียนจะสามารถเขียนเซตที่ได้ จากการคอมพลีเมนต์กันของเซตได้นะครับ และข้อต่อมา นักเรียนจะสามารถเชื่อมโยงความรู้ ระหว่างคอมพลีเมนต์ของเซต และแผนภาพเวนน์ได้นะครับ เรามาเริ่มเรียนกันเลยนะครับ กําหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5} นะครับ และเซต A = {1, 2, 3} นะครับ ครูมีคําถามให้นักเรียนลองทําดูนะครับ ให้นักเรียนเขียนเซตที่มีสมาชิก เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A นะครับ นักเรียนจะได้คําตอบเป็นอย่างไรครับ เราจะได้คําตอบเป็นเซต {4, 5} นะครับ เนื่องจาก 4 และ 5 เป็นสมาชิกของ U นะครับ แต่ 4 และ 5 ไม่อยู่ในเซต A นะครับ 4 และ 5 ก็เลยเป็นคําตอบของข้อนี้นะครับ เราเรียกเซตดังกล่าวนี้ว่า "คอมพลีเมนต์ของเซต A" นะครับ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ดังนี้นะครับ ซึ่งครูจะเรียกสัญลักษณ์ดังนี้ว่า "คอมพลีเมนต์ของเซต A" นะครับ หรือ "A คอมพลีเมนต์" นะครับ จากสัญลักษณ์นี้ ครูก็เลยเขียนได้ว่า A′ = {4,5} นะครับ เรามาดูนิยามของคอมพลีเมนต์ (') กันนะครับ กําหนด U ให้แทนเอกภพสัมพัทธ์นะครับ และเซต A เป็นสับเชตของเซต U นะครับ คอมพลีเมนต์ของเซต A ก็คือเซตที่มีสมาชิก เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A นะครับ เราเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ดังนี้นะครับ โดยเราเขียนบทนิยามในรูปของสัญลักษณ์ คณิตศาสตร์ได้ดังนี้นะครับ A′ เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นสมาชิกของ U ครับ และ x ไม่เป็นสมาชิกของเซต A ซึ่งเราอาจใช้สัญลักษณ์อื่นแทน A′ ได้นะครับ เป็นตัวนี้นะครับ หรือเป็นตัวนี้ หรือเป็นตัวนี้ หรือเป็นตัวนี้นะครับ แต่ในที่นี้ครูจะขอใช้เพียงแค่สัญลักษณ์ ตัวนี้ตัวเดียวนะครับ หลังจากที่นักเรียนเรียนบทนิยามมาแล้วนะครับ ครูจะมีชวนคิดให้นักเรียนลองคิดตามครูดูนะครับ ชวนคิดนี้นะครับ ให้หา U′ และ ∅′ นะครับ ก่อนอื่นเรามาดูบทนิยามของเรากันก่อนนะครับ เป็นบทนิยามที่เราเพิ่งเรียนมานะครับ เราลองมาทํา U′ ดูนะครับ จากบทนิยาม U′ ก็คือเซตของ x โดยที่ x เป็นสมาชิกของ U และ x ไม่เป็นสมาชิกของ U นะครับ นักเรียนจะเห็นว่า x ที่เป็นสมาชิกของ U และ x ที่ไม่เป็นสมาชิกของ U คืออะไร นั่นคือไม่มีสมาชิกเลย ดังนั้น U′ ก็คือ ∅ นะครับ ต่อมาเราจะหา ∅′ นะครับ จาก ∅′ คือ เซตของ x โดยที่ x อยู่ใน U และ x ไม่อยู่ใน ∅ นะครับ ดังนั้น เราจะได้ว่า ∅′ นะครับ = U ครับ ต่อไป เรามาดูตัวอย่างต่อไปกันนะครับ ให้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} นะครับ และ A = {0, 2, 4} และ B = {3, 4} นะครับ ครูให้นักเรียนหา A' และ B' ครับ วิธีทํานะครับ ครูจะเริ่มทํา A' ก่อนนะครับ โดยที่ครูจะพิจารณาสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A นะครับ เรามาดูที่ 0 ก่อนนะครับ จะเห็นว่า 0 อยู่ใน U ใช่ไหมครับ และ 0 อยู่ใน A ฉะนั้น 0 ไม่เป็นสมาชิกที่เราพิจารณาอยู่นะครับ ต่อมาเรามาดู 1 นะครับ จะเห็นว่าหนึ่งอยู่ใน U นะครับ แต่ 1 ไม่อยู่ใน A เลยนะครับ ดังนั้น สมาชิก 1 ก็จะอยู่ในเซตที่เราพิจารณานะ ต่อมาเรามาดู 2 บ้าง 2 อยู่ใน U และ 2 ก็อยู่ใน A ฉะนั้น 2 ไม่อยู่ในเซตที่เราพิจารณานะ ต่อมา เรามาดู 3 บ้าง 3 อยู่ใน U แต่สามไม่อยู่ในเซต A นะ ฉะนั้น 3 ก็จะเป็นสมาชิกที่เราสนใจ 4 บ้าง 4 อยู่ใน U นะ แต่ 4 ก็อยู่ในเซต A เช่นกัน ฉะนั้น 4 เราไม่เอามาพิจารณานะ ต่อมา เรามาดู 5 เป็นอย่างไรครับ 5 อยู่ใน U และ 5 ก็ไม่อยู่ใน A ฉะนั้น 5 เป็นสมาชิกตัวสุดท้ายนะครับ ที่เราสนใจ ดังนั้น ครูเลยมาเขียนเซตของ A′ ได้เป็นดังนี้นะครับ ต่อมานะครับ เราจะมาทําข้อถัดมานะครับ ก็คือจะหา B′ นะครับ โดยเราจะเริ่มพิจารณาสมาชิก ที่เป็นสมาชิกของ U นะครับ แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B นะครับ คืออะไร เรามาดูกันนะครับ ก็สมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B ก็จะมี 0, 1, 2 และ 5 นะครับ ซึ่งเราก็จะได้เป็นดังนี้นะ ดังนั้น ครูก็จะเขียน B′ ได้เป็นเซตของ {0, 1, 2, 5} นะครับ เรามาดูตัวอย่างถัดมานะครับ ให้ U ของเรานะครับ คือเซตของ {0, 1, 2, 3,...} นะครับ และเซต C ของเรา ก็คือเซตของ {0, 2, 4, 6,...} นะครับ โจทย์ถามเราว่า ให้หา C′ นะครับ มาดูวิธีทํากันนะครับ โจทย์ถามหา C′ ใช่ไหมครับ ดังนั้น เรามาพิจารณาสมาชิกก่อนนะ ก็คือเราจะพิจารณาสมาชิก ที่เป็นสมาชิกของ U นะครับ แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต C ซึ่งเราพิจารณาแล้ว เราก็จะได้ว่า มีสมาชิกคือ {1, 3, 5, 7,...} นะครับ ดังนั้น เซต C′ ของเรา ก็คือเซตของ {1, 3, 5, 7,...} นะครับ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่ง ก็คือ C′ เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นจํานวนคี่บวกนะครับ ต่อมาเราจะมาพิจารณาความเชื่อมโยง ระหว่างแผนภาพเวนน์และคอมพลีเมนต์นะครับ เรามีแผนภาพเวนน์แสดงดังนี้นะครับ เราให้นักเรียนแรเงาส่วนที่แสดง A′ นะครับ นักเรียนจะทําอย่างไรดีครับ เริ่มจาก A′ ก่อนแล้วกันนะ A′ ก็คือเซตที่สมาชิกแต่ละตัว เป็นสมาชิกของ U นะครับ แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เราก็จะแรเงาได้ เป็นอย่างไรครับ ก็อันนี้คือ A นะ สมาชิกของเซต A ก็ต้องอยู่ใน A ใช่ไหมครับ แต่เราจะแรเงา สมาชิกของ U ที่ไม่เป็นสมาชิกของ A ก็จะแสดงว่าเราจะแรเงา รอบนอก A ใช่ไหมครับ ก็แสดงเป็นรูปแรเงาได้ ดังนี้นะ ส่วนที่แรเงานี้ เราจะเรียกว่า "A′" นะครับ เรามาดูตัวอย่างแผนภาพเวนน์ เพื่อประกอบความเข้าใจนะครับ เรากําหนดแผนภาพแสดงดังนี้นะครับ โจทย์ถามหาข้อแรก A′ และข้อ 2 (B ∩ C)′ นะครับ ทําอย่างไรนั้น เรามาดูกันเลย ครูขอเริ่มทําข้อแรกก่อนนะครับ ข้อแรกหา A′ ใช่ไหมครับ เราทําอย่างไรดี แล้วก็มาดูก่อนว่า A เราคืออะไร A ก็คือที่เราแสดงกันแรเงาใช่ไหมครับ A′ ก็คือแรเงาส่วนอื่นที่ไม่ใช่อยู่ใน A ใช่ไหม ก็จะแสดงว่าแรเงารอบนอกตรงนี้ ทั้งหมดเลยใช่ไหม เราก็จะแสดงเป็นรูปได้ดังนี้ ฉะนั้น สมาชิกที่อยู่ในบริเวณที่แรเงานั้นแหละ คือคําตอบของเราในข้อนี้นะครับ ซึ่งก็จะเป็นเซตของ {0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10} นะครับ ต่อมาครูจะขอทําข้อ 2 นะ ข้อ 2 โจทย์ถามหา (B ∩ C)′ ใช่ไหมครับ ครูก็ต้องมาพิจารณาก่อนนะ ว่าเราจะทําอะไร เราก็จะดูก่อนว่า B ∩ C คืออะไร B อยู่นี่ใช่ไหมครับ และ C อยู่นี่ใช่ไหมครับ B ∩ C ก็คือส่วนที่เป็นส่วนร่วมกัน ระหว่าง B และ C ก็คือตรงบริเวณที่ครูกําลังไล่อยู่ใช่ไหมครับ ก็คือจะได้รูปเป็นดังนี้ อันนี้คือรูปของ B ∩ C (B ∩ C)′ ล่ะครับ จะเป็นรูปแบบไหน ก็คือเป็นรูปที่อยู่ใน U แต่ไม่อยู่ใน B ∩ C ใช่ไหมครับ ก็จะเป็นรูปที่อยู่รอบนอกนี้ทั้งหมดเลย ก็จะแสดงรูปได้เป็นดังนี้นะครับ ฉะนั้น สมาชิกที่อยู่ในบริเวณที่แรเงาทั้งหมด ก็จะเป็นเซตของ (B ∩ C)′ นะครับ แสดงได้ดังนี้เลย ครับ เรามาดูตัวอย่างข้อถัดมานะครับ กําหนดให้นะครับ U แทนด้วยเซตดังนี้นะครับ และเซต A ของเราแทนด้วยเซตดังนี้นะครับ และเซต B ของเราแทนด้วยเซตนี้นะ และเซต C ก็แทนด้วยเซตนี้เช่นกันนะครับ โจทย์ถามหาทั้งหมด ด้วยกันทั้งหมด 3 ข้อนะครับ ข้อแรกโจทย์ถามหา (A ∪ B ∪ C)′ นะครับ และข้อที่ 2 โจทย์ถามหา (A ∪ B)′ ∩ C นะครับ และข้อสุดท้ายนะครับ โจทย์ถามหา A ∩ (B ∪ C )′ นะครับ เรามาดูวิธีทํากันเลยนะครับ วิธีทํานะครับ ครูเริ่มทําด้วยข้อแรกก่อนนะ ครูก็จะหา A ∪ B ∪ C นะครับ ว่าเป็นเช่นไรนะครับ A ∪ B ∪ C ก็คืออะไร คือเซตที่มีสมาชิกอยู่ใน A หรืออยู่ใน B หรืออยู่ใน C นะครับ ก็จะมีสมาชิกที่เป็นหน้าตาแบบนี้เลย ครูก็จะเขียนได้เป็นดังนี้นะครับ ต่อมาโจทย์ต้องการถามหาอะไรนะครับ โจทย์ถามหา (A ∪ B ∪ C)′ ใช่ไหมครับ ก็จะได้เป็นสมาชิก ที่อยู่ใน U เรานะครับ แต่ไม่เป็นสมาชิก ใน A ∪ B ∪ C นะครับ ซึ่งจะได้คําตอบออกมาเป็น เซตของ {8, 9, 10} นะครับ ต่อมานะครับ ครูก็จะทําข้อ 2 นะ ข้อ 2 ครูก็จะพิจารณาในวงเล็บก่อนนะครับ ก็พิจารณา A ∪ B นะครับ A ∪ B คืออะไร ทบทวนกันอีกครั้งนะครับ A ∪ B ก็คือเซตที่มีสมาชิกอยู่ในเซต A หรืออยู่ในเซต B นะครับ จะได้ว่าคือเซตของ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} นะครับ เมื่อนักเรียนพิจารณาเสร็จแล้วนะครับ ทีนี้เราก็ต้องหาเซต (A ∪ B)′ ใช่ไหมครับ คืออะไร คือเซตที่มีสมาชิกอยู่ใน U นะครับ มีสมาชิกอยู่ใน U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A ∪ B นี้นะครับ ก็คืออะไร แล้วก็มาดูกันนะครับ ก็คือมีเซตของ {7, 8, 9, 10} นะครับ ดังนั้น (A ∪ B)′ ∩ C ก็จะได้เป็นเซตของ สมาชิกที่อยู่ใน (A ∪ B)′ และอยู่ใน C นักเรียนจะเห็นว่ามีสมาชิกเป็นอะไรครับ ในนี้มี 7 อยู่ในนี้และ 7 อยู่ในนี้ใช่ไหมครับ ดังนั้น คําตอบของเรา ก็คือเซตของ 7 นะครับ มาดูข้อถัดมานะครับ ข้อถัดมาเหมือนเดิมเลยนะครับ เราเจอวงเล็บใช่ไหมครับ เราก็จะทําในวงเล็บก่อนนะ ครูก็เริ่มจากพิจารณา B ∪ C นะ B ∪ C คืออะไร ก็คืออันนี้นะครับ ต่อมา ครูก็ต้องพิจารณา (B ∪ C)′ นะครับ (B ∪ C)′ คืออะไร ก็คือเซตที่มีสมาชิกอยู่ใน U นี้นะครับ แต่ไม่อยู่ใน B ∪ C คือไม่อยู่ในตัวนี้ใช่ไหมครับ พิจารณาแล้ว ก็จะได้คําตอบมาเป็น เซตของ {1, 4, 8, 9, 10} นะครับ ทีนี้โจทย์ถามหา A ( ∩ B ∪ C)′ ใช่ไหมครับ อินเตอร์เซก ก็คือเอาส่วนที่เป็นส่วนร่วมกัน ระหว่างเซต A และเซต (B ∪ C)′ ใช่ไหมครับ ครูก็จะได้ว่ามีส่วนร่วมคืออะไรนะครับ เราลองพิจารณาดูนะครับ ก็คือมี 1 และ 4 ใช่ไหมครับ อยู่ใน (B ∪ C )′ใช่ไหม แล้วก็มี 1 และ 4 อยู่ใน A ฉะนั้น คําตอบของเรา ก็คือเซตของ 1 และ 4 นะครับ ต่อมานะครับ ครูจะแสดงตัวอย่างนี้ โดยการใช้แผนภาพเวนน์นะครับ เรามาดูกันนะครับ เมื่อเราเอาข้อมูลทั้งหมดนะครับ มาวาดเป็นแผนภาพเวนน์นะครับ ก็จะวาดได้ดังนี้นะครับ นักเรียนอาจจะลองทบทวนแผนภาพเวนน์ ด้วยตัวเองด้วยการวาดด้วยตัวเอง ลองอีกครั้งหนึ่งนะครับ ครูเริ่มทําข้อ 1 ก่อนนะ หา (A ∪ B ∪ C)′ นะครับ ขั้นแรกเลย ครูก็จะหา A ∪ B ∪ C ก่อนนะ ก็คืออะไร คือสมาชิกที่อยู่ใน A ใช่ไหมครับ หรือสมาชิกที่อยู่ใน B หรือสมาชิก C ใช่ไหมครับ พอครูแรเงาก็จะได้รูปเป็นดังนี้นะ ในนี้คอมพลีเมนต์คืออะไรครับ คือสมาชิกที่อยู่ใน U แต่ไม่อยู่ใน A ∪ B ∪ C ใช่ไหม ครูก็จะแรเงาที่รอบนอกตรงนี้นะ ทั้งหมดเลย ก็จะแสดงรูปได้เป็นดังนี้ ทีนี้ คําตอบของเรา ก็คือสมาชิกที่อยู่ในส่วนที่แรเงา ดังนั้น (A ∪ B ∪ C)′ ก็จะเท่ากับเซตของ 8, 9 และ 10 นะครับ ต่อมา ครูจะทําข้อ 2 นะ ข้อ 2 เหมือนเดิมเลย เราเจอวงเล็บนะ เราจะทําวงเล็บก่อนนะ ครูก็จะหา A ∪ B ก่อนใช่ไหม A ∪ B ก็คือสมาชิก ที่อยู่ในเซต A ใช่ไหมครับ และสมาชิกที่อยู่ในเซต B คือเอาทั้ง 2 วงเลย อย่างนั้น ครูจะแรเงาได้เป็นดังนี้นะ ต่อมา เราเห็นเครื่องหมายคอมพลีเมนต์ใช่ไหมครับ แปลว่าอย่างไร แปลว่าเราต้องแรเงาในส่วนไหนครับ แรงเอาในส่วนที่อยู่นอก A ∪ B ใช่ไหมครับ ก็จะได้เป็นรูปดังนี้ใช่ไหมครับ ครูก็จะแรเงาได้เป็นดังนี้นะ ถัดมา เขาบอกว่าให้หา (A ∪ B)′ ∩ C ใช่ไหมครับ C อยู่ตรงไหนครับ C อยู่ตรงนี้ใช่ไหมครับ อินเตอร์เซก ก็คือเอาส่วนที่เป็นส่วนร่วมกัน ก็คือจะแรงเอาได้เป็นรูปตรงนี้ใช่ไหมครับ แสดงได้ดังนี้นะ ฉะนั้น ตอบในข้อที่ 2 ของเรา ก็คือเซตของ 7 นะครับ ต่อมา ครูก็จะทําข้อ 3 ใช่ไหมครับ ข้อ 3 นั้น โจทย์ถามหาอะไรนะครับ โจทย์ถามหา A ∩ (B ∪ C)′ ใช่ไหมครับ เราเหมือนเดิมเลย เราเจอวงเล็บ เราก็จะทําในวงเล็บก่อนใช่ไหมครับ ฉะนั้น ครูก็จะหา B ∪ C ก่อนนะ B ∪ C คืออะไรครับ เหมือนเดิมนะ ก็คือสมาชิกที่อยู่ใน B หรืออยู่ใน C ก็จะแสดงรูปแรเงาได้เป็นดังนี้นะ ทีนี้ คอมพลีเมนต์ของเราคืออะไรนะครับ คอมพลีเมนต์ ก็คือสมาชิกที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่อยู่ใน B ∪ C นะ ก็จะแปลว่าเราก็จะแรเงา ส่วนที่ไม่ใช่ B ∪ C ใช่ไหม เราก็จะแรเงาในส่วนนี้ แสดงเป็นรูปได้ดังนี้นะครับ ต่อมา โจทย์ถามหา A ∩ (B ∪ C)′ ใช่ไหมครับ ก็ A อยู่นี่นะ แล้วก็อินเตอร์เซกกับส่วนที่เราแรเงา ไว้ก่อนหน้านั้นแล้ว ก็จะเหลือเป็นรูปดังนี้นะ เหลือเป็นรูปของที่มีสมาชิกเป็น 1 กับ C ฉะนั้น คําตอบของเรา ก็คือเซตของ 1 และ C นะครับ เราจะเห็นว่าทั้ง 2 วิธีที่ครูนําเสนอนั้นนะครับ เป็นวิธีที่สามารถหาคําตอบได้เหมือนกัน ดังนั้น นักเรียนสามารถใช้วิธีใดก็ได้ ในการหาคําตอบนะครับ เรามาดูสิ่งที่เราได้เรียนรู้กันนะครับ วันนี้นะครับ เราได้เรียนคอมพลีเมนต์ของเซต A นะครับ ซึ่งคอมพลีเมนต์ของเซต A นั้น ก็คือเซตที่มีสมาชิก เป็นสมาชิกของ U นะครับ แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A นะ ซึ่งเราเขียนแทนสัญลักษณ์นี้ อ่านว่า 'คอม-พละ-เมินทฺ-ของ-เซต-เอ' นะครับ หรือ 'เอ-คอม-พละ-เมินทฺ' นะครับ เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ทางคณิตศาสตร์ได้เป็นดังนี้นะครับ ก็คือ A′ เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นสมาชิกของ U และ x ไม่อยู่ในเซต A นะครับ ต่อมาเป็นการเชื่อมโยงระหว่างแผนภาพเวนน์ และคอมพลีเมนต์ของเซตนะครับ เรากําหนดให้ U นะครับ แทนด้วย U นะครับ และเซต A เป็นสับเชตของ U นะครับ ครูก็จะวาด แผนภาพเวนน์ได้เป็นดังนี้นะครับ เรามาแรเงาส่วน A′ นะครับ ก็จะได้รูปเป็นดังนี้นะ ก่อนจากกันนะครับ ครูมีแบบฝึกหัดให้นักเรียนทบทวนนะครับ เพื่อฝึกความเข้าใจ จบแล้วนะครับ สําหรับการดําเนินการ ที่มีชื่อเรียกว่า "คอมพลีเมนต์" นะครับ และเรายังเหลืออีกหนึ่งการดําเนินการนะครับ ซึ่งจะเป็นการดําเนินการอะไรนั้น เรามาติดตามชมในคลิปวิดีโอถัดไปนะครับ สําหรับวันนี้ สวัสดีครับ