[เสียงดนตรี] (คุณครูอุมาพร) สวัสดีค่ะ วันนี้นะคะ เราจะมาพูดคุยถึงบทที่ 1 เรื่อง เซต ค่ะ ซึ่งอยู่ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ค่ะ ก่อนอื่นเดี๋ยวเรามาดูวัตถุประสงค์ ของบทเรียนนี้กันก่อนนะคะ ในบทเรียนนี้นะคะ คุณครูจะพูดถึงการบอกความหมายของเซต เขียนสัญลักษณ์เกี่ยวกับเซตค่ะ และเขียนแสดงเซตนะคะ ถ้าพร้อมแล้ว เดี๋ยวเรามาเริ่มเรียนกันเลยดีกว่าค่ะ จากรูปนะคะ นักเรียนจะเห็นว่ามีกล่องอยู่ 1 ใบนะคะ ซึ่งกล่องใบนี้คุณครูเรียกว่า "กล่องปริศนา" ค่ะ กล่องปริศนาใบนี้บรรจุสิ่งต่าง ๆ ไว้มากมายเลย เดี๋ยวเรามาดูกันดีกว่านะคะ ว่ากล่องใบนี้จะมีอะไรบ้าง ตัวแรกค่ะ เป็นเลขอะไรคะ 1 นะคะ ถัดมาเป็น 2 นะคะ นักเรียนสามารถเดาได้ไหมคะ ว่าตัวถัดไปจะเป็นอะไร เป็นมังคุดค่ะ a ทุเรียนนะคะ u ค่ะ o แตงโมค่ะ e i ชมพู่ค่ะ เดี๋ยวเรามาทำการจัดกลุ่ม สิ่งของต่าง ๆ เหล่านี้กันดีกว่าค่ะ กลุ่มแรกนะคะ เป็นกลุ่มของผลไม้ค่ะ นักเรียนสามารถบอกได้ไหมคะ ว่าอะไรบ้างที่เป็นผลไม้ ก็ต้องมีมังคุด ทุเรียน แตงโม แล้วก็ชมพู่ใช่ไหมคะ กลุ่มถัดมาค่ะ กลุ่มของจำนวนนับ อะไรบ้างคะ ที่เป็นจำนวนนับ ก็คือ 1 และ 2 นั่นเองค่ะ กลุ่มสุดท้ายค่ะ กลุ่มของสระในภาษาอังกฤษ อะไรบ้างคะ ที่เป็นสระในภาษาอังกฤษ ก็คือ a, e, i, o, u นั่นเองนะคะ นักเรียนจะสังเกตเห็นว่ากลุ่มทั้ง 3 กลุ่มนี้นะคะ สามารถบอกได้แน่นอนเลยใช่ไหมคะ ว่าอะไรที่อยู่ในกลุ่ม และอะไรที่ไม่ได้อยู่ในกลุ่มใช่ไหมคะ ซึ่งลักษณะแบบนี้นะคะ ในทางคณิตศาสตร์ค่ะ เราจะเรียกว่า "เซต" ค่ะ ในคณิตศาสตร์ ใช้คำว่า "เซต" นะคะ ในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วนะคะ สามารถทราบได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มค่ะ ตัวอย่างเช่นค่ะ เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 3 นะคะ เซตของสระในภาษาอังกฤษค่ะ เซตของชื่อวันในสัปดาห์ และเราจะเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตนะคะ ว่า "สมาชิก" ค่ะ ตัวอย่างเช่นนะคะ เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 3 ค่ะ ว่านักเรียนสามารถบอกได้ไหมคะ ว่าเซตนี้มีสมาชิกเป็นอะไรบ้าง สมาชิกของเซตนี้นะคะ ก็คือ 1 และ 2 ค่ะ เซตของสระในภาษาอังกฤษล่ะคะ บอกได้ไหมคะ มีสมาชิกเป็นอะไรบ้าง ก็คือมี a, e, i, o และ u ค่ะ เซตของชื่อวันในสัปดาห์ล่ะคะ มีสมาชิก ได้แก่ จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ และอาทิตย์ค่ะ ถัดไปค่ะ เซตของคำตอบของสมการ x ยกกำลัง 2 - 4 = 0 นักเรียนทราบไหมคะ อะไรเป็นคำตอบของสมการนี้ หลักการวิธีหานะคะ เราจะหาจำนวนที่ยกกำลัง 2 - 4 = 0 ค่ะ นั่นก็คือ 2 และ -2 ค่ะ ตัวอย่างเช่น 2 นะคะ ถ้าครูนำ 2 ยกกำลัง 2 นะคะ จะได้ 4 เมื่อ 4 - 4 ก็จะเท่ากับ 0 ค่ะ เพราะฉะนั้นแล้ว สมาชิกของเซตนี้นะคะ ก็คือ 2 และ -2 ค่ะ ต่อไปเป็นการเขียนแสดงเซตนะคะ การเขียนแสดงเซตนะคะ จะเขียนได้ 2 แบบค่ะ ก็คือ 1. แบบแจกแจงสมาชิกค่ะ 2. คือ แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก เดี๋ยวเรามาดูแบบที่ 1 คือ แบบแจกแจงสมาชิกกันดีกว่านะคะ แบบนี้นะคะ จะมีวิธีการเขียน ก็คือจะเขียนสมาชิกทุกตัวค่ะ ของเซตลงในวงเล็บปีกกา และใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) ก็คือเครื่องหมายลักษณะแบบนี้ค่ะ คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวนะคะ ตัวอย่างเช่นค่ะ เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 ค่ะ จะเขียนได้ดังนี้นะคะ คุณครูก็จะเริ่มเขียนจากปีกกาก่อนค่ะ หลังจากนั้นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 มีอะไรบ้างคะ ก็คือมี 1, 2, 3, 4 หมดหรือยังคะ หมดแล้วนะคะ ก็จะตามด้วยวงเล็บปีกกาปิดค่ะ ในการเขียนชื่อเซตนะคะ เราจะใช้อักษรภาษาอังกฤษค่ะ ตัวพิมพ์ใหญ่นะคะ และสมาชิกของเซต จะใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กนะคะ ตัวอย่างเช่นค่ะ ให้ A นะคะ แทนเซตซึ่งมีสมาชิก 3 ตัว ได้แก่ a, b และ c นะคะ เราจะเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิกได้แบบนี้ค่ะ อันดับแรกนะคะ ก็จะเขียนชื่อเซตก่อนค่ะ หลังจากนั้นนะคะ ก็ใส่สมาชิกลงไปในวงเล็บปีกกาค่ะ นี่ค่ะ อันนี้นะคะ จะอ่านว่า เซตของ A นะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก a, b และ c ค่ะ ต่อไปนะคะ จะให้ B ค่ะ แทนเซตของจำนวนเต็ม ที่ยกกำลัง 2 แล้วได้ 16 ค่ะ เซตนี้นะคะ หลักการก็คือเราจะเขียนชื่อเซตค่ะ มีอะไรบ้างคะ ที่มีจำนวนเต็ม ที่ยกกำลัง 2 แล้วได้ 16 ก็คือมี 4 แล้วก็ -4 ค่ะ ทีนี้ค่ะ ในกรณีที่สมาชิกของเซตนะคะ มีจำนวนมาก การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นนะคะ เราจะใช้จุดสามจุด (...) ค่ะ เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่น ๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปค่ะ ว่ามีอะไรบ้างอยู่ในเซตนั้นนะคะ หมายความว่า สมมตินักเรียนมีเซตอยู่ 1 เซตนะคะ ซึ่งเซตนั้นน่ะค่ะ มีสมาชิกจำนวนมาก นักเรียนจะเขียนสมาชิกทั้งหมดนะคะ ในเซตนั้นออกมาได้ลำบากนะคะ หลักการก็คือเราจะใช้ ... นะคะ แสดงว่ามีสมาชิกตัวถัด ๆ ไปค่ะ อยู่ในเซตนั้นด้วยนะคะ ตัวอย่างเช่นค่ะ ให้ C แทนเซตของพยัญชนะในภาษาไทยนะคะ เราก็จะเขียนเซต C แบบนี้ค่ะ C = นะคะ หลังจากนั้นพยัญชนะภาษาไทยค่ะ ขึ้นต้นตัวแรกอะไรคะ ก, ข, ฃ ใช่ไหมคะ เราก็จะเขียนลงไปค่ะ ส่วนตัวถัด ๆ ไปนะคะ เราจะใช้ ... ค่ะ เป็นตัวแทน และตัวสุดท้าย คือ ฮ นะคะ ก็จะเขียนปิดท้ายค่ะ ต่อไปเรามาดูตัวอย่างถัดไปกันดีกว่านะคะ ตัวอย่างถัดไปค่ะ ให้ D แทนเซตของจำนวนคู่ นักเรียนทราบไหมคะ ว่าจำนวนคู่มีอะไรบ้าง นักเรียนหลายคนนะคะ อาจจะเข้าใจว่าจำนวนคู่นะคะ ก็คือ ได้แก่ จำนวน 2, 4, 6, 8 ไปเรื่อย ๆ ใช่ไหมคะ แต่จริง ๆ แล้วนะคะ จำนวนคู่นะคะ ยังมีมากกว่านั้นอีกค่ะ จำนวนคู่นะคะ ในทางคณิตศาสตร์ค่ะ หมายถึง จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวนะคะ ซึ่งสามารถเป็นจำนวนคู่ลบก็ได้ค่ะ ตัวอย่างเช่น -2, -4, -6, -8 ไปเรื่อย ๆ ค่ะ รวมถึง 0 ด้วยนะคะ 0 ก็หารด้วย 2 ลงตัวค่ะ มีผลลัพธ์เป็น 0 เพราะฉะนั้นแล้วนะคะ การเขียนเซต D นะคะ เราจะเริ่มต้นจากเขียนชื่อเซตนะคะ และเขียนจำนวนคู่ลบก่อนค่ะ จำนวนคู่ลบ ก็คือ -2, -4, -6 ไปเรื่อย ๆ ใช่ไหมคะ ทีนี้เราต้องเขียนจำนวนที่น้อยที่สุดก่อนค่ะ ซึ่งเราไม่ทราบนะคะ เพราะไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้นแล้ว เราก็จะเขียน ... ไปค่ะ แล้วก็ตามด้วย -6, -4, -2 หลังจากนั้นก็ตามด้วย 0 นะคะ แล้วก็ตามด้วยจำนวนคู่บวกค่ะ คือ 2, 4, 6 ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูอีกสักตัวอย่างหนึ่งนะคะ ให้ E แทนเซตของเลขโดด ที่ปรากฏในจำนวน 121 นักเรียนทราบไหมคะ ว่าเลขโดดมีอะไรบ้าง เลขโดดในทางคณิตศาสตร์นะคะ ก็คือมี 0 ถึง 9 ค่ะ ซึ่งในที่นี้นะคะ เลขที่พบ ก็คือ 1 และ 2 ค่ะ ในหลักการเขียนเซตนะคะ ถ้ามีจำนวนใดนะคะ ซ้ำกันมากกว่า 1 ตัวนะคะ เราจะเขียนเพียงแค่ครั้งเดียวค่ะ ตัวอย่างเช่น เซตนี้นะคะ แล้วก็จะเขียนเป็น E = {1, 2} แบบนี้ค่ะ ต่อไปนะคะ เรามาดูการเขียนเซต แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกกันค่ะ เราจะใช้ตัวแปรนะคะ แทนสมาชิกค่ะ แล้วบรรยายสมบัติหรือเงื่อนไขนะคะ ตัวอย่างเช่นค่ะ เซตนี้นะคะ อ่านว่า 'เซตของ F ประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป็นจำนวนนับที่มีหลักเดียว' เดี๋ยวคุณครูจะค่อย ๆ อธิบายทีละส่วนนะคะ ส่วนแรกค่ะ F ก็คือชื่อเซตน่ะค่ะ นักเรียนสามารถตั้งชื่อเซตนะคะ ได้เองนะคะ โดยใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ตัวใดก็ได้ค่ะ ส่วนถัดมานะคะ ก็คือ x ค่ะ x ในที่นี้นะคะ ก็คือตัวแปรค่ะ ที่ใช้แทนสมาชิกนะคะ ในเซตค่ะ นักเรียนสามารถเลือกตัวแปรได้เองนะคะ เช่นเดียวกับชื่อเซตนะคะ แต่ต้องเป็นตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็กค่ะ สัญลักษณ์ขีดตรงอันนี้นะคะ เราจะอ่านว่า 'โดยที่' ค่ะ นักเรียนสามารถใช้สัญลักษณ์ ลักษณะจุดสองจุด (:) นะคะ แทนสัญลักษณ์ขีดตรง ๆ นี้ได้ด้วยค่ะ ส่วนคำว่า "x" เป็นจำนวนนับนะคะ ที่มีหลักเดียวนะคะ อันนี้นะคะ ก็คือเงื่อนไขหรือสมบัติค่ะ เราจะเปลี่ยนไปตามเซตนะคะ ที่เราอยากจะเขียนนะคะ ซึ่งในที่นี้ค่ะ สมาชิกของเซตนี้นะคะ ก็คือจำนวนนับที่มีหลักเดียวค่ะ ก็คือ 1, 2, 3 ไปเรื่อย ๆ จนถึง 9 นะคะ เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่าง เพื่อความเข้าใจมากขึ้นดีกว่าค่ะ ตัวอย่างถัดไปนะคะ ให้ B แทนเซตของจำนวนเต็ม ที่ยกกำลัง 2 แล้วได้ 16 ค่ะ เซตนี้นะคะ วิธีการเขียน ก็คือเราจะเขียนเซต B ค่ะ ตามด้วยตัวแปรนะคะ ซึ่งในที่นี้คุณครูจะเลือกใช้ตัวแปร x ค่ะ และตามด้วยสัญลักษณ์โดยที่ ( | ) นะคะ เงื่อนไขของเซตนี้นะคะ คือ ต้องการจำนวนเต็มนะคะ เพราะฉะนั้นแล้ว คุณครูจะเขียนเซตนี้ ว่า x เป็นจำนวนเต็มค่ะ และเงื่อนไขที่ 2 นะคะ ก็คือต้องการให้ยกกำลัง 2 นะคะ แล้วได้ 16 ค่ะ ซึ่งในที่นี้นะคะ ตัวแปรของเราเป็น x เราจะต้องใช้ x ยกกำลัง 2 นะคะ เท่ากับ 16 แบบนี้ค่ะ เดี๋ยวคุณครูจะอ่านเซตนี้ให้ฟังอีกครั้งนะคะ อันนี้ เซตนี้นะคะ อ่านว่า เซตของ B ประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป็นจำนวนเต็ม และ x ยกกำลัง 2 = 16 ค่ะ ต่อไปนะคะ ให้ C ค่ะ แทนเซตของพยัญชนะในภาษาไทย เดี๋ยวเรามาเขียนเซต C กันดีกว่าค่ะ อันดับแรกก็เขียนชื่อเซตค่ะ ตามด้วยตัวแปรนะคะ ตามด้วยสัญลักษณ์โดยที่ ( | ) และเขียนว่า x เป็นพยัญชนะในภาษาไทยค่ะ เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่างเซต G นะคะ ครูให้เซต G ค่ะ ประกอบไปด้วยสมาชิก คือ 2 และเศษ 1 ส่วน 2 ค่ะ คำว่า "เป็นสมาชิกของ" นะคะ หรือ "อยู่ใน" นะคะ จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์นี้ค่ะ สัญลักษณ์แบบนี้นะคะ ตัวอย่างเช่นนะคะ คุณครูต้องการบอกว่า 2 เป็นสมาชิกของ G นะคะ คุณครูอาจจะเขียนเป็นสัญลักษณ์แทนค่ะ เขียนแบบนี้นะคะ 2 แล้วก็ตามด้วยสัญลักษณ์ แล้วก็เขียน G ค่ะ เช่นเดียวกันกับเศษ 1 ส่วน 2 นะคะ คุณครูต้องการบอกว่า เศษ 1 ส่วน 2 เป็นสมาชิกของ G คุณครูก็จะเขียนเป็นเศษ 1 ส่วน 2 เป็นสมาชิกของ G แบบนี้ค่ะ ส่วนคำว่า "ไม่เป็นสมาชิกของ" จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ลักษณะแบบนี้นะคะ เป็นสัญลักษณ์คล้ายกันค่ะ แต่มีขีดพาดนะคะ ตัวอย่างเช่นค่ะ เศษ 1 ส่วน 3 ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่า เศษ 1 ส่วน 3 นะคะ ไม่เป็นสมาชิกของ G ใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้นแล้ว เราจะเขียนได้เป็น เศษ 1 ส่วน 3 ตามด้วยสัญลักษณ์ค่ะ แล้วก็เขียน G ค่ะ อีกสัก 1 ตัวอย่างนะคะ อย่างเช่น 1,000 ค่ะ 1,000 เราก็จะเห็นว่า ไม่เป็นสมาชิกของ G เช่นกันนะคะ เพราะฉะนั้น คุณครูก็จะเขียนว่า 1,000 แล้วตามด้วยสัญลักษณ์เดิมค่ะ แล้วก็ G ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่างนะคะ ของการเป็นสมาชิกของเซตค่ะ ตัวอย่างนี้นะคะ ให้ A นะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก 0 1 และ 2 ค่ะ จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้นะคะ เป็นจริงหรือเท็จค่ะ ข้อความที่ 1 นะคะ 0 ∈ A ข้อความที่ 2 ค่ะ {0} ∈ A ข้อ 3 ค่ะ เซตของ {1, 2} ∉ A ค่ะ ในหลักการพิจารณาโจทย์ข้อนี้นะคะ เราจะต้องทำการพิจารณาสมาชิกก่อนค่ะ ว่าในเซต A มีสมาชิกเป็นอะไรบ้าง นักเรียนสามารถตอบได้ไหมคะ ว่าสมาชิกของเซต A มีอะไรบ้าง สมาชิกของเซต A นะคะ มีจำนวน 3 ตัวค่ะ ได้แก่ 0 นะคะ 1 และ 2 ค่ะ เมื่อเราทราบสมาชิกเรียบร้อยแล้วนะคะ เดี๋ยวเรามาดูข้อ 1 กันเลยค่ะ ข้อ 1 นะคะ ระบุว่า 0 ∈ A ถูกต้องไหมคะ ถูกต้องนะคะ 0 ∈ A เพราะฉะนั้นแล้วนะคะ ข้อนี้เป็นจริงค่ะ ข้อ 2 นะคะ {0} ∈ A นักเรียนจะสังเกตเห็นว่าเซตของ 0 นะคะ ต่างจากข้อที่ 1 นะคะ ตรงที่มีวงเล็บปีกกาใช่ไหมคะ การที่เราใส่วงเล็บปีกกานะคะ จะทำให้ความหมายของเซตนี้นะคะ เป็นคนละแบบนะคะ กับข้อ 1 นะคะ ซึ่งข้อ1 นี่ จะไม่ใช่เซตนะคะ เพราะฉะนั้นแล้ว นักเรียนลองพิจารณาดูค่ะ สมาชิกจะต้องไม่มี... ในข้อนี้นะคะ จะต้องไม่มีวงเล็บปีกกานะคะ เพราะฉะนั้นแล้ว ข้อที่ 2 นะคะ เป็นเท็จค่ะ ส่วนในข้อที่ 3 นะคะ {1, 2} ∉ A ค่ะ นักเรียนก็จะสังเกตเห็นว่าเซตของ 1, 2 นะคะ ก็มีวงเล็บปีกกาอยู่ด้วยใช่ไหมคะ ซึ่งในข้อนี้ สมาชิกตัวใด ๆ ก็ไม่มีวงเล็บปีกกาเลยนะคะ เพราะฉะนั้น ข้อนี้นะคะ จึงเป็นจริงค่ะ เป็นอย่างไรกันบ้างคะ กับเรื่องนี้ ง่ายหรือเปล่าคะ เดี๋ยวเรามาทบทวนบทเรียนกันดีกว่านะคะ ในคณิตศาสตร์นะคะ จะใช้คำว่า "เซต" ในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วนะคะ สามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มค่ะ และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มนะคะ เรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า "สมาชิก" ค่ะ คำว่า "เป็นสมาชิกของ" หรือ "อยู่ใน" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ลักษณะแบบนี้นะคะ คำว่า "ไม่เป็นสมาชิกของ" จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ไม่เป็นสมาชิก ลักษณะแบบนี้ค่ะ ต่อไปนะคะ การเขียนแสดงเซตแบบเบื้องต้นนะคะ จะมี 2 แบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิกค่ะ และแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก นักเรียนก็อย่าลืมกลับไปทบทวนบทเรียนนะคะ สำหรับวันนี้ สวัสดีค่ะ [เสียงดนตรี]