(ล่าม) สวัสดีค่ะ (นักศึกษาชาย) สวัสดีครับ อาจารย์ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) สวัสดีค่ะ ได้ยินเสียงไหมคะ เทสต์ ๆ ได้ยินเสียงไหมเอ่ย (ล่าม) ทางล่ามได้ยินเสียงนะคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ขอบคุณค่ะ สวัสดีค่ะ ๆ เดี๋ยวรอสักครู่นะคะ (ล่าม) ค่ะอาจารย์ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เน็ตที่บ้านก็ไม่ค่อยดี (ล่าม) ทางโน่นฝนตกไหมคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เมื่อคืนหนักมากค่ะ (ล่าม) ทางนี้ก็แอบตกปรอย ๆ เหมือนกันค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ที่กรุงเทพฯ ใช่ไหมคะ (ล่าม) ใช่ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อ๋อ ที่กรุงเทพฯ ฝนตก มีอยู่อย่างเดียวน้ำท่วม (ล่าม) แอบลุ้นเหมือนกันค่ะ แอบลุ้นเหมือนกัน น้ำท่วมรอระบาย รอการระบาย โอเค เดี๋ยวรอนักศึกษานิดหนึ่งนะคะ (ล่าม) ได้ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) นักศึกษาใครมาแล้วเปิดกล้องเปิดไมค์คุยกับครู คุยกับครูล่ามก็ได้นะคะ สันติภาพมาแล้ว โอ.เค. มิ้นมาแล้ว ก็สวัสดีคุณครูล่ามและนักศึกษาทุกคนนะคะ เดี๋ยวครูจะเริ่มการบรรยายในวันนี้นะคะ เดี๋ยวครูคิดว่านักเรียนทุกคนคงอยากรู้คะแนนตัวเอง แต่อดใจรอสักครู่นะคะ เดี๋ยวครูก็จะทำการตรวจ แล้วก็ทำการ Return หรือส่งคะแนนไปทางอีเมลของตัวเราเองนะคะ ก็ถ้ามีความจำเป็นตอนสัปดาห์สุดท้าย ครูอาจจะขอคุยกับนักศึกษาเป็นบางคนนะคะ อาจจะขอคุยกันผ่านออนไลน์ เพื่อสอบถามความเข้าใจเป็นส่วนตัวนะคะ ดังนั้น อาจจะต้องมีคุณครูล่ามของศูนย์ DSS นะคะ วันนี้เทพอักษรขอลานะคะ ขอให้หายป่วยไว ๆ นะคะ เทพอักษร ช่วงนี้ก็อากาศเปลี่ยนแปลงนะคะ คุณครูก็จะไม่สบาย ลงพื้นที่ UPT ด้วย โอเค ไฟล์ที่ครูส่งให้ใน LINE กลุ่มนะคะ เป็นเรื่องของเมทริกซ์ จะแชร์โครงการสอนนิดหนึแชร์โครงการก่อนเพื่อให้นักศึกษาได้ทบทวนว่าเราเรียนอะไรไปบ้างแล้ว แล้วยังเหลือหัวข้ออะไร เราเก็บตกเนื้อหาได้มากี่เปอร์เซ็นต์แล้ว แป๊บหนึ่งแชร์หน้าต่างโครงการสอน ตอนนี้การเรียนของเรานี่ก็เดินทางมาเกินของเวลาเรียนทั้งหมดในภาคการศึกษานี้ แล้วจังหวัด เขาก็มีคำสั่ง ประกาศให้สถานศึกษาทุกแห่งในจังหวัดเราสอนออนไลน์ตลอดภาคเรียน มีประกาศของมหาวิทยาลัยก็ชัดเจนแล้ว พวกเราก็เลยต้องเรียนออนไลน์ในลักษณะแบบนี้นะคะ โอเค ตอนนี้จากคำอธิบายรายวิชาเราคุยเรื่องเลขฐานกันเรียบร้อยแล้ว ก็คือตอบกันไป วันนี้เราก็จะเรียนเรื่องเมทริกซ์แล้วก็เวกเตอร์ ก็จะเป็นการทบทวนความรู้เกี่ยวกับเมทริกซ์คืออะไรนะคะ ในหัวข้อของ เมทริกซ์ ดังนั้น ครูก็จะอธิบายพ่วงไปถึงระบบสมการพ่วงไปด้วยกันเลยนะคะ ฉะนั้น ในชีตที่ส่งให้เป็น PDF นี่จะเป็นเนื้อหาเรื่องเมทริกซ์ สะเหมือนกันการใช้เมทริกซ์ในการแก้ปัญหาในระบบสมมการนะคะ ระบบสมการระบบปัญหา เป็นเรื่องเดียวกันนะคะ ส่วนสมการเชิงเส้น เดี๋ยวครูจะพิจารณาอีกนิดหนึ่งนะคะ ว่าเนื้อหานี้ไม่เหมาะกับการบรรยายในลักษณะนี้ ก็อาจจะข้ามไปเป็นหัวข้อเลขจำนวน และอนุกรมนะคะ ซึ่งการเรียนของเราก็ใช้เวลาพอสมควรทั้งนี้ครูก็จะดำเนินการให้ได้มากกว่าหรือไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ของคำอธิบายรายวิชานะคะ โอเค จะเริ่มกันต่อเลย เมทริกซ์คืออะไร ครูจะแชร์หน้าต่าง โอเค เมทริกซ์นะคะ ความหมายของเมทริกซ์ ก็คือไปด้วย เป็นำกลุ่ม กลุ่มของสิ่งของที่มีสมาชิกอยู่ข้างในนะคะ เมทริกซ์เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เราจะใใช้ปีกกาเป็นก้ามปูนะคะ เหมือนก้ามปูใหญ่มาคลุมสิ่งของที่อยู่ข้างใน ดังนั้น โดยนิยาม นิยามก็เป็นเหมือนข้อตกลง เป็นเหมือนสิ่งที่เป็นบรรทัดฐานยอมรับในความเป็นจริง ในทางคณิตศาสตร์นะคะ เขาเรียกว่านิยาม นิยามเมทริกซ์ ก็คือกลุ่มของจำนวนจริงหรือจำนวนซ้อน ที่จัดเรียงรูปเป็นผืนผ้าสามารถอ้างอิงได้ในแนวนอนกับแนวตั้งนะคะ ตอนนี้ ถ้าพวกเราคิดถึงอะไรเอ่ย อะไรเอ่ยที่มีทั้งแนวนอนและแนวตั้ง คิดถึงแมนชัน นึกถึงแมนชันนะคะ ครูจะพูดเรื่องเมทริกซ์คล้าย ๆ กับชีวิตจริงเรา หอพักก็ได้ หอพักนักศึกษา หอพักหนึ่งตัวอาคารก็เป็นตัวอาคารตึงนี้มีอยู่ 3 ชั้น 3 ชั้น ชั้นที่ 1 ชั้นที่ 2 ชั้นที่ 3 นะคะ แล้วในแต่ละชั้นมี 5 ห้อง ตึก 1 ตึกนะคะ มี 3 ชั้น แต่ละชั้นมี 5 ห้อง ขนาดห้องแต่ละห้องเท่าเทียมกัน คราวนี้ครูสอบถามก่อนค่ะ ว่าหอพักนี้มีห้องพักทั้งหมดกี่ห้องคะ ขอสมาชิกห้องเลยนะคะ ตอบผ่านครูล่ามได้นะคะ หรือว่าใครที่พูดได้เปิดไมค์ตอบครูเลย (นักศึกษาชาย) ทวนคำถามไหมหน่อยครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) แมนชันมีหอพักอาคารหนึ่งนะคะ อาคารนั้นมีอยู่ 3 ชั้น แต่ละชั้นมีห้องพักอยู่ 5 ห้อง แต่ละห้องขนาดเท่าเทียมกัน เท่า ๆ กัน คำถามถามว่าอาคารนี้มีจำนวนหอพักทั้งหมด มีห้องพักทั้งหมดกี่ห้องค่ะ (สันติภาพ) 3 ชั้น ชั้น 5 ห้อง ก็ประมาณ 15 ห้องครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเคค่ะ ตอบเลย มี 15 ห้องครับ นี่ ตัวอย่างการเก็บข้อมูลแบบเมทริกซ์นะคะ ถ้าเรามาเขียนแต่ละห้องเป็นหมายเลขกำกับว่าห้องที่ 1 ชั้นที่ 1 11 X ห้อย 11 นะคะ ชั้นที่ 1 ห้องที่ 2 ก็คือหลักที่ 2 นะคะ เราก็อาจจะใช้เป็นสัญลักษณ์เป็น x12 นะคะ เป็นตัวห้อยก็จะเป็นชั้นที่ของห้องที่ 5 ของชั้นที่ 1 นี่เป็นเลข 1/5 ชั้นที่ 2 เราอาจจะตั้งชื่อป้ายห้องเป็น เพื่อให้สื่อถึงการอ้างอิงถึงห้องนั้นก็จะเป็น X21 หมายถึงว่า ห้องที่อยู่ชั้นที่ 2 เป็นลำดับที่ 1 ก็เป็น X21 การอ้างอิงตัวห้อยนี้ จะเป็นการอ้างอิงเป็นแนวแถวกับแนวตั้ง แนวตั้งหรือแนวหลัก คือ คอลัมน์ ภาษาอังกฤษนะคะ ทีนี้มาดู โอเค ถ้าเขียนเป็นสัญลักษณ์ เขียนสัญลักษณ์ตอนนี้สลับกันนิดหนึ่งนะคะ ชั้นที่ 1 อยู่ข้างล่าง เราจะพูดเหมือนกับกลับด้านนิดหนึ่ง ก็คือพูดจากบนลงล่างนะคะ ถ้ามีเมทริกซ์หนึ่งเมทริกซ์ใด เราจะเขียนด้วยตัวพิมพ์อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่นะคะ จะถามครูว่าเอาภาษาไทยได้ไหม พอดีเราเรียนตำรานี่ฝรั่งเขาคิดขึ้น ก็เลยต้องใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษ เมทริกซ์ A A ใหญ่ A ใหญ่นี่จะเป็นเมทริกซ์นะคะ ว่าจะมีก้ามปู มี... เขาเรียกอะไรละ วงเล็บ วงเล็บใหญ่นะคะ วงเล็บก้ามปู ใช้คำว่า "ก้ามปู" แล้วกันนะคะ วงเล็บก้ามปูตรงนี้คลุมอยู่ ข้างในจะมีสมาชิก สมาชิกภาษาอังกฤษใช้คำว่า นะคะ สมาชิกมีใครบ้าง สมาชิกของเมทริกซ์ A จะแทนด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กเพื่อให้สอดคล้องกันเพื่อให้รู้ว่าสมาชิกของ A ใช้เป็น a ทีนี้การอ้างอิงถึงที่มา... เดี๋ยวนะคะ เลเซอร์ เดี๋ยวครูเอาเลเซอร์ชี้ด้วย PowerPoint ตัวนี้นะคะ ไม่ได้ใช้นาน ตอนนี้ครูเอาเมาส์ไปชี้ หรือเลเซอร์ไปชี้ที่ a11 อันนี้คือสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 หลักที่ 1 เห็นไหมคะ เป็น a เล็ก ห้อย 11 สมาชิกตัวถัดไป ตรงนี้ก็จะเป็น a ห้อย 12 1 ตัวแรกบอกแล้วว่ามันเป็นแถวที่ 1 อันนี้เป็นแถวที่ 1 นี่คือแถวที่ 1 ทั้งหมดนี่ แถวที่ 1 ส่วนในแนวตั้ง หรือคอมลัมน์ในแถวที่ 2 เป็น a12 ตัวถัดไป ตัวถัดไปเราก็จะทราบโดยลักษณะนี้ A13 นะคะ A13 แถวที่ 1 มีกี่ตัวไม่รู้ เราสมมติว่ามีอยู่ n ตัว ตัวสุดท้ายก็จะใช้สัญลักษณ์เป็น a ห้อยด้วย 1N นะคะ 1 บอกว่าแถวที่ 1 N บอกว่าอยู่คอลัมน์ที่ n นะคะ อันนี้คือสมาชิกแถวที่ 1 คราวนี้ดูสมาชิกแถวที่ 2 แถวที่ 2 ตรงนี้นะคะ มันเป็นแถวที่ 2 เราก็ต้องใช้เลข 2 แทนเลขแถว นพกิตมาแล้ว แป๊บหนึ่งนะคะ ตรงนี้ นพกิตมาแล้ว ครูคิดถึงเธอเพราะเธอเป็นคนที่เปิดกล้องตลอดเลย ครูรอเธออยู่สวัสดีค่ะ โอเค a21 นะคะ a21 ตัวนี้คือสมาชิกตัวแรกของแถวที่ 2 นะคะ สมาชิกตัวแรกของแถวที่ 2 คู่ 1 ตัวนี้นะคะ ตัวถัดมาก็จะเป็น a ห้อย หรือ a ฆีืหแพรยำ 22 นะคะ เดชาพลมาแล้วนะคะ บรรยายไปได้สักพักแล้ว ตัวสุดท้ายของแถวที่ 2 แถวที่ 2 นี้นะคะ ก็จะเป็น ครูดูผิดจอ หลายจอมากครูก็งง a 2n โอเคนะคะ อันนี้พูดไปทีละแถวจนหมดแล้ว แถวสุดท้าย แถวสุดท้ายนี่ เราไม่รู้ว่าแถวที่เท่าไร ที่ครูกำลังอธิบายนี่เป็นรูปทั่วไปหรือ Genaral Form ของเมทริกซ์ แถวสุดท้ายไม่รู้เป็นแถวอะไร ก็เป็นแถวที่ M ก็แล้วกันนะ แถวที่ m นะคะ แถวที่ m สมาชิกตัวแรก ก็จะแทนด้วย a 1 นะคะ m บอกชื่อว่าเป็นแถวที่ m 1 บอกให้รู้ว่าเป็นแถวคอลัมน์ที่ 1 ตัวถัดมา ก็คือ a Subคู่ 2 หรือ n2 ก็ได้นะคะ a ตัวสุดท้ายนะคะ สมชิกตัวสุดท้ายกับสคริปต์ n คู่ n เป็นamn a subscrip mn เข้าใจตรงกันนะคะ คราวนี้เราจะรู้ได้อย่างไรว่า a นี้มันเป็นเมทริกซ์ขนาดใหญ่หรือเล็ก ดูตัวจำนวนแถวกับจำนวนหลักนะคะ ถ้ายิ่งจะมีจำนวนแถวมาก ๆ แสดงว่าเมทริกซ์นั้นเป็นอย่างไร แล้วมีจำนวนหนักมาก ๆ เมทริกซ์นั้นก็ใหญ่มากนะ เหมือนแมนชันเลย แมนชันนะคะ แมนชัน 3 3 แถว 3 ชั้นนะคะ ชั้นละ 5 ห้อง มีทั้งหมด 15 ใช่ไหมคะ 3 x 5 = 15 แมนชันหนึ่ง ตี๋สันถูกหวยรางวัลที่ 1 วันนี้ ตี๋ตั้นสร้างหอพักเลย สร้างหอพัก มีห้อพักของตี๋สั้นนี่ มี 10 ชั้น แต่ละชั้นมี 10 ห้อง แสดงว่าห้องพักของตี๋สันมีทั้งหมดกี่ห้องคะ มี 10 ชั้น แต่ละชั้นมี 10 ห้อง ก็เป็นเท่าไรคะ (สันติภาพ) 100 ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 100 ใช่เห็นไหม หอพักของครูนี่ 3 ชั้น ชั้นละ 5 ห้องมี 15 ห้อง ครูเป็นหอพักเล็ก ๆ แต่ตี๋ตั้นเป็นหอพักขนาดใหญ่ เมทริกซ์ ถ้าพูดถึงเรื่องเมทริกซ์เป็นเรื่องเดียวกันนะคะ เมทริกซ์ขนาดที่ครูพูดไป ก็คือเมทริกซ์ขนาด 3 แถว คูณ 5 หลัก เขาเรียกว่า ไดเมนชันหรือมิติของเมทริกซ์นะคะ เป็น A Subscrip m x n ถ้า B ที่แทนหอพักของตี๋สันนะคะ ก็จะเป็น b กับสคริปต์ 10 x 10 ก็คือมี 10 แถว คูณ 10 หลัก ตอนนี้เราทราบคุณสมบัติของเมทริกซ์ประการสัปดาห์ที่ 1 นะคะ ถ้าครูพูดถึงเรื่องเมทริกซ์ปุ๊บ คือต้องรู้มิติเขาว่าเขามีมิติใหญ่หรือเล็ก นั่นก็คือจะต้องทราบว่าเขามีกี่แถว และมีกี่หลักนะคะ สัญลักษณ์ของเมทริกซ์จะแทนด้วยตัวภาษาอังกฤษพิมพ์ใหญ่ ห้องด้วย.หรือจำนวนแถวคูณจำนวนหลักนะคะ ที่เลเซอร์ชี้อยู่นะคะ โอเค คราวนี้ศัพท์เฉพาะนะคะ ถ้าเมทริกซ์ใด เมทริกซ์ใดมีเพียงแถวเดียว มีเพียงแถวเดียว ตอนนี้นะคะ มีเมทริกซ์ 1 เกิดขึ้น มีแถวเดียว ครูโโชว์ตรงนี้นะคะ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกประกอบไปด้วย 5 ตัวแรกนะคะ เป็น 2 ตัวที่ 3 เป็น -8 ตรงนี้นะคะ เป็น -8 เมทริกซ์ในลักษณะนี้ ก็คือมีแถวเดียวจะกี่หลักก็ตามเราเรียกว่าเวกเตอร์ แต่เป็นเวกเตอร์ในแนวแถวนะคะ เป็นเวกเตอร์ในแนวแถว เราเรียกเขาว่า "เมทริกซ์แถว" หรือ Vector เขาเรียกได้ 2 แบบนะคะ แต่ในสไลด์เรียกเป็นเมทริกซ์แถว แต่นักศึกษาสามารถโน้ตได้เอง ว่าเป็นเวกเตอร์แถวนะคะ พูดง่าย ๆ คือ มีแถวเดียวนะคะ คราวนี้อีกรูปแบบหนึ่ง ก็คือมีคอลัมน์เดียว คอลัมน์เดียวนะคะ คอลัมน์เป็นแนวตั้ง ถ้าเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวหรือหลักเดียวนะคะ ให้นักศึกษานึกถึงปิ่นโตใส่ข้าวไปถวายพระ คิดถึงปิ่นโตนะคะ ปิ่นโตใส่ข้าว ปิ่นโตหนึ่งสมมติว่าวันนี้ครูจะไปทำบุญแล้ว ครูมีชั้นอยู่ 4 ชั้น ชั้นแรกใส่ข้าว ชั้นที่ 2 ใส่แกง ชั้นที่ 3 ใส่ของทอด ชั้นที่ 4 ใส่ของหวาน เห็นไหมคะ ที่นักศึกษามีขั้นเดียว คือ เมทริกซ์หลักนะคะ คิดง่าย ๆ นะ เมทริกซ์เป็นหลัก เป็นปิ่นโตข้าว มันจะกองขึ้นไปข้างบนไปเรื่อย ๆ มันจะกองไปด้านบน เมทริกซ์แถวมันจะเรียงไปด้านข้าง เมทริกซ์แถวนี่นึกถึงรถไฟ คิดถึงโบกี้รถไฟนะคะ โบกี้ที่ 1, โบกี่ที่ 2, โบกี่ที่ 3 จนสุดท้าย เข้าใจนะคะ อันนี้เป็นศัพท์เฉพาะของเรื่องเมทริกซ์ นี่ว่าเรียกแถว การเก็บข้อมูลในมองภาพเหมือนโบกี้รถไฟ ส่วนเมทริกซ์หลักให้คิดถึงปิ่นโตข้าว มันจะเรียงเก็บข้อมูลขึ้นเป็นแนวตั้ง โอ.เค. โอเค คราวนี้ศัพท์เฉพาะ เราเรียนรู้ชนิดของเมทริกซ์ต่าง ๆ นะคะ มันมีหลายรูปแบบ อันนี้เมทริกซ์อันที่ 3 ที่จะแนะนำนี่ หรือSquare Matrix Square Matrix ก็คือเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวกับจำนวนหลักเท่ากันเป๊ะนะคะ ตรงนี้... นักศึกษาเคยเล่นรูบิกไหมคะ เกมรูบิกที่หมุนไปหมุนมา ในระหว่างนี้ก็อยากให้คุณครูล่ามอาจจะ อยากจะให้คุณครูล่ามนะคะ...เดี๋ยวนะคะ แป๊บหนึ่งค่ะ โอเคตัวนี้ ๆโอ.เค. เดี๋ยวนะคะ ครูแปลงให้เราดู โอ.เค. อันนี้เราเห็นอะไรเอ่ย อะไรเอ่ย... ทำไมช้า ๆ เดี๋ยวนะคะ โอ.เค. รูบิก โอเค ตัวนี้ ๆ ที่ครูกำลังแสดงให้นักศึกษาดูนี่ ก็คือที่เด็ก ๆ ชอบเล่นกัน เรียกว่า "รูบิก" นะคะ รูบิคมันจะหมุน หมุนให้แต่ละหน้า มันเหมือนกับกล่องสี่เหลี่ยมนะคะ ไม่ให้แต่ละหน้ามันมีสีเดียวกัน ถ้าเราดูแค่หน้าเดียว หน้าตรงที่มีตัวโลโก้เป็นตัวโลโก้ตรงนี้นะคะ หน้านี้ เรามองไปมันมีกี่ชั้นเอ่ย จะมีชั้นที่ 1 เห็นไหมคะ ชั้นที่ 2 แล้วก็ชั้นที่ 3 ครูเอาเมาส์ไปชี้มันก็นั่นเลย ไม่สามารถเอาเมาส์ชี้ได้ ชั้นที่ ชั้นที่ 3 มี 3 ชั้น ในแต่ละชั้นมีอยู่กี่ช่องคะ 3 ช่องเห็นไหมคะ อันนี้เป็นลักษณะเมทริกซ์เป็นแบบหลักเท่ากับจำนวนหลักนะคะ เห็นไหมคะ ดังนั้น เมทรกซ์จัตุรัสที่เล็กที่สุด ก็คือ 1 แถว คูณ 1 หลัก โอเคไหมคะ เดี๋ยวครูล่ามแปลอธิบายนะคะ ในลักษณะนี้เรียกว่า เมทริกซ์จัตุรัส โอเค ตอนนี้เราก็ดู... นะคะ ผิดนะคะ โอเค เมทริกซ์จัตุรัสที่พูดไปเมื่อกี้ ก็คือฮัลโหลสวัสดีค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) สวัสดีค่ะ เดี๋ยวนะคะ ทีนี้นะ หนูปิดลำโพงนิดหนึ่งนะคะ เสียงพัดลมหรือเสียงอะไรอาจจะแว๊บเข้ามาในห้องเรียนเรานะคะ เมื่อกี้ครูอธิบายถึงเมทริกซ์อันที่ 3 เมทริกซ์จัตุรัส นะคะ เมทริกซ์จัตุรัส เท่ากันนะคะ คราวนี้นักเรียนที่ศัพท์คำหนึ่งที่ใช้เรียกสมาชิกที่อยู่ตรงแนวเส้นทแยงมุมนะคะ ก็คือเลขหลักกับเลขแถวนี่มันเท่ากัน ก็คือตำแหน่ง a11 อ๋อ ศิลิลักษณ์ไม่เป็นอะไรค่ะ สบาย ๆ a11 นะคะ ตำแหน่ง a11 a11 แล้วก็ไป a22 แถวที่ 2 หลักที่ 2 ตัวถัดไป ก็เป็นแถวที่ 3 หลักที่ 3 คือ a33 ตอนนี้ไปจนถึงตัวสุดท้าย คือ a กับสมาชิก nn นะคะ เพราะว่าจำนวนแถวกับจำนวนหลักมันเท่ากัน ใช้เป็นสัญลักษณ์ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเดียวกัน คือ n ตอนนี้ m จะหายไปนะคะ เพราะ m จะเปลี่ยนเป็น n แทน โอเค ไหมคะ สมาชิกที่อยู่ตรงเส้นทแยงมุมตรงนี้นะคะ ตรงนี้ เราเรียกว่า "เส้นทแยงมุมหลัก" นะคะ คราวนี้เมทริกซ์อันที่ 4 เมทริกซ์อันที่ 4 คือ เมทริกซ์ 0 ก็คือเมทริกซ์ใด ๆ ก็ตามจะมีมิติใหญ่หรือเล็กก็ได้ แต่มีเงื่อนไขเดียว ก็คือ 0 ห้ามมีอย่างอื่นมาเจือปน อย่างเช่นตรงนี้นะคะ ในสไลด์นี่ เมทริกซ์ 0 หรือเมทริกซ์ O ตอนนี้ครูตั้งชื่อว่า "เมทริกซ์ O" นะคะ เมทริกซ์ O จะเป็นเมทริกซ์ 3 หลักนะคะ ตรงนี้ มีแถวที่ 1 ที่ 2 หลักที่ 1 หลักที่ 2, หลักที่ 3 แต่ละตำแหน่งมีข้อมูลที่เป็น... อยู่ในตัวเลข 0 นะคะ อย่างเช่น o11 ก็เป็น 0 O12 ก็เป็น 0 O13 ก็เป็น 0 ไปเรื่อย ๆ จนถึง O33 เป็น 0 นะคะ ที่เขาเรียกว่า Zero Matrix นะคะ หรือเมทริกซ์ด้านขวามือนะคะ ครูไม่ได้ตั้งชื่อเขา ครูจะตั้งชื่อเขาว่าเป็นเมทริกซ์ b สมมตินะคะ อันนี้เป็นเมทริกซ์ B นะคะ แม่เจ้า แป๊บหนึ่งนะคะ ไม่ออกมันไม่เป็นไรนะคะ ขอโทษนักศึกษาด้วย เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ B มีมิติของข้อมูล ก็คือมี 3 แถว 3 หลักนะคะ 3 แถว 3 หลัก สมาชิกตัวทุกข้างในเป็น 0 ทั้งหมด เมทริกซ์ B นี่จะมีคุณสมบัติอย่างแรกคือ 1. เป็นเมทริกซ์จัตุรัสด้วย เพราะว่ามีแถวกับหลักเท่ากันนะคะ นอกจากจะเป็นิเมทริกซ์จัตุรัสแล้วก็ยังเป็น เมทริกซ์ศูนย์ Zero Matrix คือ ทั้งหมดเป็น 0 หมด โอเค เป็น 0 หมดนะคะ ถัดไปนะคะ ลักษณะพิเศษถัดไปของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์ใดก็แล้วแต่ สมาชิกทุกตัวเป็น 0 หมดยกเว้นนะคะ ยกเว้นเส้นทแยงมุม ที่ไม่เป็น 0 เราจะเรียกเมทริกซ์ที่มีหน้าตาแบบนี้ว่าเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่มีสมาชิกเป็น 0 ตรงเส้นทแยงมุมนะคะ เมทริกซ์อย่างแรกเลยตรงนี้นะคะ เมทริกซ์ที่ 1 นี่มีขนาด 3 แถว 3 หลัก ทุก ๆ คาบเป็น 0 หมดยกเว้นเส้นทแยงมุม ก็คือตำแหน่งแถวที่ 1 หลักที่ 1 เป็นเลข 2 เห็นไหมคะ ตำแหน่งแถวที่ 2 หลัก ที่ 2 คือ เลข 3 ถัดมาแถวที่ 3 หลักที่ 3 เป็นเลข 4 ตอนนี้ตี๋สั้นอาจจะคิดถึงหอพักนะคะ หอพักที่มี 3 ชั้นนะคะ กับ 3 ห้อง ชั้นละ 3 ห้อง เรียกแถวที่ 1แถวที่ 1 หลักที่ 1 นะคะ มีคนชื่อ 2 อยู่ นอกนั้นเป็นห้องว่างไม่มีใครอยู่ พอขึ้นไปชั้นที่ 2 ห้องที่ 2 ที่ใน 3 นะคะ นอกนั้นเป็นห้องว่างไม่มีใครอยุ่ แถวที่ 3 ก็คือ ชั้นที่ 3 ห้องที่ 3 มีคนชื่อตี่อยู่เป็นห้องว่าง ลองจิตนาการตามที่ครูพูดนะคะ แล้วตี๋สันก็จะเข้าใจว่าห้องที่อยู่นี่มันเป็นห้องทแยงมุมที่มีคนก่อสร้างเท่าเมทริกซ์แบบนี้เราเรียกว่า "เมทริกซ์ทแยงมุม" โอเค ต่อไปลักษณะพิเศษต่อมาอีกถ้าเมทริกซ์ทแยงมุมใด ค่าตรงเส้นทแยงมุมนะคะ เหมือนตัวนี้ เมทริกซ์ 3 แถว 3 หลักนะคะ แสดงว่ามี 9 ห้องนะคะ ตรงตำแหน่งแถวที่ 1 หลักที่ 1 เป็นเลข 4 แถวที่ 2 หลักที่ 2 ก็เป็นเลข 4 แถวที่ 3 หลักที่ 3 ก็เป็นเลข 4 ตรงเส้นทแยงมุมนี่เป็นตัวเลขตัวเดียวกันหมดเลย เราเรียกว่า "เมทริกซ์เชิงสเกล่าร์" เรียกว่า "Scalar Matrix" โอเค แป๊บหนึ่ง เดี๋ยวนะคะ แบตจะหมด ตอนนี้ทบทวนกันก่อนนะคะ เรารู้จักเมทริกซ์อะไรกันบ้าง เมทริกซ์แรกเรารู้จักเมทริกซ์อะไรคะ เมทริกซ์ที่เป็นเหมือนโบกี้รถไฟเมทริกซ์อะไรเอ่ย เมทริกซ์แถว เมทริกซ์แรกนะคะ เมทริกซ์แถว คราวนี้เมทริกซ์ที่เหมือนปิ่นโตใส่ข้าวไปถวายพระเป็นแนวัตเมทริกซ์คอลัมน์หรือหรือเมทริกซ์หลัก หรือเวกเตอร์คอลัมน์ ส่วนอันที่ 3 เมทริกซ์ ที่มีจำนวนแถวเรียกว่า "เมทริกซ์จัสตุรัส" ต่อไปเมทริกซ์ที่ 4 ตอนนี้ครูกำลังทวนให้นะคะ เมทริกซ์ที่มีศูนย์ ไม่มีอื่นเลยเรียกว่า "เมทริกซ์ศูนย์" หรือว่า Zero Metrix ถ้าเมทริกซ์จัตุรัสที่มี 0 ทั้งหมดนะคะ ที่มีสมาชิกเป็น 0 หมด ยกเว้นทแยงมุมมีค่าที่ไม่เป็น 0 เรียกว่า "เมทริกซ์ทแยงมุมมันเท่าบังเอิญเท่ากันหมดเลย เรียกว่า "เมทริกซ์เชิงสเกล่าร์ อันนี้ก็คือ นะคะ มาเจอพระเอกของเรื่องเมทริกซ์แล้วนะคะ เมทริกซ์นี้ถูกใช้มากในการคิดสูตร ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ใช้แก้ทฤษฎีปัญหาเชิงเส้น นะคะ เมทริกซ์นั้นก็คือเมทริกซ์เอกลักษณ์นะคะ เมทริกซ์เอกลักษณ์ภาษาใช้คำว่า "Matrixเนื่องจากว่าภาษาอังกฤษมันขึ้นด้วยคำว่า "Identity" ขึ้นต้นด้วยตัว i จะเป็นสากลทั่วโลกเลยนะคะ นะคะ I หมายถึง เมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งเมทริกซ์เอกลักษณ์มีหน้าตาอย่างไร เหมือนกับ... สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด ยกเว้น เส้นทแยงมุมต้องเป็นเลข 1 นะคะ เป็นเลขอื่นไม่ได้ อย่างนี้นะคะ อย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีไดเมชัน 3 คูณ 3 ตอนนี้เราจะเขียนลดรูปไม่เขียน 3 x 3 เพราะว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์เราจะนิยมเขียนเพื่อบอกมิติเขาแต่ผู้อ่านจะเข้าใจเองว่าเป็น I3 I3 มาจาก 3 x 3 ก็คือเป็นเมทริกซ์จัตุรัส 3   ทุกค่าเข้าไปนั้นเป็น 0 หมดยกเว้นเป็นเลข 1 โอเคไหมคะ ส่วน I4 I ห้อย 4 ก็คือเมทริกซ์ที่มี 4 หลัก 4 หลัก 4 x 4 เป็นตี๋สั้น เตี๋สั้นครับผม อยู่ในสายไหม ตี๋สั้นอยู่ไหมนะ ตามครูทันไหมลูก (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ครูถามตี๋สั้นนะครับ (สันติภาพ) ครับ I4 ก็คือเอกลักษณ์ที่มี 4 แถว มีจำนวนหลัก 4 หลัก ขอครจะมีสมาชิกทั้งหมดกี่ตัวคะ (นักศึกษาชาย) ลองเดาครับ มีประมาณ 4 ตัวครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเคค่ะ โอเค อย่างนั้นตี๋สั้นเอาใหม่นะ ที่มี 4 แถว 4 ชั้น ชั้นละ 4 ห้อง มีทั้งหมดกี่ห้องคะ (สันติภาพ) ชั้นละ 4 ห้องมีกี่ชั้นนะครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) มีสีชั้นค่ะ (นักศึกษาชาย) มีสี่ชั้น ชั้นละสี่ห้อง (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ (นักศึกษาชาย) 16 ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ถูกต้องครับ ดังนั้น I4 นี่จะมีสมาชิกทั้งหมด 16 ตัวนะคะ 16 ตัว หรือ 16 ค่า (นักศึกษาชาย) ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) มันเป็นห้องว่างไม่มีใครอยู่ ยกเว้นห้องทแยงมุมของสี่เหลี่ยมก็คือจินตนาการได้นะ ชั้นที่ 1 ห้องที่ 1 มีคนอยู่ ชั้นที่สองห้องที่สองมีคนอยู่ ชั้นที่สามห้องที่ 3 มีคนอยู่ ชั้นที่ 4 ห้องที่ 4 มีคนอยู่ คนที่อยู่ชื่อหนึ่งเป็นเหมือนกันหมด โอเคนะคะ ครูยกตัวอย่างให้ตี๋สั้นเข้าใจ Matrix เอกลักษณ์ โอเคค่ะ (นักศึกษาชาย) ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ครูไปหัวข้อถัดไปนะคะ คราวนี้ดูตัวอย่าง ครูต้องขอโทษตี๋สั้นด้วยนะคะ เพราะว่าส่วนใหญ่จะเป็นภาพนะคะ ครูจะพยายามพูด อ่าน ให้ฟังนะลูก (นักศึกษาชาย) ไม่เป็นไรครับ เมทริกซ์ a ตอนนี้เป็นวงเล็บก้ามปูคลุมอยู่มีสมาชิกข้างในทั้งหมด... ครูจะอ่านทีละแถวนะคะ จากบนลงล่าง แถวที่หนึ่งประกอบไปด้วยเลข 3 2 0 1 อันนี้เป็นแถวที่ 1 นะคะ แถวบนสุดของชนิด A ชนิดแถวที่ 2 ประกอบไปด้วย 7 1 6 4 คำถาม ถามว่า เมทริกซ์ A มีขนาดกี่แถว ครูอ่านไปกี่แถวเอย (สันติภาพ) อ่านไป 4 แถวครับ ชั้น 1 4 แถว ต่อไปแถวที่ 2 ประกอบไปด้วย 7 7 1 6 4 แน่นอนนะตี๋สั้นนะ ครูอ่านไปกี่แถวนะ อย่างนั้นต้องตอบว่าเมทริกซ์นี้มีกี่แถว ก็ไปคิดแถวที่ 1 ครูอ่าน... แถวที่ 1 ตัวเลขกี่ตัว (สันติภาพ) (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ใช่ ตี๋สั้นรู้คำตอบแล้ว เมทริกซ์นี้มีขนาดเมทริกซ์นี้มีขนาด 2 (สันติภาพ) 2 แถว 4 หลัก (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 2 แถว 4 หลัก ใช่ ๆ ค่ะ ทำไมนะครูเขียนปากกาไม่ได้ โอเค ต่อไปสัญลักษณ์นะคะ สัญลักษณ์ของคณิตศาสตร์ เราก็จะเขียนด้วยตัว a เพราะเขาเป็นเมทริกซ์ A ชื่อเขานะคะ เขียนไปตัว A ห้องด้วย 2 x 4 นะคะ นี่คือสัญลักษณ์ห้อยทางคณิตศาสตร์ โอเค ถัดไป ตัวอย่างถัดมานะคะ เป็นสัญลักษณ์หนึ่งนะคะ ที่ต่อเนื่องจากเมทริกซ์เส้นทแยงมุมนะคะ ครูขอเปิดสไลด์ให้ดูเลยนะคะ อย่างตัวแรกนี่เขาบอกว่านะคะ เมทริกซ์นี้นี่มันจะมีเส้นทแยงมุมอยู่แล้วนี่ ก็คือทุก ๆ ค่านี่มันเป็น 0 หมดนะคะ แต่ว่าอีกฟากหนึ่งมันไม่เป็น 0 ทั้งหมดนะคะ เรานิยมเมทริกซ์แที่มีหน้าตาแบบนี้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม ทีนี้สามเหลี่ยมมันมี 2 ชนิด ชนิดแรกนะคะ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ก็คือสมาชิกทุกตัวที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมเป็น 0 หมด แสดงว่าข้างล่างมันมีค่า ภาษาอังกฤษเราจะเรียกว่า Lower อาจจะตรงกันข้ามนิดหนึ่งนะคะ เดี๋ยวนะคะ แป๊บหนึ่ง เลเซอร์ โอเค ตัวนี้นะคะ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ก็คือเมทริกซ์ที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมนะคะ แสดงว่า 0 มาอยู่ด้านบน ถ้าครึ่งหนึ่ง 0 มาอยู่ด้านล่าง เราจะเรียกว่า "เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง" นะคะ อยากจะรู้ว่ามันเป็นเมทริกซ์บนอยู่ฟากด้านบนก็คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ถ้าอยู่ด้านล่างของเส้นทแยงมุมนะคะ เรียกว่า "เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง" ยกตัวอย่าง เช่น อันที่ 1 เมทริกซ์อันที่ 1 นะคะ มีเมทริกซ์หรือมิติเป็น 3 แถว 3 หลัก 3 แถว 3 หลัก ครูจะอ่านสมาชิกแถวที่ 1 นะคะ ประกอบไปด้วย 2 7 5 นะคะ แถวที่ 1 นะคะ ประกอบไปด้วยแถวที่ 2 ประกอบไปด้วย 0, 1, -3 แถวที่ 3 ประกอบไปด้วย 0 0 -1 เราก็มองดูนะคะ อย่างนี้มันมีเมทริกซ์อยู่ 3 ตัวนะ มันอยู่ข้างล่างเส้นทแยงมุม เห็นไหมคะ จินตนาการตามนะคะ 0 3 ตัวนี้อยู่ใต้เส้นทแยงจึงเรียกว่า "เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง" มันสลับกันนิดหนึ่งนะคะนักศึกษา โอเค แป๊บหนึ่ง มันสลับกันนะคะ นักศึกษาโอเค คราวนี้ดูอันที่ 2 อันนี้ 2 อันนี้นี่ สังเกตนะคะ 0 นี่มันอยู่ข้างบนหมดเลย อันนี้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน แต่ว่าเราไม่ค่อยได้ใช้ ไม่ค่อยได้ใช้งานในการแก้ไขนะคะ แนะนำเพื่อให้เราทราบนะคะ เดี๋ยวครูจะแก้ในสไลด์มันผิดอยู่ แล้วก็เดี๋ยวส่งให้นักศึกษาใหม่ ในสามเหลี่ยมมีข้อทำสไลด์ผิดอยู่นะคะ เดี๋ยวครูจะแก้ไขนะคะนักศึกษา ส่วนนี้ครูขอข้ามไปก่อน โอเค คราวนี้ลองมาทบทวนคุณสมบัติจากเมทริกซ์ที่กล่าวไปทั้งหมดนะคะ ไม่ว่าจะเป็นเรื่องของไดเมนชัน อันแรกเมทริกซ์ 0 นะคะ นักศึกษาคนที่เปิดไมค์คุยกับครูตอบแทนเพื่อนได้นะคะ ข้อ 1 นะคะ เมทริกซ์ 0 เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด 2 แถว 3 หลัก ข้างในเป็นศูนย์หมด เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์อะไรเอ่ย เมทริกซ์อะไรที่มี 0 หมดคะ เมทริกซ์ที่มี 0 หมดนะคะ มีขนาดเป็น 2 แถว 3 หลัก เมทริกซ์ 0 ขนาด 2 แถว 3 หลักนะคะ ตัวถัดไป A A นี้ เมทริกซ์ที่อยู่แนวตั้งนะคะ แนวตั้งเรียกว่ามีหลักหรือมิติเป็น2 แถวคูณ 1 หลักนะคะ ตรงนี้ ตัวถัดไป ตัวอย่างที่ 3 B ที่อยู่ในแนวแถว เห็นไหมคะ เรียงไปเหมือนโบกี้รมีอยู่ 1 แถวแต่กี่หลักเราก็มานับ 1 2 3 4 5 นะคะ 5 แสดงว่า B นี่ เป็นเมทริกซ์แถวที่มีอันดับเป็น 1 x 5 เมทริกซ์แถว 1 x 5 ข้อ 4 นะคะ ข้อ 4 เมทริกซ์ C ประกอบไปด้วยวงเล็บก้ามปูมีสมาชิกข้างใน 3 แถว 3 หลัก สมาชิกทุก ๆ ตัวนี่เป็น 0 หมด ยกเว้นเส้นทแยงมุมนะคะ ยกเว้นเส้นทแยงมุม ก็จะเป็นเมทริกซ์เส้นทแยงมุมที่มีอันดับ 3 คูณ 3 โอเค สำหรับตรงนี้นะคะ อันดับเขาก็จะเป็น 3 x 3 เขาเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ถ้าเมื่อไหร่ก็ตามเป็นเมทริกซ์จัตุรัส เพราะว่าหลักกับแถวมันเท่ากันนะคะ เราก็จะเขียนลดรูปเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมอันดีบ นะคะ โอเค ตอนนี้เราก็พอจะรู้จักเมทริกซ์แล้วนะคะ มันจะมีชื่อเรียกเมทริกซ์ชนิดต่าง ๆ อย่างไรบ้างนะคะ คราวนี้ ต่อไปเราจะเรียนหัวข้อของพีชคณิตของเมทริกซ์ พีชคณิตของเมทริกซ์ก็หมายถึงการที่เอาเมทริกซ์มาบวก ลบ คูณ หาร กันนี่ เรามาลองดูนะคะ มันจะมีกฎกติกาของการนำมาบวก, ลบ, คูณ, หาร กันอยู่ คูณ อาจจะคูณด้วยสเกล่าร์ เขาเรียกว่า "สเกล่าร์" ด้วยสเกลลาร์ไม่ได้หมายความเมทริกซ์ทุกเมทริกซ์จะคูณกันได้ มันจะมีกฎกติกากันอยู่ คราวนี้เรามาดูพีชคณิตของเมทริกซ์ต้องดูก่อนว่าเมทริกซ์ที่มันเท่ากันนี่มันเป็นอย่างไร เมทริกซ์เท่ากัน บ้านเราอาจจะเรียกอะไร ๆ ที่มันเท่ากันทุกประการนี่ก็จะเหมือนฝาแฝดนะคะ แฝดนะ ฝาแฝดนี่ สูงก็สูงเท่ากัน น้ำหนัก ก็น้ำหนักเท่ากัน เห็นไหม เมทริกซ์มันเท่ากันนี่มันเหมือนกับเป็นฝาแฝดซึ่งกันและกัน เหมือนกันทุกประการนี่มีอะไรเอ่ย กำหนดให้นะคะ คราวนี้ขอพูดเป็นประโยคคณิตศาสตร์นะคะ เมทริกซ์ 10 A มีสมาชิกนะคะ ก็คือ aij นะคะ โดยที่อันดับ m อันดับคือมิติอันดับ ก็คือ A นะคะ นี่คือเมทริกซ์ A และกำหนดให้เมทริกซ์ B มีสมาชิกเป็น bij นะคะ โดยที่เมทริกซ์ B มีอันดับ p แถว p แถว q หลัก P แถว q หลัก A กับ B เท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนแถวเขาต้องเท่ากัน ถ้าจำนวนแถวเท่ากันน่ะ หมายความว่า n ต้องเท่ากับ p นะคะ แล้วจำนวนหลักก็จะเป็น A เท่ากับ q และไม่พอนะคะ และสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน ต้องมีค่าเท่ากัน สมาชิกตำแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเดียวกัน สมาชิกเดียวกัน ตำแหน่งเดียวกัน สมาชิกของเมทริกซ์ A ก็คือ I jและตำแหน่งแถวที่ i หลักที่ j สมาชิกของ b แถวที่ i หลักที่ j เหมือนกันนะคะ อันนี้ก็ aij = i, j ถ้าเป็นแบบนี้แล้วเมทริกซ์ A เท่ากับ มันเหมือนกันทุกประการ เหมือนกันอย่างกับแกะนะคะ แถวเท่ากันหลักก็เท่ากัน สมาชิกข้างในก็มีค่าตัวเดียวกัน อย่างนี้นะคะ เราจะเรียกว่า "เมทริกซ์มันเท่ากัน" โอเค ประโยชน์ของการใช้ความเท่าเทียมกันหรือความเท่ากับของเมทริกซ์มาแก้ปัญหานะคะ โอเค ตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1 เมทริกซ์มีขนาด A 2 คูณ 2 2 ตัวแรกก็คือ 2 แถว 2 ตัวที่หลังก็คือ 2 หลักนะคะ 2 แถว 2 หลัก A11 มีค่าเป็น 0 ครูใช้ตัวนี้ ถัดไป A12 มีค่าเป็น 0.5 แถวที่ 2 A 15 A... ตำแหน่งนี้นะคะ A21 จะมีค่าเป็น 1.5 นะคะ ถัดมา A ตำแหน่งแถวที่ 2 หลักที่ 2 นะคะ แถวที่ 2 หลักที่ 2 นี้จะเป็น 6 ให้เป็นเมทริกซ์ A จากนั้น เมทริกซ์ B ประกอบไปด้วยนะคะ มีมิติเป็น 2.2 ถัดมาก็คือ B 1 2  ถัดมาก็คือ B21 อันนี้ก็คือ B22 ถ้ากำหนดให้นะคะ เป็นแบบนี้แล้วเราจะดูว่ามันเท่ากันไหม เราก็เทียบตัวต่อตัว ก็คือเห็นไหมคะ ตัวที่ 010 มันเท่ากัน ตำแหน่งที่ 2 หลักที่ 1 0.5 เท่ากับตรงนี้ไหม หลักที่ 2 ของ 0.25 มีค่าเป็น 0.5 อันนี้ 1.5 ตำแหน่ง 22 B มีค่าเป็น 3 x 2 ก็มีค่าเป็น 6 A กับ B เป็นเมทริกซ์เท่ากัน ตัวอย่างถัดมา A เมทริกซ์มีสมาชิกแถวที่ 1 ก็คือ 2 3 4 5 ส่วน B เป็นเมทริกซ์แถวที่ 1 ก็คือ 2 และลบรูต 3 ตัวถัดมานะคะ ก็คือแถวที่ 2 ก็คือ 4 และ 5 แล้วจะสังเกตว่าสมาชิก A กับ B นี่... มาดูสมาชิกข้างใน สมาชิกข้างในเท่ากัน ยกเว้นตัวหนึ่งใช่ไหม ก็คือแถวที่ 1 หลักที่ 2 แถวที่ 1 หลักที่ 2 เป็น 3 x 2 เห็นไหมคะ ถัดมา B แถวที่ 1 หลักที่ 2 นะคะ มี ลบรูต 9 ส่วน 9 ที่ 2 มีค่าเป็น ภากรณ์เป็นเท่าไรคะ ภากรณ์ช่วยครูทำมาหากินหน่อยเร็ว ภากรณ์อยู่ไหมครับ ในห้องนี้ใครตอบครูได้ไหมเอ่ย รูต 9 เป็นเท่าไรคะ อันนี้ใครอยู่ในห้องหรือเปล่า ออนไลน์อยู่ในห้องนะคะ นักศึกษา (สันติภาพ) รูต 9 หรือครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ตี๋สั้นช่วยครูหน่อยลูก (สันติภาพ) 9 (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อะไรคูณกัน ตัวมันเองเป็น 9 (นักศึกษาชาย) ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อะไรเอ่ย (นักศึกษาชาย)3 ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ขอบคุณครับ ขอบคุณค่ะ สันติภาพตอบมานะคะ รูท 9 มีค่าเป็น 3 หน้า 9 มันติดลบอยู่ B12 จะมีค่าเป็น 3 -3 นะคะ ต่างจาก A ตำแหน่งแถวที่ 1 หลักที่ 2 มีค่าเป็น ตำแหน่งนี้มันไม่เท่ากันนะคะ ขอแค่มีตัวใดที่ต่างกันนะคะ เราจะรู้ได้ทันทีว่าไม่เท่า นี่ ด้วยเหตุผลนี้นะคะ ด้วยเหตุผลนี้ โอเค เดี๋ยวตัวอย่างนี้ครูจะไปใช้ใน Jamboard ตอนนี้ครูจะส่ง Jamboard ให้ทุกคน ตรงนี้ครูก็งง หาสไลด์ ใช้หลายจอเกินไป โอเค เดี๋ยวครูจะ... คราวนี้จะส่ง Jamboard นะคะ แล้วก็... (ล่าม) อาจารย์คะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) คะ (ล่าม) คือ ขอโทษนะคะ พอดีที่เป็น ลบรูท 9 น่ะค่ะ เด็กหูหนวกยังไม่เคยเจอเรื่องรูทมาก่อนเลยนะคะ เดี๋ยวอธิบายอีกทีค่ะ (ล่าม) สามารถอธิบายต่อได้นะคะ เดี๋ยวอย่างไรเราค่อยวนกลับมารูตก็ได้ค่ะ เดี๋ยวอาจารย์อธิบายตรงนี้ก่อนก็ได้ค่ะ ขอบคุณค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) จำกัด เดี๋ยวแป๊บหนึ่ง แป๊บหนึ่งนะคะ คัดลอกอันนี้ นักศึกษาเราก็เป็นห้องเรียนที่อบอุ่น เราต้องเรียนรู้ไปด้วยกันนะคะ ก็อธิบายเพื่อนหรือว่ารอเพื่อน ไปที่ LINE กลุ่มเราเลย ครูส่งกระดานลิงก์ Jamboard ให้ทุกคนเข้าไปที่ Jamboard นะคะ เดี๋ยวเราไปใช้กระดานร่วมกันนะคะ ตอนนี้นักศึกษาสามารถใช้หน้าต่าง Window Windows หนึ่งก็เป็น Google meet ที่เราคุยกัน อีกก็นับ Jamboard แยกออกจากกันโดยอิสระนะคะ เพราะว่าอาจจะไม่ได้แชร์ Jamboard เข้าไปที่ Google Meet นะคะ แป๊บหนึ่งนะคะ นักศึกษาเข้ามาที่ Jamboard หรือยัง ครูยังไม่เห็นมีใครคลิกเข้ามาเลย (ล่าม) อาจารย์ส่งให้ใน LINE แล้วใช่ไหมคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ใช่ ๆ ค่ะ ส่งเข้าในไลน์กลุ่มแล้วค่ะ นึกว่ายังไม่ไป ไปแล้วนะคะ ไปแล้ว ๆ ใน... ขออนุญาตใช้กระดานนะคะ ครูจะอธิบายได้ดีกว่า PowerPoint เพราะว่า PowerPoitn ครูก็ยังแก้สไลด์ไม่หมด ขออภัยด้วย โอเคเข้ามา Jamboard กันเถอะ ตอนนี้ที่ Jamboard จะมีกระดานอยู่ 2 หน้านะคะ ที่ครูแชร์ไปนี่จะเป็นกระดานที่ 1/2 จากหมวดของหน้า เดี๋ยวครูอธิบายหน้าที่ 1 เสร็จ แล้วครูจะย้อนไปหน้าที่ 2 ที่เกี่ยวกับเรื่องสแควร์รูต กางเกงวอร์ม นักศึกษาเข้า Jamboard ได้ไหมคะ ทำไมครูไม่เห็นมีใครเข้ามาเลย หรือว่าครูทำอะไรผิด เข้าไม่ได้ค่ะ ยังไม่ได้อนุญาต เดี๋ยวครูทำให้ใหม่นะคะ แสดงว่าครูอ๋อแชร์กับฉันเท่านั้นหรอ แป๊บหนึ่งนะคะ เปลี่ยนทุกคนที่มีลิงก์ แป๊บ โอเคค่ะ นักศึกษาช่วยสะท้อนมานิดหนึ่งนะคะ โอเค เดี๋ยวครูส่งลิงก์ให้ใหม่นะคะ ลิงก์อันที่ 2 จะเป็นอิดิเตอร์ โอเค ครูก็ว่าอยู่ทำไมนักศึกษาไม่เข้ามา อันล่าสุดนะคะ อันนั้นครูลบทิ้งแล้ว มีสมาชิกเข้ามาแล้วนะคะ มีกบนิรนาม นิรนาม มียีราฟ มีเม่นนิรนาม (ล่าม) อาจารย์คะเด็กบางคนใช้มือถือในการเรียนอย่างนี้ค่ะ ไม่ได้มีโน้ตบุ๊กน่ะค่ะ ที่จะเข้าไปร่วมเขียนได้นะคะ เด็ก ๆ... (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเค ดูตามอาจารย์ได้นะคะ ได้ค่ะ ขอบคุณค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเคค่ะ ก็จะพยามแชร์ Jamboard เข้าไปใน Google Meet นะคะ (ล่าม) ขอบคุณค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ถ้าใครที่เขียนได้ ก็เขียนตามน้องตามครูนะคะ ตอนนี้ครูหยุดการนำเสนอก่อน ทำไม เดี๋ยวแป๊บหนึ่งนะคะ ครูก็แชร์สาธารณะทุกคนที่มีลิงก์จะแก้ไขได้ถูกต้องแล้ว เสร็จสิ้น ครูขอเช็กอันนี้แป๊บหนึ่ง ใช้ปากกาไม่ได้ เดี๋ยวแป๊บหนึ่งนะคะ มีนักศึกษาคนไหนเข้ามาแล้วลองเขียนชื่อตัวเองลงบน Jamboard ให้ครูดูหน่อยค่ะ มีสิทธิเขียนได้หรือเปล่าคะ หน้าต่าง Jamboard ตัวนี้ แชร์ ถ้าใครเข้า Jamboard ได้ สำหรับนักศึกษามีโน้ตบุ๊กนะคะ ลองเข้าไปเขียนสักหน่อยหนึ่งหน่อยค่ะ โอเค ถ้าอย่างนั้นครูจะใช้เมาส์เขียนนะคะ ตรงนี้เขาบอกว่าให้เราหาเงื่อนไขที่ทำให้เมทริกซ์ B เท่ากับเมทริกซ์ A อย่างแรกเลยนะคะ เรา ต้องเช็กนะคะ ว่าสมาชิกเมทริกซ์ C นี่ เท่ากันกับเมทริกซ์ C ต่อตัวหรือไม่ ตอนนี้เมทริกซ์ C เราเช็กก่อนนะคะ มีมิติเป็น 2 แถว ฃคูณ 2 หลัก และเมทริกซ์ D Dog ก็มีขนาดเป็น 2 แถว คูณ 2 หลักเท่ากัน เงื่อนไขที่ 1 ผ่าน คือ มิติเขาเท่ากันนะคะ มิติเท่ากันแล้วสิ่งถัดมา ก็คือเราต้องเทียบสมาชิกไหม ตัวแรกนะคะ เดี๋ยวครูจะโยงให้ดู ตัวแรก ก็คือสมาชิกตัวที่ 1 หลักที่ 1 เท่ากันไหม ตัวที่ 1 หลักที่ 1 เท่ากันนะคะ ตัวที่ 1 ผ่านเท่ากันนะคะ ตัวที่ 2 ตัวที่ 2 ครูจะใช้เป็นสีเขียว ตัวที่ 2 ก็คือ ของตัวเมทริกซ์ C นะคะ มีค่าเป็น -10 ตัวที่แถวที่ 1 หลักที่ 2 ของ D Dog ต้องเท่ากัน แต่ในความเท่ากันนี้มันมีตัวแปรเกิดขึ้น เราจึงเขียนเป็นประโยคสมการได้ x + 2 y มีค่าเท่ากับ -10 เป็นสมการที่ 1 โอเค อันนี้ครูให้เป็นสมการที่ 1 นะคะ ตัวถัดไปแถวที่ 2 หลักที 1 ตัวนี้นะคะ แถวที่ 2 หลักที่ 1 ของเมทริกซ์ C ก็คือ 2 คูณกับ x มันมี C กับ D มันจะต้องมีค่าเท่ากับ สมาชิกของเมทริกซ์ C แถวที่ 2 หลักอันนี้ต้องเท่ากัน ครูเขียนเป็นประโยคสมการได้ว่า 2 คูณกับ X มีค่าเป็น 4 เป็นสมการที่ 2 เป็นสมการที่ 2 ส่วนตัวสุดท้ายครูใช้สีดำนะคะ แถวที่ 2 หลักที่ 2 ของเมทริกซ์ C เท่ากับ แถว 2 หลักที่ 2 ของเมทริกซ์ D Dog เท่ากันอยู่แล้ว เขาถามเขาถามว่าให้หาเงื่อนไขหรือกติกาที่ทำให้เมทริกซ์ C กับ D เท่ากัน ตรงนี้ต้องถามว่า X ควรจะมีค่าเป็นอะไร y ควรจะมีค่าเป็นอะไรนะคะ อันนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องระบบสมการนะคะ หรือการแก้ปัญหาสมการอย่างง่าย ให้พิจารณาสมการที่ 2 ก่อน สมการที่ 2 ไหมทราบค่าเพียงตัวเดียว จากสมการที่ 2 นะคะ จากสมการที่ 2 ตรงนี้ ๆ 2 คูณกับ x มีค่าเท่ากับ 4 ถ้าครูอยากจะรู้ว่า x 2 คูณอยู่กับ x ใช่ไหมคะตรงนี้ ก็ย้ายข้างไปจากครูตรงนี้เป็นหาร ครูก็จะได้ว่า x มีค่าเท่ากับ 4 หารด้วย 2 ตรงนี้นะคะ 4 หาร 2 ได้ผลลัพธ์เป็นเลข 2 นี่ได้แล้วนะคะ แสดงว่าเงื่อนไขที่ทำให้ตำแหน่งนี้เท่ากันเป็นเลข 2 พอ x เป็นเลข 2 แล้ว y จะเป็นอะไร เดี๋ยวครูขอลบทิ้งก่อน จากสมการที่ 1 นะคะ จากสมการที่ 1 ตรงนี้ปุ๊บ เมื่อเราทราบว่า x มีค่าเป็น 2 แล้ว ครูเขียนนะคะ x เท่ากับ 2 แล้ว เราเอา 2 มาแทนประโยคสมการนี้นะคะ x + 2 คูณกับ y เท่ากับ 10 เอา 2 เข้ามาแทนตำแหน่งตัวนี้ปุ๊บ เป็น 2 ครูลบตรงนี้ทิ้งเป็นเลข 2 เป็นสมการตัวแปรเดียว ครูก็หาค่า y ได้โดยการย้าย 2 ตัวนี้ไปก่อนนะคะ 2 ตัวนี้ มันอยู่ไกล y ที่สุด ต้องแยกไปก่อนนะคะ 2 ตัวนี้มันเป็นบวกย้ายข้างสมการไปมันก็จะเป็นลบ จึงได้ว่า2y มีค่าเท่ากับ 10 อันนี้เท่ากับ เครื่องหมายเท่ากับนะคะ 10 - 2 มีค่าเป็นเท่าไรคะ 10 ลบออกไป 2 เหลือ (สันติภาพ) 8 ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ขอบคุณครับ ตี๋สั้นนี่ให้กำลังใจครูดีมากเลยนะคะ ขอบใจมากนะคะ ต่อไป เราก็จะแก้ปัญหาต่อไป เราทราบแล้วว่า 2 x y เท่ากับ 8 เราอยากได้ y ตัวเดียว 2 มันคูณ y อยู่ ก็กลายเป็นหารก็จะได้ว่า ัy ตัวเดียว มีค่าเท่ากับ 8 หาร 2 8 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็นเท่าไรคะ 8 หารด้วย 2 ได้เท่าไรคะ เป็น 4 เป็น 4 นะคะ เพราะฉะนั้น ตอบได้แล้วว่า จากปัญหานี้นะคะ ถ้าอยากจะให้เมทริกซ์ C เท่ากับ เมทริกซ์ D Dog เราต้องกำหนดให้ D มีค่าเป็นเท่าไรเอ่ย เดี๋ยวครูทำไฮไลท์ให้นะคะ ตรงนี้นะคะ เราต้องบอกว่า x ต้องมีค่าเป็น 2 y มีค่าเป็น... y มีค่าเป็น 4 โอเคไหมคะ เป็นเมทริกซ์ C กับ D Dog เท่ากัน โอเค เดี๋ยวครูเข้าไม่ได้ ครูใช้ปากกา ครูเข้าไม่ได้เลยงงจริง ๆ สำหรับปัญหานี้ก็คงจะอธิบายเพียงเท่านี้นะคะ เดี๋ยวก่อนเราจะพักกันในครึ่งเช้านี่ ครูขออธิบายเรื่องการถอดรากที่ 2 นิดหนึ่ง จากปัญหานี้ ที่เราทราบว่าเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับ B เพราะว่าตำแหน่งแถวที่ 1 หลักที่ 2 ตรงนี้นะคะ มันไม่เท่ากัน มันไม่เท่ากันอย่างไร มีสมาชิกในห้องเราสอบถามครูมานะคะ ผ่านครูล่ามว่าเอ๊ะหารอย่างไร รูต 9 นี่ ในความหมายเขาอย่างไร ครูก็ขอยกตัวอย่างง่าย ๆ นะคะ ถ้าอธิบายเรื่องการถอดรากแล้วมันจะยากนั่นนิดหนึ่ง ครูขอมองอย่างนี้นะ 1 คูณ 1 เท่ากับอะไรคะ 1 คูณกัน 2 ครั้ง ก็คือ 1 ยกกำลัง 2 เป็น 1... 2 คูณ 2 เลขยกกำลังฐานเดียวกันนะคะ ก็ที่รวมกัน... กำลังเป็น 1 นะคะ 1 บวกกันกลายเป็น 2 2 สีเขียว คือเลข... ตรงนี้เป็น 4 3 คูณ 3 ก็เสมือนเป็น 3 คูณกันกี่ครั้ง 3 ยกกำลัง 2 มีค่าเป็น 9 หรือ 4 x 4 เท่ากับ 4 ยกกำลัง 2 เป็น 6 คราวนี้ครูจะเขียนเป็นสมการคณิตศาสตร์นะคะ รูท 9 มีค่าเท่ากับอะไร ตอนนี้อะไรครูไม่รู้นะ ครูสมมติว่ามันเป็นตัว m ครูสมมติว่าเป็น m ดังนั้น ครูอยากจะรู้ว่า m มีค่าเป็นอะไร การแก้ปัญหานะคะ เราเรายกกำลัง 2 2 ข้าง ยกกำลัง 2 2 ข้าง ยกกำลัง 2 กับ สแควรูท เดี๋ยวแป๊บหนึ่งนะคะ รูท 9 ยกกำลัง 2 จริง ๆ มันมีวิธีการหารรากที่ 2 นะ แบบที่ตรง ๆ แต่ว่าครูอาจจะไม่สะดวกอธิบายต้องขออภัย ครูเอาแนวความคิดง่าย ๆ ไปเท่านี้ก่อนนะคะ สแควร์รูต 9 กับยกกำลัง 2 เจอกันมันจะปัดหายกันไป ก็จะเหลือ 9 9 เท่ากับ m ยกกำลัง 2 เราก็มาเทียบ เทียบกับตรงเลขจำนวนนับยกกำลัง 2 ความหมายตรงนี้นะคะ m ยกกำลัง 2 เป็น 9 มีอะไรที่ยกกำลัง 2 แล้วเป็น 9 บ้าง ตรงนี้ ตัวแรกนะคะ ตรงนี้ 1 ยกกำลัง 2 เป็นอะไรคะ เป็น 1 ไม่ใช่นะคะ 2 ยกกำลัง 2 เป็น 4 3 ยกกำลัง 2 เป็นอะไร เป็น 9 ใช่นะ ดังนั้น m ของเรา ก็คือเลขอะไรนั่นเอง นี่ไงคือเลขอะไรคะ เลข 3 ดังนั้นจึงตอบว่ารูต 9 มีค่าเป็น 3 นะคะ ตอบได้แล้วนะคะ m ก็มีค่าเป็น 3 เพราะ 3 ยกกำลัง 2 เป็น 9 วิธีการที่ครูอธิบายอันนี้เป็นจำนวนง่าย ๆ นับนะคะ แต่ความจริงถ้าเป็นจำนวนจริงนี่ ตั้งหาร ซึ่งเป็นเรื่องที่ซับซ้อนกว่านี้เยอะนะคะ โอเค ก็พอควรจะได้แล้วนะคะ เดี๋ยวครูจะถามต่อ เพื่อเช็กความเข้าใจนักศึกษานะคะ แล้วสแควร์รูต 16 จะเท่ากับอะไรคะ สแควรูท 16 ที่คูณตัวมันเองแล้วเป็น 16 เป็นอะไรคะ อะไรที่ยกกำลัง 2 แล้วเป็น 16 บ้าง ตัวนี้ใช่ไหม 4 โอเคนะคะ เห็นไหม เพราะ 4 ยกกำลัง 2 เป็น 16 ดังนั้น สแควร์รูตก็จะมีค่าเป็น 4 นี่คือการถอดรูทในกรณีที่มันมีคำตอบเป็นจำนวนนับแบบง่าย ๆ นะคะ ถ้าถามต่อ สแควรูท 15 เดี๋ยว ๆ ครูเขียนให้ดูต่อยาว ๆ นะคะ เราทำเลขนับยกกำลัง 2 ไว้ก่อน ไว้เทียบนะคะ ต่อไปครูจะหา 5 คูณ 5 5 คูณ 5 ก็คือ 5 ยกกำลัง 2 5 ยกกำลัง 2 แล้วมีค่าเป็น 25 ถัดมาหาไว้สักเยอะ ๆ นะคะ 6 คูณ 6 ก็เท่ากับ 6 ยกกำลัง 2 6 x 6 เป็น... 6 x 6 เป็น 36 ต่อไป 7 x 7 เท่ากับ 7 ยกกำลัง 2 7 คูณ 7 เป็น 49 โอเค คราวนี้ครูจะถามแล้ว ตอนนี้ครูใช้เมาส์นะคะ ใช้ iPad เข้า Jamboard ไม่ได้ ครูก็งงอยู่ทำไมแป๊บหนึ่งนะคะ เดี๋ยวในช่วงเบรกจะต้องแก้สแควรูท 36 เท่ากับเท่าไรคะ อะไรคะ จำนวนนับใดยกกำลัง 2 แล้วมีค่าเป็น 36 มีไหม ถ้ามีตอบออกมาเลย ตอนนี้ดูคอลัมน์นี้นะคะ ดูในคอลัมน์นี้ อะไรที่ยกกำลัง 2 แล้วเป็น 36 เราก็จะพบว่า อ๋อ มีอยู่นี่ไง 6 ยกกำลัง 2 เป็นอะไรคะ เป็น 36 ดังนั้นตัวเลขสแควรูทเป็น 36 เป็น 6 โอเคไหมคะ คำอธิบายง่าย ๆ คือ สแควรูท 36 อะไรที่คูณตัวมันเองแล้วมีค่าเป็น 36 โอเคไหมคะ จำนวนจริงอะไร ที่คูณตัวมันเองแล้วเป็น 36 ถ้าครูจะขยายต่อไปอีก สแควรูท 100 เท่ากับอะไร เราก็ต้องนั่งคิดว่า เอ๊ะ จำนวนอะไรที่คูณตัวมันเองแล้ว... ตอบมาแล้ว 10 เก่งค่ะ เก่งมาก ก็คือ 10 คูณกับ 10 เป็น 100 ตรงนี้นะคะ แต่ที่ครูอธิบายนี่มันไม่ใช่วิธีตรงนะคะ วิธีตรงมันมีอยู่มันต้องตั้งหารนะคะ เป็น 10 ถ้าอย่างนั้นเดี๋ยวทวนการถอดรากที่ 2 เพียงเท่านี้นะคะครูจะทวนการถอดรากที่ 2 ในกรณีที่คำตอบมันเป็นจำนวนนับง่าย ๆ นะคะ ก็เดี๋ยวเราจะพักช่วงแรก 10 นาที ช่วงหลังเรามาเรียนกันต่อนะคะ ก็พักดื่มน้ำ เข้าห้องน้ำ แล้วก็มาชมกันต่อนะคะ โอเคค่ะ พัก 10 นาทีนะคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) สวัสดีค่ะ กลับมากันหรือยังเอ่ย นักศึกษากลับมาหรือยัง ใครกลับมาแล้วเปิดกล้องให้ครูหน่อยค่ะ นักเรียนนะคะ (นักศึกษาชาย) ครับ ครูขอชมหน้าตานักศึกษาหน่อยได้ไหม สะดวกไหมคะ วันนั้นสันติภาพ ครูเห็นตี๋สั้นอยู่ใน ม. ตี๋สันอยู่ใน ม. หรือคะ (สันติภาพ) วันไหนหรือครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อาทิตย์ที่แล้ว ครูจำไม่ค่อยได้ ครูยังไม่เคยพบตี๋สั้นเลยสักครั้งเลย ครูเห็นนักศึกษาเดินอยู่ริมถนน ข้าง ๆ ถนนเส้นเสาร์ธง วันนี้นตี๋สั้นใส่เสื้อกีฬาสีเขียวไหม มีไหม (สันติภาพ) จำไม่ได้ ผมไปเดินเกือบทุกวันน่ะครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) แสดงว่าตี๋สั้นยังอยู่ใน ม. ใช่ไหมคะ (นักศึกษาชาย) ยังอยู่ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์)  ดีแล้ว ๆ ถ้าอย่างไรครูอาจจะขอถามได้ที่ศูนย์ DSS นะคะ ช่วยครูในการพูดคุยกับตี๋สั้นนะคะ ครูอาจจะขอคุยด้วยหน่อยนะ คนอื่น ๆ เปิดกล้องหน่อยค่ะ ครูอยากเห็นหน้าพวกหนู วริษาในตกไหมคะ ตกไหมลูก ไม่ตก (ล่าม) ไม่ตกค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเคค่ะ ธัญลักษณ์เมื่อคคืนธัญลักษณ์ที่บ้านฝนตกไหม (ล่าม) ไม่เลยค่ะ แค่เมฆ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ที่ตัวเมืองนี่อย่างกับพายุเข้านะคะ ตอนตี 1 จนครูตื่น ที่นี่ลมแรง ต้นไม้... เลย นพกิตที่บ้านฝนกตกไหมคะ เมื่อคืน ที่บ้านฝนตกไหม (ล่าม) ฝนตกครับ บ้านผมฝนตกครับ เมฆก้อนดำเหมือนกันครับ ครึ่มเหมือนกันครับมีใคร... นักศึกษาสะดวกเปิดกล้องแค่นี้นะ คงมีนักศึกษาสะดวกเปิดกล้องเท่านี้นะ ถ้าอย่างนั้น Jamboard ที่แชร์ไปเมื่อตอนภาคเช้ามีปัญหานิดหนึ่งนะคะ iPad ไม่สามารถเปิดได้ ปัญหาอะไรกำลังอัปเดต Jคือครูอยากจะใช้ปากกาเขียนขอไปใช้ Jamboard ซึ่งแชร์เข้าไปใน LINE กลุ่มแล้ว โอเค ในพาทหลังนี้จะเป็นเรื่องพีชคณิตของเมทริกซ์จะมีอธิบายบวก, ลบ, คูณ, หาร อะไรพวกนี้นะคะ แต่ก่อนอื่น Connect นักศึกษาก่อนนะคะ พอดีสไลด์ครูผิด อันนี้ครูยอมรับเลย อันที่ถูกต้องเป็นแบบนี้นะคะ เดี๋ยวนักศึกษาจะได้เข้าใจนะคะ ครูแก้สไลด์แล้วนะคะ หน้าต่างที่ครูบอกว่ามันทะแม่งโอเค อย่างนั้นเรา Recorrect กันใหม่ สามเหลี่ยมบน ก็คือบนเส้นทแยงมุมนะคะ แต่บางตัวอาจจะเป็น 0 ก็ได้แต่ไม่ทั้งหมด จะมาเป็น 0 ทั้งหมดอยู่ใต้ทแยงมุมสามเหลี่ยมบน พูดง่าย ๆ ก็คือข้างล่างทแยงมุมเป็น 0 หมด ทั้งหมดนะคะ จะมีค่าบ้าง ส่วนเมทริกซ์ล่าง เมทริกซ์ล่าง ก็คือจะมีค่าที่เป็นตัวเลขปะปนอยู่ ถึงจะมี 0 ก็ไม่เป็นไร แต่ข้างบนเส้นทแยงมุมเป็น 0 หมด ตัวนี้ถึงถูก โอเค ตามนิยามอันนี้จะเป็นตัวอย่าง เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง มี 0 อยู่ตัวหนึ่งปนอยู่ไม่เป็นไรนะคะ ที่ด้านบนนะคะ โอเคเดี๋ยวสไลด์นี้ครูจะส่งให้ใหม่ ใน LINE กลุ่มนะคะ ต่อไปจะเป็นเรื่องของพีชคณิต ตัวนี้อธิบายแล้วนะคะ ต่อไปเราเรียนการบวกกับลบเมทริกซ์นะคะ บวกกับลบเมทริกซ์ โอเค เดี๋ยวแป๊บหนึ่งนะคะ เสร็จไหมคะ เมทริกซ์กับเมทริกซ์เราจะเอามารวมกันได้ หรือลบกันได้ ก็คือมันจะต้องมี Dimension เท่ากัน จำนวนแถวกับจำนวนหลักเท่ากัน ตัวอย่างสไลด์เมทริกซ์ A มี 2 แถว 3 หลัก 2 แถว 3 หลักนะคะ ตรงนี้ นี่เป็นแถวที่ 1 อันนี้เป็นแถวที่ 2 นะคะ 2 แถว 3 หลัก 2 แถว 3 หลักเช่นเดียวกันนะคะ ถ้าเป็นแบบนี้บวกกันได้ วิธีการบวกเมทริกซ์ ก็คือเอาตำแหน่งเดียวกันมาบวกกันนะคะ ให้มา เมทริกซ์ B ที่เกิดจากเมทริกซ์ A ไปบวกกัน แป๊บหนึ่ง โอเค โอเค นี่ดูนะคะ ว่าถ้าเราจะหาเมทริกซ์ C แล้วเอาข้อมูลในตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน อย่างตัวแรก ตรงนี้ ตำแหน่งที่ 1 ของ A เป็น -1 ของ B เป็น 4 แล้วก็เอามาบวกกัน 1 นะคะ จำแหน่งที่ 1 -1 + 4 มีค่าเป็น 3 เป็น 3 เห็นไหมคะ เมทริกซ์คำตอบ C มาแล้วนะคะ ตัวที่ 1 เป็น 3 แถวที่ 1 หลักที่ 2 ก็คือตำแหน่งนี้ก็เกิดจากเอาแถวที่ 1 กับแถวที่ 2 ของ A ก็คือ 2 กับ 2 ตัวนี้มาบวกกันนะคะ 2 + 2 เป็น 4 ได้แล้วนะคะ ต่อไป แถวที่ 1 หลักที่ 3 ตำแหน่งนี้นะคะ เราก็เอา A มาก่อนใช่ไหมคะ ก็เอา A ก็คือ 4 บวกกับ -3 4 + (-3) ก็กลายเป็น 4 - 3 ดังนี้นะคะ 4 - 3 ก็เหลือ 1 ได้คำตอบ 3 ตำแหน่งแล้วนะคะ ต่อไปตำแหน่งที่ 2 คือ ตำแหน่งตรงนี้ ตำแหน่งตรงนี้ ก็คือของ A เป็น 3 เอาไปบวก 1 นะคะ 3 + 1 ตำแหน่งนี้ ก็จะเป็นตำแหน่งนี้ 3 + 1 เป็น 4 ต่อไป ตำแหน่งถัดมา แถวที่ 2 หลักที่ 2 แถวที่ 2 หลักที่ 2 นะคะ ของ A เป็น -6 เอาไปบวกของ B ก็เป็น -6 + 7 ได้ มีค่าเป็น 1 เป็น 1 นะคะ ได้แล้ว ถัดไปตำแหน่งที่สุดท้ายก็คือแถวที่ 2 หลักที่ 3 แถวที่ 2 หลักที่ 3 ของ A เป็น 10 เอาไปบวกกับ 9 10 + 9 เป็น 19 ได้แล้วนะคะ เมทริกซ์ นี่คือหลักการเอาเมทริกซ์ A กับ B ไปบวกกัน ต่อไปเราจะมาดูว่ามันลบกันบ้าง ถ้ากำหนดให้เมทริกซ์ B เกิดจากเมทริกซ์ A ลบเมทริกซ์ B  - เมทริกซ์ B แหล่งเดียวกัน จาก A เป็นตัวตั้งลบเมทริกซ์ B เป็นตัวลบ ดังนั้น เมทริกซ์ B ตำแหน่งที่ 1 นะคะ ก็คือแถวที่ 1 หลักที่ 1 ก็เกิดจาก -1 ลบมาจากเครื่องหมายตรงนี้นะคะ ก็จะเป็น -1 -4 กลายเป็น -5 แต่ตรงนี้พอเข้าใจไหมคะว่า -5 มาได้อย่างไร อันนี้เป็นการบวกลบเลขจำนวนจริงลบนะคะ -1 หมายความว่าครูไปยืมเงินเขามา 1 บาท ครูเป็นหนี้ -1 แล้วครูก็ไปยืมเงินเขาอีก 4 บาท ครูก็เป็นหนี้ทั้งหมด 5 บาท ก็คือ -5 อันนี้ได้เป็น -5 แล้ว ัดไป ตำแหน่งที่ 2 ตรงนี้นะคะ ก็คือแถวที่ 1 หลักที่ 2 แถวที่ 1 หลักที่ 2 ก็ไปเอาของ A มาก็คือ 2 ลบจากโจทย์ ลบด้วย 2 จาก D ก็เป็น 2 - 2 เป็น 0 เดี๋ยวรอคุณครูล่ามอธิบายอยู่นะคะ ดโอเคไหมคะคุณครูล่ามนักศึกษาตามทันไหมคะ นักศึกษาโอเคไหมคะ (ล่าม) โอเคไหม งง มีไหม เมื่อก่อนเรียนมีไหมเอาอย่างนี้ดีกว่า เมื่อก่อนเรียน... ไม่เคยเรียนค่ะ เด็ก ๆ ไม่เคยเรียนเรื่องนี้ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อ๋อ เรื่องบวกลบจำนวนจริง บวกคูณลบใช่ไหมคะ เดี๋ยวเสร็จจากตัวอย่างนี้จะไปที่ Jamboard คอนเซ็ปต์เรื่องแล้ว อย่างนั้นมาดูตำแหน่งที่ 3 นะคะ แถวที่ 1 หลักที่ 3 แถวที่ 1 หลักที่  3ก็เอาตำแหน่งเดียวกันมาลบกัน 4 ลบมาจากตัวโจทย์ -3 ลบเจอลบกลายเป็นบวก ก็จะเหมือนเป็น 4 + 3 กลายเป็น 7 โอเคไหมคะ แถวที่ 2 หลักที่ 1 แถวที่ 2 หลักที่ 1 ตรงนี้นะคะ เราก็เอา 3 ลบจากโจทย์ไปลบ 1 3 - 1 เป็น 2 เป็นคำตอบตรงนี้ ต่อไปตำแหน่งแถวที่ 2 หลักที่ 2 เอา -6 ลบกับโจทย์ตรงนี้นะคะ เราก็ลบด้วย B สมาชิกของ B เป็น -6, -7 กลายเป็น -13 เดี๋ยวเรื่องบวกลบจำนวนจริงลบ เดี๋ยวครูจะอธิบายอีกครั้งหนึ่งนะคะ เดี๋ยวครูจะทวนให้ ส่วนตำแหน่งสุดท้าย ก็คือแถวที่ 2 หลักที่ 3 10 - 9 10 - 9 เป็น 1 อันนี้ก็คือเมทริกซ์ B คำตอบนะคะ จากเอาเมทริกซ์ A ไปลบ เมทริกซ์ B เดี๋ยวเรื่องเมทริกซ์คงจะพักแค่นี้ก่อน ครูขอทบทวนความรู้พื้นฐานทางด้านพีชคณิตให้เสียก่อนนะคะ คอนเซ็ปง่าย ๆ นะ ไป Jamboard Jamboard วันนี้ โอเค จบการแชร์หน้าจอแป๊บหนึ่ง แชร์หน้าต่าง Jamboard เดี๋ยววันนี้ครูคงจะทวนเรื่องระบบจำนวนให้เสียก่อน กระดาน jamboard ที่เราเรียนกันเรื่องถอดรหัส นักศึกษาพอจะจำได้นะคะ อันนี้เป็นกระดานเก่าที่เราใช้ไปถึงกระดานหมายเลข 12 นะคะ ตอนนี้ครูก็จะเลื่อน ๆ ไป มาถึงหน้าที่ 10 เป็นกระดานสะอาดแล้ว ครูจะอธิบายถึง การบวก, ลบจำนวนจริง ในที่นี้ครูจะขอให้เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น เพื่อง่ายต่อการอธิบาย ซึ่งจำนวนเต็มประกอบไปด้วย ศูนย์ คือ เลข 0 เลขนับ ก็คือ 1, 2, 3, 4, 5 จำนวนลบ ก็คือ -5 ครูจะเขียนจำนวนเต็มบนระบบเส้นจำนวนดังต่อไปนี้ ตอนนี้ครูใช้ปากกาได้แล้ว เดี๋ยวนะคะ แป๊บหนึ่ง โอเค ครูก็ 3 จอ อันนี้เป็นจำนวนจริง ระบบจำนวนจริง เส้นจำนวนจริงนะคะ จะมี 0 สเกลมันเท่ากันนะคะ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ครูขอยกตัวอย่างด้วยตัวเลขง่าย ๆ และด้านซ้ายของเลข 0 นี้ ครูใช้เป็นสีฟ้า บอกว่าติดลบ -1, -2, -3, -4, -5, -6 ในส่วนที่เป็นลูกศรชี้ตัวนี้หมายความว่าไปได้อีกเรื่อย ๆ เป็นอนันต์ ไม่มีที่สิ้นสุดนะคะ บวกไปได้เรื่อย ๆ ๆ ๆ เลย ส่วนลูกศรด้านซ้าย ด้านนี้ ลูกศรด้านซ้ายด้านนี้นะคะ คำพูดกับภาพจะอาจดีเลย์นิดหนึ่งนะคะ ไปได้เรื่อย ๆ เช่นเดียวกันทางด้านซ้ายน่ะ หมายความว่ามันจะติดลบในด้านซ้าย เดี๋ยวครูเอาพื้นหลังออกดีกว่า เพราะบางทีครูจะอธิบาย โอเค เพราะบางทีครูอธิบายมันจะได้เห็นนะ สมมติว่าครูมีจำนวนหนึ่งเกิดขึ้น สมมติว่าครูมีเงินอยู่ 3 บาท ถ้าข้อมูลอยู่ตรงนี้นะคะ ครูมีเงินอยู่ 3 บาท วริษาให้ครูอีก 2 บาท วริษาให้ครู 2 บาท 3 + 2 หมายความว่าการบวก คือ ไปทางด้านขวา ค่าขึ้น 2 ปุ๊บ เห็นไหมคะ ครูกระโดดไปกี่ก้าวแล้วคะ 2 ก้าว ก็คือบวก 2 ครูจะมาหยุดอยู่ตรง 5 ก็คือ 3 + 2 เป็น 5 โอเคไหมคะ อันนี้แบบที่ 1 แบบที่ 2 ครูจะใช้สีที่แตกต่างกันนะคะ สีแดง ก็คือ 3 + 2 เป็น 5 คราวนี้ สมมติ A A มีเงินอยู่ 2 บาท ข้อมูลครูอยู่ตรงนี้นะคะ 2 บาท 2 บาท A มีเงิน 2 บาท ครูไปยืม 5 บาท ครูไปยืม 5 บาทสมมตินะ การยืมคือการหักออกถ้าหักออก ค่าจำนวณจะขยับไปด้านซ้าย 5 ช่อง ครูจะนับไปนะคะ 1, 2, 3, 4, 5 ข้อมูลอยู่ตรงนี้ อันนี้คือหักออก 5 เห็นไหมคะ คำตอบจะเป็นเท่าไรคะ หยุดอยู่ตรงไหนนี่ หยุดอยู่ตรง -3 ดังนั้น ก็คือ 2-มีค่าเป็น 10 - 3 เห็นไหมคะ ครูใส่หัวลูกศรให้นะคะ ถ้าหักออกกระเถิบไปด้านซ้าย ถ้าบวกกระเถิบไปด้านขวา อันนี้อันที่ 1 นะคะ ต่อไปครูเอาใหม่บ้าง สมมติว่า B B น่ะ มีเงินติดลบ B เขาเป็นหนี้ครูอยู่ 5 บาท แสดงว่าเขามีเงินติดลบ 5 B ติดลบ 5 เขาทำงานมีเงิน เขามาใช้หนี้ครู 3 บาท นั่นแสดงว่าติดลบ 5 แล้วเขามาจ่ายครู 3 บาท แสดงว่าบวก 3 ถ้าบวก 3 ก็คืออะไรคะ กระเถิบไปด้านขวา 3 ช่อง 1 2, 3 หยุดอยู่ตรงนี้ สีเขียวที่เขียนในประโยคคณิตศาสตร์นะคะ ก็คือ -5 แล้วบวกเท่าไรคะ บวก 3 มีค่าเป็น -2 เห็นไหม ใช้ความเข้าใจนักศึกษานะคะคราวนี้ครูจะตั้งใหม่ 5 ถ้า -6 + 2 เท่ากับอะไรคะ -6 -6 อยู่ตรงนี้ใช่ไหมคะ -6 อยู่ตรงนี้ + 2 ก็คือเพิ่มค่าไปทางขวา กี่ช่องคะ 2 ช่อง 1 แล้วก็ 2 หยุดอยู่ที่อะไรคะ ตอบเป็น ขอบคุณครับธัญลักษณ์ สมาชิกห้องเราตอบมาแล้-4 สมาชิกห้องเราตอบมาแล้วเป็น -4 อันนี้ครูจะเชื่อมโยงนะคะ ต่อไปถ้าเราเจอตัวเลขที่มีจำนวนมาก ๆ นะ ไม่ใช่ตัวเลข 1-6 แล้ว เราจะมีหลักคิดอย่างเร็วได้อย่างไร โดยไม่ใช้เส้นจำนวนจริง มีหลักการดังต่อไปนี้ สังเกตประโยคนี้นะคะ จากประโยคนี้เหมือนกัน เหมือนกันอย่างนี้นะคะ ในกรณีที่เขามีเครื่องหมายต่างกัน ในกรณีที่ 2 จำนวนนั้นมีเครื่องหมายต่างกัน ต่างกันอย่างไรนะคะ อันนี้เป็นลบ อันนี้เป็นอะไรคะ เป็นบวก เห็นไหม ข้างหน้า 2 ตัวนี้จริง ๆ แล้วเป็นอะไรคะ เป็นบวก อันนี้เป็นบวก อันนที่เป็นลบ ถ้ามีจำนวน 2 ตัวที่เครื่องหมายต่างกัน วิธีคิดนะคะ ให้เอาตัวมากลบตัวน้อย ตัวมากคือใคร ตัวมากคือตัวนี้ใช่ไหม อันนี้ คือ ตัวมาก อันนี้คือตัวน้อย เอาตัวมา ตอนนี้เราไม่ต้องมองเครื่องหมายเขา เอาเครื่องหมายออกไปก่อน เอาตัวมากลบตัวน้อย ลองดูนะ ตัวมาก 6 ลบตัวน้อยคืออะไรคะ เป็น 4 แต่พอเราคิดเครื่องหมาย 4 ตัวนี้จะมีเครื่องหมายตามตัวมาก มีเครื่องหมายตามตัวมาก ซึ่งตัวมากตัวนี้เป็นอะไรคะ มันเป็นลบ ดังนั้น คำตอบ 4 ก็คือเป็นอะไรคะ -4 อันนี้เป็นวิธีคิดในกระดาษทดนะคะ ครูอธิบายนักศึกษาง่าย ๆ อย่างนี้ วิธีการคิด เอาตัวมากลบตัวน้อย คำตอบเอาตัวมากลบตัวน้อย คำตอบที่ได้ตามตัวมาก ใช้กรณีที่ตัวหนึ่งเป็นบวกอีกตัวหนึ่งเป็นลบ คราวนี้ลองดูนะคะ ครูจะลงทิ้งแล้ว หลักการเดียวกันนะคะ หลักการเดียวกัน เรามาดูตัวนี้บ้าง หลักการตัวนี้ใช้ได้หรือไม่ที่ครูบอกนะคะ ตัวมากคืออะไรเอ่ยตอนนี้ 5 เป็นตัวมากใช่ไหม ตัวน้อย ก็คืออะไรคะ 2 เอามากลบน้อย ตอบ 3 แต่ 3 มีเครื่องหมายเป็นอะไรคะ เป็นลบ ตามใคร มีเครื่องหมายตามตัวมาก ตามตัวมากเป็นลบ ดังนั้นคำตอบเป็นอะไรคะ เป็น -3 ลองดูอีกทีหนึ่งนะ คราวนี้ครูลบแล้ว ครูจะยกตัวเลขที่เยอะขึ้น มากขึ้น ไม่เป็นเส้นจำนวนแบบนีแล้ว สมมตินะคะ -122 + 81 ได้เท่าไร สังเกตนะคะ สิ่งแรก ก็คือมีเครื่องหมายที่เป็นอย่างไรคะตรงนี้ อันนี้เป็นลบ อันนี้เป็นบวกเห็นไหม ลบกับบวกมีเครื่องหมายต่างกัน เอาตัวมาก ตัวมากอยู่ไหน อันนี้คือตัวมาก อันนี้คือตัวน้อย ตัวมากมีค่าเป็น 122 เอามาลบตัวน้อย นักศึกษาลบให้ครูหน่อยค่ะ เป็นเท่าไร พิมพ์มาได้เลย พิมพ์แชตมาได้เลย (ล่าม) มีเด็กตอบ 1 1 0 ค่ะอาจารย์ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 110 (ล่าม) นพกิตตอบ 110 (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 110 เดี๋ยวครูเช็กดูนะว่าถูกไหม ลองดูนะ 2 - 1 2 - 1 เป็นอะไรคะ เป็น 1 ตรงนี้ไม่ใช่แล้วนะคะ เดี่ยวครูจะเช็กคำตอบให้นะคะ โอเค แสดงว่าคำตอบที่ตอบมานี่ ไม่ใช่แล้วนะคะ แล้วเราลบพร้อมกันเลย 2 ตัวนี้นะคะ หลักหน่วย 2 - 1 เป็น 1 ต่อมา 2 หลักสิบ ลบ 8 ไม่ได้ มันน้อย 2 มันน้อยกว่า 8 ไปยืมข้างหน้า 12 - 8 เหลือ -8 เหลือ 4 (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ ใช่ค่ะ 12 - 8 เหลือ 4 คำตอบเราจะเป็น 41 แต่ต้องเอาไปรวมกับอะไรคะ ของใคร รวมกับเครื่องหมายของตัวมาก ตัวมากเป็นเครื่องหมายอะไรคะ เป็นลบ ในกรณีนี้เป็นลบ คำตอบที่ได้จึงกลายเป็น -41 คำตอบเป็น -41 โอเค เดี๋ยวเราจะืทำโจทย์นี้สักประมาณ 3 ตัวอย่าง อันนี้ตัวอย่างที่ 1 นะคะ ตัวหนึ่งเป็นบวก ตัวหนึ่งเป็นลบ ก็ได้ ลบอาจจะขึ้นก่อน หรือบวกขึ้นก่อนก็ได้ โอเค ตัวอย่างถัดไป -23 + 51 สังเกตนะคะ มีเครื่องหมายลบ เครื่องหมายเป็นลบกันเครื่องหมายเป็นอะไรคะ เป็นบวก เป็นลบกับบวกต่างกัน เอาตัวมากลบตัวน้อย ตัวมากของเราเป็นอะไรคะตัวนี้ 51 เป็นตัวมาก ตัวน้อยก็คือ 23 เอาตัวมา ก็คือ 51 ตั้ง ลบตัวน้อย 51 - 23 เหลือ ขอบคุณครับ กัญญาณัฐ 28 มีสมาชิกในห้องตอบมา 28 แล้ว ถูก แต่คำตอบของเรา 28 จะมีเครื่องหมายตามตัวมาก เรามาดูสิเครื่องหมายตามตัวมากเป็นอะไรคะ เป็นบวก ดังนั้น เครื่องหมายตรงนี้นะคะ เราก็ตอบไปเลยว่าเครื่องหมายเป็นตัวบวกนะคะ ก็ตอบไปเป็น 28 +28 เราไม่นิยมเขียนบวกข้างหน้า เราก็เป็น 28 เลย ข้อสังเกตจากโจทย์นี้ โจทย์นี้นะคะ การบวกจำนวนจริงมีคุณสมบัติการปรับที่ ... ครูทวนเรื่องระบบจำนวนให้นะคะ ตรงนี้นะคะ อันนี้คุณสมบัติจำนวนจริง A + B = B + C เสมอ เขาเรียกว่าคุณสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนจริง ดังนั้นประโยคนี้เหมือนกันนะคะ จึงมีค่าเท่ากับอะไรคะ สลับกันสิ -23 อยู่ข้างหน้า ไปอยู่ข้างบวก 51 เอามาอยู่ข้างหน้าก็กลายเป็น 51 เท่ากัน โอเคไหมคะ ครูให้เราเห็นว่าการบวกจำนวนจริงมีคุณสมบัติการสลับที่ ดังนั้น จากที่โจทย์ถามมาก็คือ -23 + 51 มันก็เท่ากับอะไรนั่นเอง 51 - 23 เพราะว่าบวกหน้า 51 นี่ เขาไม่นิยมเขียนเครื่องหมาย + ถือว่าเข้าใจตรงกันว่ามันเป็นจำนวนจริงบวกนะคะ จากประโยคที่ครูถามเมื่อตอนต้นที่สีฟ้า เขียนใหม่เป็นประโยคสีเขียวได้ จึงใช้คุณสมบัติการสลับที่การบวก ก็จะเท่ากันนะคะ คำตอบเท่ากัน ก็คือ 28 เท่ากันนะคะ คำตอบเป็น 28 อะไรขึ้นก่อนอะไรก็ตาม คำตอบอันเดียวกัน โอเคอีกตัวอย่าง อีกตัวอย่างนะคะ -38 + 55 เท่ากับอะไร ให้นักศึกษาคิด เดี๋ยวครูรอคำตอบนะคะ 17 (ล่าม) 17 ค่ะ วริษาตอบ 17 ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เก่งมากค่ะ มีเพื่อนตอบมาในแช็ตด้วย มาดูวิธีคิด คิดได้ 2 แบบนะคะ ตอนนี้เราแอบเห็นเครื่องหมายเขาต่างกันนะคะ มีลบกับมีบวก แต่ว่าตัวมากมันเป็นบวก ค่ะขอบคุณมากค่ะกัญญาณัฐ เก่ง ๆ ค่ะ เยี่ยม ๆ ค่ะ ถูกต้องค่ะ เดี๋ยวนะคะ ถูกค่ะ โอเค คราวนี้เรามาดูวิธีการ ก็คือมันมีตัวบวกกับตัวลบนะคะ ให้ใช้คุณสมบัติการสลับที่ ประโยคที่ครูถามจึงมีค่าเทียบเท่ากับ เทียบเท่ากับอะไรคะ 55 - 38 มันเท่ากันนะคะ มันเท่ากัน 55 - 38 ก็จะมีค่าเป็น 17 ถูกต้องค่ะ ภากรณ์ ภากรณ์เป็นลบไม่ได้นะครับ เพราะอะไรคะ เพราะว่าตัวมากมันมีเครื่องหมายเป็นอะไรคะภากรณ์ ภากรณ์อยู่ไหม ภากรณ์ต้องเป็นบวกนะคะ บวก 11 นะคะ คำตอบเราจะต้องเป็นบวกนะคะ -17 ไม่ใช่เพราะว่าเครื่องหมายตัวมาก มันเป็นตัว 55 มันเป็นบวก ดังนั้น 17 ต้องเป็นบวก คราวนี้ดูเรื่องถัดไปนะคะ กรณีที่มัน... โอเค นพกิตสุดยอด ต่อไป ครูจะพูดถึงเรื่องจำนวนติดลบนะคะ ครูจะเขียนเซตจำนวนขึ้นมาอีก คราวนี้ครูทำเส้นจำนวนนะคะ ครูจะใช้เรื่องจำนวนติดลบเยอะ ๆ โอเค ลองดูนะคะ ถ้าครูมีหนี้ มีหนี้คือมีเงินติดลบนะคะ ก็เลยต้องยกตัวอย่างแบบนี้เพราะมันติดลบ ถ้าครูมีหนี้อยู่ -3 บาท ครูอยู่ตรงนี้ ครูไปเพิ่มยอดหนี้ไปขอกู้เพิ่ม ประโยคสัญลักษณ์คือ -5 แล้วครูไปบวกกู้เพิ่ม 3 ขอโทษที ๆ ครูเขียนผิด -3 นะคะ ต้องเป็น -3 ก่อน แล้วก็บวก เดี๋ยวครูยกตัวอย่างใหม่ก็แล้วกันนะคะ อย่างวันนี้ครูทำงานหาย 3 บาท ครูไม่ชอบเป็นหนี้นะคะ เป็นหนี้ไม่ดี เป็นหนี้เป็นเรื่องที่ต้องใช้นะคะ ในชีวิตจริงนักศึกษาอย่าเป็นหนี้นะคะ ครูทำสตางค์หล่นหาย ครูทำสตางค์หล่นหาย 3 บาท แล้วครูบอกว่าเมื่อวาน... เอาใหม่ ๆ โอเค เมื่อวานครูทำสตางค์ ทำงานหาย 3 บาทนะคะ วันนี้ครูทำเงินหายอีก 5 บาท ครูจะคิดคำตอบไปก่อนล่วงหน้าอยู่เรื่อยเลย 5 บาท แสดงว่าเงินที่ครูทำหายเป็นทั้งหมดกี่บาท ถ้าเราให้เครื่องหมายลบ นี่คือเงินที่หายไปสูญหายไปนะคะ ประโยคสัญลักษณ์นี้ ก็คือ -3 แล้วบวกกับ -5 ก็เป็นอย่างที่ครูเขียนนะคะ ถามว่าครูมีเงินหายทั้งหมดกี่บาท ก็จะมีค่าเท่ากับ... ตามเส้นจำนวนจริงนะคะ อยู่ -3 บวกไป -5 ก็คือประโยคสัญลักษณ์นะคะ ถ้าเครื่องหมายมันซ้อนกันแบบนี้ โอเค แป๊บหนึ่งนะคะ มีบวกกับมีลบซ้อนกันอย่างนี้ บวกกับลบเสมือนว่ามันเป็นลบ จริง ๆ แล้วมันเขียนติดกัน เป็นการคูณนะคะ ประโยคนี้เขียนใหม่ได้เป็น - 3 - 5 ครูจะเขียนอย่างนี้ เครื่องหมาย - ต้องกระเถิบไป 5 ช1, 2, 3, 4, 5 คำตอบครูอยู่ตรงนี้ จะมีค่าเป็น -8 โอเคนะคะ คราวนี้... อีกนิดหนึ่ง ครูใช้ตัวเลขเยอะขึ้นนะคะ สมมตินะ -4 บวก -9 เป็นเท่าไรคะ -4 + -9 ลบกับบวกเจอกันตรงนี้กลายเป็นลบ ก็จะหลายเป็น -4 - 9 เท่ากับ ตรงนี้นะคะ -4 + -9 ก็เขียนลดรูปกลายเป็น -4 -9 รอนักศึกษาอยู่นะ เน็ตที่บ้านครูหลุดหรือเปล่า -13 ถูกต้องครับ กัญญาณัฐ -13 ถูกต้องค่ะ -13 Thank you มีสมาชิกตอบมาแล้วนะคะ (ล่าม) มีวริษาตอบ 5 น่ะค่ะอาจารย์ เด็กหู(หนวก) วริษาตอบ 5 (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเค วริษาดูครูนนิดหนึ่งนะ ตอบ -13 นี่ถูกต้อง วิธีการ ก็คือสังเกตวิธีการตรงนี้นะคะ อันที่ 1 นี่ อันนี้ -8 เกิดจากอะไร ถ้าเรามองดี ๆ นะคะ เราเอา 3 กับ 5 บวกกันเป็นอะไรคะ เป็น 8 แล้วดึงเครื่องหมายเขามาเลย ดึงเครื่องหมายเขามานะคะ กลายเป็น -8 อันนี้ใช้กรณีที่เป็นลบด้วยกัน ด้วยภาพตรงนี้ไปแล้ว ส่วนตรงนี้นี่ ทำไมถึงเป็น -13 ไม่ใช่ -5 เพราะตรงนี้มันเป็นลบนะคะ ตรงนี้มันเป็นลบ ตรงนี้มันเป็นลบนะคะ เป็นลบ วิธีการก็เหมือนว่าเราเอา 4 กับ 9 นี่เป็นอะไรคะ เครื่องหมายเป็นอะไรคะ มันจะมีเครื่องหมายตามลบลงมาเลย มันเป็นลบด้วยกัน มันเครื่องหมาย - เหมือนกัน เราก็ดึงลงมาเลย ความหมายเขา ก็เหมือนกับว่าเมื่อวานเราทำเงินหล่นหาย เมื่อวานหล่นหายไป 9 บาท รวมแล้วหล่นหายไป 13 บาทนะคะ เดี่ยวลองอีกสักตัวอย่างนะ วริศาดูอีกตัวอย่างนะ คราวนี้ครูจะยกตัวอย่างเป็น... ครูเขียนอย่างนี้เลยนี่ ครูเขียนอย่างนี้เลย -13 แล้วก็ -12 เราจะเห็นเลยว่า 13 ก็ติดลบเห็นไหมคะ 13 ตัวนี้ก็ติดลบ 12 ตรงนี้ก็ติดลบ เครื่องหมายเดียวกันนะคะ มีเครื่องหมายลบเหมือนกัน เอาอะไรมาบวกกันเลย เอาตัวเลขตรงนี้มาทำไมกันคะ มาบวกกันเลย 13 + 12 เป็น... (ล่าม) 25 ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 25 แต่ยังไม่ใช่คำตอบสุดท้ายนะคะ คำตอบสุดท้ายเราต้องใส่เครื่องหมายตามกลุ่มเขาด้วยเห็นไหมคะ โอเค ธนภัทรถูกต้องค่ะ อย่าลืมนะคะ ว่าการบวกลบนี่มันจะมีเครื่องหมายตามผลลัพธ์อย่างเช่น ในกรณีที่มันเป็นลบด้วยกันนี่ เครื่องหมายมันจะเป็นลบเสมอ ตัวนี้นะคะ เป็นลบ เอาเร็ว ๆ เลยคราวนี้ ครูจะเอาโจทย์ง่าย ๆ นะคะ -2, -3 ตอบเท่าไรคะ ลบเหมือนกัน เขียน 5 คอยไว้ ติดลบ -5 เอาอีกนะคะ -4, -2 เป็น ลบอะไรคะ ครูขอถาม... ธัญลักษณ์ไม่ใช่นะลูก -4 -2 เป็น ภากรณ์ถูกต้องค่ะ -12 -13 เป็น -25 นพกิต เป็น 6 แล้ว เครื่องหมายเขาต้องมีค่าเป็นอะไรคะ เป็นลบ เป็น -6 นะคะ ลองอีก ๆ -3 -1 เป็นอะไรคะ คำตอบที่ได้ต้องติดลบไหม โอเคค่ะ -4 ถูกต้อง เอาอีก -5, -4 เป็นเท่าไรคะ โจทย์ใหม่แล้วนะ ธัญลักษณ์สุดยอด -9 ถูกต้อง คราวนี้ตัวเลขเยอะขึ้นหน่อยนะ -100 ถูกต้องครับนพกิต -100 - -250 เท่ากับ ธัญลักษณ์ยังไม่ใช่ ไม่ใช่ -150 นะคะ นพกิตถูกต้องนะครับ -350 ติ๊ง เอา 100 กับ 250 บวกกัน เพราะว่า 2 จำนวนนี้ติดลบด้วยกันทั้งคู่ ภากรณ์ถูกต้องค่ะ เดี๋ยวครูขอเวลาอีก 15 นาทีนะคะ ครูจะทบทวนจำนวนให้กับเพื่อน ๆ ในห้อง ครูขอไปกระดานหน้าที่ 13 ในกรณีที่เราเอาจำนวนลบ จำนวนติดลบมาลบกันเช่น -3 ลบด้วย -5 -3 ลบด้วย -5 เครื่องหมายลบตัวนี้นะคะ ลบนี้ ถ้าลบเจอลบ เหมือนคูณกัน ลบ คูณ ลบ กลายเป็นบวก ประโยคนี้ กลายเป็น -3 + 5 -3 + 5 (ล่าม) อาจารย์ค่ะ คือ ตอนนี้ไม่เห็นกระดานน่ะค่ะ ทางล่ามไม่เห็นที่อาจารย์เขียน ไม่ทราบว่าเป็นที่เน็ตหรือเปล่าคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เป็นที่สไลด์ค่ะ ไม่ได้เลื่อนให้ ขอบคุณ ๆ (ล่าม) ขอบคุณค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ตอนนี้อยู่กระดานหน้า 12 นะคะ กระดานหน้าที่ 12 มีนักศึกษาตอบมาแล้ว ใครตอบครูมา กัญญาณัฐตอบ 2 ถูกต้อง ถูกต้องนะคะ เห็นไหมคะ ว่าอันนี้ตอนแรกอันนี้คือจำนวนเต็มลบ อันนี้ก็เป็นจำนวนเต็มลบ เราเอามาลบกัน แต่ลบซ้อนลบกลายเป็นบวก พอกลายเป็นบวกปั๊บ ใช้ความรู้เดิมก็คือถ้าตัวหนึ่งเป็นลบ ตัวหนึ่งเป็นบวก เครื่องหมายต่างกันนะคะ มันมาลบกัน คำตอบที่ได้มีเครื่องหมายตามตัวมาก ตอบ 2 ถูกต้อง คราวนี้เอาอีกนะคะ -10, -10 ลบด้วย -3 -10 ลบด้วย -3 เอาสเต็ลบเจอลบกลายเป็นบวกปึ๊บเลย -10 + 3 กลายเป็น -10 + 3 เป็น -7 ถูกต้อง นพกิตไม่เป็น 2 นะ -7 ถูกต้อง สังเกตนะคะ มันมีเครื่องหมายต่างกันตรงนี้ ต่างกัน เอาตัวเลขมาลบกัน 7 8 ตามตัว... เห็นไหมคะ นพกิต -7 ถูกต้องครับ ครับลองอีกตัวอย่างหนึ่งนะ เราจะได้เข้าใจมากขึ้น -125 - 100 -125 ลบด้วย 100 สิ่งแรกเลย ลบเจอลบกลายเป็นบวก โอเค ๆ นักศึกษาถูกต้องมากเลย หลายคนตอบมานะคะ -25 ว้าว เก่งค่ะ นักศึกษาตอบได้ เยี่ยม เยี่ยมมาก โอเคค่ะ ถูกค่ะ จันทกานต์ เป็นลบนะลูกไม่ใช่บวก พิมพ์ผิดหรือเปล่า จันทกานต์มันต้องเป็นลบ พิมพ์ผิดแน่ ๆ เลย เครื่องหมายตามตัวมากนะคะ ตัวนี้มันเป็นลบ ตัวนี้ลบ ต้องเป็นลบ ข้อสุดท้ายสำหรับวันนี้นะคะ -80 ลบด้วย -89 ครูเขียนใหม่นะคะ ลบเจอลบกลายเป็นบวก ดูสิ ๆ มีเครื่องหมายลบกับเครื่องหมายบวก ตัวไหนมาก มาก ก็คือ 89 คำตอบของเราต้องมีเครื่องหมายเป็นอะไรคะ มีเครื่องหมายตามตัวมาก เท่ากับ เครื่องหมายตามตัวมากนะคะ โอเค ๆ ถ้าอย่างนั้นเดี๋ยวก่อนจะจากกันเดี๋ยวเราจะเรียนเรื่องเมทริกซ์ในครั้งต่อไป ครูจะมีเรื่องเล็กน้อยนะคะ เพื่อให้นักศึกษาได้ทบทวน การบ้านการบ้านนะคะ การบ้านมี 7 ข้อนะคะ ข้อที่ 1 ถึงข้อที่ 6 เขียนโจทย์ตอบได้เลย ครูมี Question Mask ได้ไปเลยนะคะ บวกลบคืออะไร ทำ 6 ข้อแล้ว ข้อที่ 7 ทบทวนเรื่องเมทริกซ์นะคะ ให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด 1, 2, 8, 7 นะคะ เมทริกซ์ขนาดเดียวกัน 2 x 2 นะคะ  มีสมาชิกเป็น -1, 0, -2, -4 เมทริกซ์ A + B คือ เมทริกซ์ใดนะคะ ให้นักศึกษาทำ เขียนใส่กระดาษ ถ่ายรูปไว้ เดี๋ยวคืนนี้ครูจะโพสต์ใน Google Classroom ในช่องรับงาน ให้รักศึกษาส่งใน Google Classroom นะคะ กำหนดส่งภายในวันที่... เดี๋ยวครูดูวันที่แป๊บหนึ่ง 22 กันยายน 2564 ก่อนเวลา 16.00 น. +โอเค ส่งน Google Classroom นะคะ สำหรับนักศึกษากลุ่มพิเศษ ถ้าพิมพ์ก็ได้นะคะ นักศึกษาปกติก็เขียน นักศึกษาพิเศษก็พิมพ์ก็ได้ โอเคนะคะ สำหรับนักศึกษาพิเศษอาจจะต้องมีคู่หูช่วยเรียนนิดหนึ่งนะคะ ถ้ามีปัญหาอะไรให้แจ้งครู หรือผ่านครูล่ามก็ได้นะคะ มีข้อเสนอแนะอะไรไหมคะ (เจ้าหน้าที่) อาจารย์คะ ขออนุญาตค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ (เจ้าหน้าที่) จากที่ช่วยนะคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ ๆ เชิญค่ะ ... (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ที่เป็นนักเทคโน(โลยี) ของ DSS ใช่ไหมคะ ใช่ค่ะ ๆ การบ้านตั้งแต่ 1, 2, 3 น่ะค่ะ คือ น้องนี่ คือ บางคน คือ น้องนี่อยู่ไกลน่ะค่ะ ไม่ได้เข้ามา พี่จะช่วยยากนิดหนึ่ง ก็เลยจะขออาจารย์ว่าจะขอเวลาขยายการส่งงานได้ไมหคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อ๋อ ได้ ๆ ค่ะ เป็นวันที่เท่าไรดีค่ะ เหมือนกับเราเหลือเวลาเรียนอีกแค่ 6 สัปดาห์ ช่วย ๆ กันนะคะ ค่ะ (เจ้าหน้าที่) สักสิ้นเดือนนี้ก็ได้ค่ะ แต่เดี๋ยวหนูจะพยายามตามน้องทุกคนให้ส่งงานให้ได้ทุกคนค่ะ ฮัลโหลได้ยินไหมคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ตุลาคมเลยนะคะนี่ เดี๋ยวครูเพิ่มนะคะ จากข้อเสนอแนะจากของ... โอเค (เจ้าหน้าที่) ได้ค่ะ ขอบคุณมากค่ะอาจารย์ คือว่าน้องอยู่ไกลด้วยค่ะ ติดต่อกันด้วยค่ะอาจารย์ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ อาจารย์โอค ๆ ช่วย ๆ กันค่ะ เราก็ไม่รู้ว่าจะทำอย่างไรนะ สถานการณ์แบบนี้ ขอบคุณมากค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ ภายในวันที่ 30 นะคะ คนที่ปกติก็ขอให้เขียน ครูขอให้เขียนสำหรับนักศึกษาปกติ แต่นักศึกษาปกติสามารถพิมพ์ได้ หรืออาจจะให้ใครเขียนก็ได้ แต่ว่าฝึกกระบวนการคิดด้วยตัวเอง ครูเชื่อว่านักศึกษาฝึกการคิดเป็นเรื่องสำคัญนะคะ ถ้ามีความไม่เข้าใจอะไรก็ทัก Inbox มาใน LINE กลุ่ม ครูก็จะไปตอบหรืออธิบายนะคะ (เจ้าหน้าที่) ค่ะอาจารย์ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเค สัปดาห์หน้าเราจะเรียนเมทริกซ์กันต่อ ส่วนสไลด์ที่ถูกต้องครูจะส่งไปใหม่ ดูประกอบสไลด์คืนนี้อีกครั้งหนึ่งดีกว่า ดูที่ผิดให้มันชัดเจน ไม่ทราบว่ามีอะไรถามไหม มิ้นท์ถ้ามครูไหมลูกมิ้น ครูไหม (ล่าม) ไม่มีค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เยี่ยม (ล่าม) นพกิตอยากจะสอบถามครับ ขอนิดหนึ่งครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะนพกิต เชิญค่ะ (ล่าม) ก็อยากจะสอบถามนะครับ ว่าข้อ 7 น่ะครับ ที่เป็นวงเล็บอันใหญ่ให้แสดงวิธีทำใช้ไหมครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อ๋อ โอเค ตอบเลยก็ได้ค่ะ เขียนตอบได้เลย ถ้าอยากจะแสดงวิธีทำก็แสดงเลย วิธีทำก็แสดงค่ะ หรือใครจะคิดแล้วตอบเลยก็ได้ค่ะ ครูขอให้นักศึกษาได้ฝึกคิอกแต่ถ้าใครแสดงวิธีทำมา ครูจะสามารถเห็นร่องรอยของความคิดว่าขั้นตอนไหนเราถูก ขั้นตอนไหนเราผิด แล้วครูจะช่วยเติมในสิ่งที่ผิดได้ถูกจุดนะคะ นักศึกษาบางคนอาจจะไม่อยากแสดงวิธีทำก็ไม่เป็นไร แต่ขอให้เขาคิดได้ ครูเปิดเป็นฟรีรูปแบบให้นักศึกษาเลยนะคะ ใครจะแสดงวิธีทำก็แสดง ใครไม่แสดง อยากจะตอบเลยก็ได้นะคะ แต่ความคิดเห็นถ้านักศึกษาแสดงความคิดเห็นปั๊บ ครูจะมีโอกาสในการแสดงข้อคิดเห็นได้ ถ้านักศึกษาทำผิด ครูจะตอบได้ตรงจุด ครูจะอธิบายได้ตรงจุด อันนี้โอเคนะคะ นักศึกษาก็พยายามทำเลย เคลียร์นะคะ นพกิตขอให้เราได้คิดนะคะ ถ้าไม่มีคำถามแล้ว วันนี้เราคงจะพอแค่นี้นะคะ ทบทวนเรื่องระบบจำนวน การบวกลบจำนวน แล้วก็คุยกันเรื่องเมทริกซ์ ครั้งหน้าก็จะเป็นเมทริกซ์ที่มีคุณสมบัติสูงขึ้น พีชคณิตที่สูงขึ้นนะคะ การโพสต์ไหมนะคะ เราอาจจะลองดูนะคะ ก็ให้พวกเราไปฝึกพื้นฐานคณิตศาสตร์ตรงนี้ให้เป๊ะเลยนะคะ การบวกลบจำนวนก่อน เป็นพื้นฐานแรกนะคะ พวกเราข้อ 1 ถึงข้อ 6 นี่อยากให้ถูกทุกข้อเลยเพราะมันเป็นพื้นฐาน โอเคค่ะ ถ้าไม่มีคำถามแล้ว วันนี้เราคุยกันเท่านี้นะคะ บ๊ายบาย สวัสดีค่ะ ขอบคุณคุณครูล่ามทุกท่านเลยนะคะ (ล่าม) ขอบคุณค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเค บ๊ายบาย