ลำดับ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า "Sequence" หมายถึง ค่าอธิบายตามนิยามคณิตศาสตร์ เขาก็บอกเป็นฟังก์ชันนะคะ ถ้าเป็นฟังก์ชันปั๊บ ก็จะเป็นคู่อันดับ ก็จะเป็นตัวหน้าและตัวหลัง ครูจะอธิบายด้วยธรรมดาที่ง่าย ๆ นะคะ (พี่การ์ตูน) สวัสดีค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อ๋อ สวัสดีค่ะ โอเค คราวนี้ก็จะใช้กับที่เป็นภาษาที่เป็นธรรมดา ๆ ที่ให้เราเข้าใจง่าย ๆ ก็จะไม่ได้ใช้ศัพท์เฉพาะทางคณิตศาสตร์มากนักนะคะ ลำดับ หมาย ถึงตัวเลขที่เขียนเรียงกัน แต่การเขียนเรียง ๆ กัน จะบอกลำดับเขาเป็นตัวเลขตัวที่เท่าไรในชุดนั้นนะคะ คราวนี้เรามาดูสัญลักษณ์นะคะ ถ้ามีลำดับหนึ่งลำดับใด เราจะให้สัญลักษณ์เป็น an แป๊บหนึ่ง โอเค เลเซอร์ ภากรณ์มาแล้วนะคะ สมมติตรงนี้นะคะ สีเขียวมองไม่เห็น ครานี้ครูชี้ที่ an ตรงนี้นะคะ A นี่ หมายถึง ลำดับ a นะคะ เขาเป็นเทิร์มที่ n หรือพจน์ที่ n ลำดับออเดอร์ของเขาน่ะค่ะ หรือที่เท่าไร เราจะให้เป็น n ก็คือนับเป็นตัวที่ 1 a ห้อย 1 เป็นตัวที่ 2 ก็เป็นตัวที่ 2 ก็ a ห้อย 2 นะคะ ตัวที่ 3 ก็เป็น a ห้อย 3 ก็็คือตัวที่ 3 ตัวสุดท้าย ก็คือ a ห้อย n นะคะ อันนี้เราจะเรียก ถ้าเกิดเรารู้ฟังก์ชันตัวนี้ ว่า Function Fn เขียนอยู่ในสมการใดนะคะ สมการนั้นจะเขียนในรูป n ด้วยนะคะ เพื่อให้รู้ว่าเทอมที่ n หาค่าได้อย่างไรนะคะ เราจะเรียกว่า "นิพจน์"  ถ้าเกิดลำดับอะไรก็แล้วแต่ เราไม่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ว่ากี่เทิร์มหรือกี่พจน์ เราจะเรียกเขาว่า "ลำดับอนันต์" คราวนี้อันนี้มาดูตัวอย่างของลำดับนะคะ ตอนนี้มีลำดับหนึ่งเกิดขึ้นนะคะ มีสมาชิกตัวแรก ก็คือ 3 เราก็เขียน a1 a ห้อย 1 เป็น 3 สมาชิกตัวที่ 2 เป็น 5 เราก็เขียน a ห้อย 2 n a3 ก็คือสมาชิกตัวที่ 3 เป็น 7 อันนี้ a ห้อย 4 เป็นสมาชิกตัวที่ 4 เป็น 9 เราจะเห็นว่าลำดับนี้สามารถนับจำนวนได้นะคะ ว่ามีอยู่กี่พจน์ กี่เทิร์ม ตอนนี้เราทราบแล้วว่ามี 4 เทิร์มนะคะ เราก็จะเรียกว่าเป็นจำนวนลำดับนะคะ ที่มีจำนวนสมาชิก n มีค่าเป็น 4 คือ มี 4 ตัว ถ้าเกิดมันมีจำนวนมหาศาล มากกว่า 4 ล่ะ สมการที่อธิบายค่าของข้อมูลในแต่ละลำดับโดยไม่แจกแจงสมาชิก แบบ... เดี๋ยวนะคะ มีเพื่อน ๆ ทยอยเข้าห้องนะคะ ครูก็จะกดรับไปเรื่อย ๆ อย่างเช่นตัวนี้นะคะ เราเขียนว่าเป็นการแจกแจงนะคะ สมาชิกของลำดับ ถ้าเราอยากเห็นแจกแจง n มันมีมากไม่ใช่ 4 เราเขียนพจน์ทั่วไป พจน์ทั่วไป ก็คือการใช้สูตรสมการมาเขียนนะคะ คราวนี้การจะหาพจน์ทั่วไป เราต้องหาควาสัมพันธ์ในแต่ละเทิร์ม ให้อยู่เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ ที่บวกกันแล้วเป็นค่าของลำดับ ก็คือตัวนี้นะคะ 3 นี่ เป็นลำดับที่ 1 มีตัวเลข 1 ที่แสดงถึงตัวลำดับของเขานะคะ อย่างเช่นตัวนี้ ครูก็มองว่า 3 นี้ มันอาจจะเกิดจาก 3 x 1, 2 x 1 ก็เป็น 2 แล้วก็บวก 1 ก็เป็น 3 เห็นไหมคะ อันนี้คือความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นได้ แต่ความสัมพันธ์ที่เกิดนี้ กับ a ห้อยตัวอื่น ๆ ไหม ถ้ามันห้อยระหว่าง a ตัวอื่น ได้ทุก ๆ ทั่ว ก็นั่นแสดงว่านั่นเป็นพจน์ทั่วไปของเขานะคะ คราวนี้เรามาดูนะคะ ว่า 0 ของเขา ก็คือลำดับนั่นเอง ลำดับที่ เรามาดูอีกว่า a2 มันจะใช้ความสัมพันธ์นี้ได้ไหมนะคะ 2 คูณกับอะไรคะ 2 คูณกับ 2 ลำดับที่ 2 + 2 เป็น 4 4 + 1 เป็น 5 7 ล่ะ 7 ก็เกิดจาก 2 x 3 แล้วก็บวกกับ 1 นะคะ อันนี้เป็นลำดับที่ของเขา ก็กลายเป็น 7 เห็นไหมคะ ส่วน 9 ก็เกิดจาก 2 x 4 นะคะ 2 x 4 + 1 2 x 4 เป็น 8 บวก 1 ก็เป็น 9 ก็ใช่ เราจะเห็นว่าในตัวสูตรที่เราคำนวณขึ้นทางด้านนี้นะคะ เรากำลังหาตัวพจน์เขา จะแทนค่าลำดับที่ด้วยตัว n นะคะ ด้วยตัว n ดังนั้น สิ่งที่เกิดขึ้น เราก็แทน 2 คูณ... ลำดับที่ใช่ไหมคะ 2n แล้วบวก 1 ก็จะกลายเป็นพจน์ทั่วไปของเขานะคะ ก็คือได้ตัวนี้ขึ้นมา อันนี้กำลังจะได้ว่าลำดับลำดับนะคะ 3, 5, 7 และ 9 มีพจน์ทั่วไป เขียนอยู่ในรูป an a ห้อย n เท่ากับ 2n + 1 ตรงนี้นะคะ โอเคไหมคะ เวลาเราจะหาพจน์ทั่วไปน่ะ อาจจะใช้เวลานิดหนึ่ง เพื่อดูว่า เอ๊ะ เราจะสร้างเอาตัวเลขอะไรไปคูณกับแล้วมาบวกลบนะคะ เกิดค่าตรงกันเลขในลำดับนั้น อันนั้น คือ ตัวอย่างของลำดับนะคะ ต่อไปส่วนหน้าสไลด์ถัดมานะคะ เป็นตัวอย่างลำดับอีก รูปแบบหนึ่ง ที่บางครั้งมันไม่ใช่แค่การนำตัวเลขมาบวกลบกันนะคะ เพื่อหาความสัมพันธ์เพื่อสร้างพจน์ทั่วไป ยกตัวอย่างตอนนี้นะคะ ตัวอย่างที่ 2 ลำดับตัวแรกมีค่าเป็น 2 ตัวนี้เป็น 2 มาแล้ว ตัวแรกเป็น 2 นะคะ จากนั้นลำดับตัวที่ 2 เพิ่มขึ้นเป็น 5 ตัวที่ 3 เป็น 10 ตัวที่ 4 เป็น 17 เลข 4 ลำดับนี้ มันจะมีรูปร่างการเกิดคล้าย ๆ กันได้อย่างไรนะคะ คราวนี้เรามาดู a1 a1 ก็คือ 2 ใช่ไหมคะ เอ๊ะ 2 เกิดขึ้นอย่างไร เลขลำดับของเขาสังเกตนะคะ อันนี้ได้จากการลองผิดลองถูกหลาย ๆ ครั้งเลย เราก็เลยเอา 1 ไปยกกำลัง 2 เห็นแล้วนะคะ 1 ยกกำลัง 2 ก็เป็น 1 แล้วไปบวกกับ 1 ตรงนี้นะคะ 1 ยกกำลัง 2 ก็เป็น 1 1 + 1 ก็ได้เป็น 2 นะคะ ตัวนี้ ถ้าความสัมพันธ์นี้เป็นจริง จะต้องจริงกับทุก ๆ ลำดับ ไปคิดลำดับถัดมา คือ ลำดับที่ 2 เห็นไหมคะ ลำดับที่ 2 a ห้อย 2 นะคะ คือ ลำดับที่ 2 ถ้าอย่างนั้น เลขลำดับ เลขลำดับอยู่ไหน ครูจะวงกลมเลขลำดับไว้นะคะ อันนี้คือเลขลำดับ ตัวนี้ คือ เลขลำดับ 2 ที่ครูวงกลมไว้นี่ เป็น a นะคะ เอาไปยกกำลัง 2 2 ยกกำลัง 2 เป็น 4 + 1 ก็เป็น 5 ก็เป็นจริง ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงนะคะ ตัวถัดไป ลำดับที่ 3 ลำดับที่ 3 ก็ต้องเอา 3 ไปคำนวณ เอา 3 ไปปู้ยี่ปู้ยำ ด้วยการกระทำเหมือนตัวที่ผ่านมานะคะ เอา 3 ไปยกกำลัง 2 ตัวนี้ คือ เลขลำดับตรงนี้ 3 x 3 เป็น 9 บวก 1 เป็น 10 ก็จริง เห็นไหมคะ 9 + 1 ก็เป็น 10 ตัวที่ 4 ลำดับที่ 4 a ห้อย 4 เราก็เอา 4 ไปยกกำลัง 2 4 ไปยกกำลัง 2 4 x 4 เป็น 16 ก็เป็น 16 + 1 ก็กลายเป็น 17 นะคะ เราจะเห็นว่า ความสัมพันธ์ความสำคัญของโครงสร้างชุดแบบนี้นะคะ เอาตัวลำดับนะคะ ตัวห้อยนี่ ก็คือที่ครูวงกลมเอาไว้ ก็คือเป็น เอาไปยกกำลัง 2 บวกกับ 1 จะเป็นค่าของตัวเลขในลำดับนั้นนะคะ ถ้าเราทราบอย่างนี้แล้ว เราก็สร้างพจน์... ในกรณีที่ 2 ก็คือ an a ห้อย n นะคะ ยกกำลัง 2 + 1 อันนี้เป็นการหารูปทั่วไปนะคะ การหารูปทั่วไปมีประโยชน์ ก็คือเราไม่ต้องเขียนแจกแจงสมาชิก ถ้าลำดับนี้มีการเพิ่มสมาชิก แล้วนักเรียนอยากจะหา 20 ล่ะ เท่าไร ลองหา a1, a2, a3 -20 คูณค่า 20 ยกกำลัง 2 แล้วบวก 1 เห็นไหมคะ คราวนี้ 20 ยกกำลัง 2 คือ 20 คูณ 10 20 x 20 ก็เป็น 400 แล้วก็บวก 1 เราก็จะได้ว่า a ตัวที่ 20 มีค่าเป็น 401 นะคะ อันนี้คือประโยชน์ของการเขียนลำดับในรูปทั่วไป ก็คือทำให้เราหาตัวเลขที่อยู่ในแต่ละลำดับได้ ตัวแทนค่า n นะคะ (พี่การ์ตูน) ขอโทษนะคะอาจารย์คะ คือ ตอนนี้เสียงสะดุดค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อ๋อ เน็ตค่ะ (พี่การ์ตูน) เน็ตใช่ไหมคะ ขอบคุณค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เดี๋ยวจะพูดช้า ๆ นะคะ ถ้าอย่างไร คุณครูล่ามช่วยยกมือแทนนักศึกษาได้นะคะ (พี่การ์ตูน) ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ โอเค คราวนี้เราจะไปสไลด์ถัดไปนะคะ เป็นลำดับที่ 3 นะคะ ลำดับที่ 3 นี่ จะมี... อ๋อ เดี๋ยวนะ เลื่อนหน้าไปแล้วนะคะ แต่ตอนนี้สไลด์ Jamboard Google Meet ยังไม่ไปเลย (พี่การ์ตูน) หน้าจะทางเน็ตค่ะอาจารย์ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) รอสไลด์ ถ้านักศึกษา ถ้านักศึกษาเปิดไฟล์ PDF ที่ครูส่งให้นะคะ เปิดไฟล์ลำดับและอนุกรมแล้ว เราสามารถเปิดในคอมพิวเตอร์ และ iPad ในสมาร์ตโฟนค่ะ มันก็จะทำให้ดูได้เร็วกว่าครูนะคะ ตอนนี้มาแล้ว โอเค ตัวอย่างที่ 3 นี้ เป็นกรณีลำดับที่มีสมาชิกไม่จำกัดนะคะ เรารู้ได้อย่างไร ไม่จำกัดตัวที่ 1 มีค่าเป็น 3 เห็นไหมคะ ต่อไป ตัวที่ 3 เป็น 5 เราก็เขียน a ห้อย 2 เป็น 5 ตัวที่ 3 ก็เป็น a ห้อย 3 เป็น 7 a ตัวที่ 4 เป็น 9 นะคะ จากนั้นสังเกตนะคะ ตรงนี้คอมมา (,) แล้วก็ความจริงในสไลด์นี้ผิดนะคะ ตามหลักเขาจะใช้แค่ 3 จุด 1, 2, 3 นะคะ อันนี้บันทึกนิดหนึ่งนะคะ ว่าถ้าเป็นสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ที่ถูกต้องต้องใช้จุดแค่ 3 จุด ห้ามเกิน ห้ามขาด ใช่แค่ 3 จุดนะคะ มันจะ... มีความหมายว่า "ไปเช่นนี้เรื่อย ๆ" นะคะ โอเค เวลาเราอ่านเราก็อ่าน "ด็อต" สังเกตตรงนี้ถ้ามี... แบบนี้ แสดงว่าเกิดขึ้นไปเรื่อย ๆ จะต้องมี a 9 ตัว ที่ 5 ตัวที่ 5 มี a ตัวที่ 6 มี a ตัว ตัวสุดท้ายจะเป็นตัวที่เท่าไรนะคะ เราจะเรียกลำดับในลักษณะที่มีสมาชิกไม่จำกัดว่า "ลำดับอนันต์" เป็นลำดับอนันต์ เกิดขึ้นแล้ว ตัวอย่างนี้จะต่างกับตัวอย่างที่ 1 กับ 2 จำกัดนะคะ แต่อันนี้เป็นลำดับอนันต์ คราวนี้เรามาหาความสัมพันธ์เขานะคะ ว่าความสัมพันธ์การเกิดค่า พอดีว่าตัวนี้เป็นเลขข้อที่ 1 นะคะ ซึ่งทุกคนก็ทราบกันอยู่แล้วว่า ก็คือ an = 2n + 1 นะคะ ก็จะเป็นรูปลำดับพจน์ที่ n ตรงนี้ ใช้สัญลักษณ์ถูกต้องนะคะ อันนี้ก็จุด 3 จุดนะคะ ถูกต้อง เป็นลำดับนี้นะคะ ถ้าครูถามหา a ตัวที่ 10 ล่ะ มีค่าเป็นเท่าไร เราก็ใช้สมการ a ตัวที่ 10 ก็จะมีค่าเป็น 2 คูณกับ n มีค่าเป็น 10 ตรงไหนมี n เป็นเลขลำดับเขานะคะ ก็เป็น 2 2 คูณกับ 10 แล้วบวกด้วย 1 ตรงนี้นะคะ 2 x 10 ก็เป็น 20 บวก 1 ก็จะเป็น 21 แล้วตอนนี้ก็มาหาค่าของลำดับตัวที่ 10 ได้นะคะ ว่ามันจะมีค่าเป็น 21 นะคะ คราวนี้มีคำถามเกี่ยวกับ... ไหมคะ ตอนนี้ทุกคนก็จะเข้าใจแล้วนะคะ ลำดับ... การเอาตัวเลขเป็นชุดมันจะอ้างตัวหนึ่งในชุดนั้น ชุดใช้ลำดับที่... เขาเป็นข้อมูลตัวที่เท่าไรในลำดับนั้นนะคะ นี่คือลำดับจะมีชนิดแรก ก็คือจำนวนสมาชิกว่ามีกี่ตัวมีลำดับ เราเรียกว่า "ลำดับ" ค่ะ คราวนี้ ลำดับอันที่ 2 คือ ลำดับที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ว่ามีทั้งหมดกี่ตัว จะเรียกว่า "ลำดับอนันต์" โอเค คราวนี้เราจะดู ว่าเรื่องความเพิ่มค่าหรือลดค่าของเขานะคะ มันสามารถจัดแจงเขาได้นะคะ ว่าในรูปแบบใดบ้างนะคะ เอ๊ะ มันอยูลำดับนะคะ ที่จะแนะนำ ก็คือ ลำดับเลขคณิต ลำดับเลขคณิต โอเค ครูก็จะรอ มาแล้ว ลำดับเลขคณิตนะคะ เป็นลำดับที่พิเศษ พิเศษที่ว่า ข้อมูลหรือจำนวนในแต่ละลำดับนี่ มันจะมีการเพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยค่าคงที่ค่าหนึ่งนะคะ เราเรียก "ค่าคงที่" ค่าหนึ่ง ผลต่างร่วมนะคะ ผลต่างร่วมแทนด้วยตัว d นะคะ ตรงนี้ โดยที่... อย่างเช่นนะคะ มันจะมีผลต่างคงที่ ผลต่างคงที่นี้คำนวณอย่างไร a ห้อย n + 1 - an หมายความว่า เราเอาตัวลำดับที่ติดกันมาลบกัน อย่างเช่น ครูเขียนลำดับหนึ่งขึ้นมานะคะ เป็น 2, 4, 6, 8, 10 ลำดับนี้เป็นลำดับจำกัดนะคะ มีสมาชิกทั้งหมดแค่ 5 ตัว หรือ 5 ลำดับ ถ้าครูอยากจะหาตัว d d เป็นผลต่างร่วมนะคะ ผลต่างร่วมเกิดจาก เอา a ห้อย + n + 1 ตัวนี้ถ้าครูให้ n เป็น 1b นะคะ ก็เท่ากับ a1 นะคะ ตอนนี้ครูให้ n เป็น 1 ตรงนี้นะคะ ครูก็แทนไป ก็จะเป็น n เป็น 1 เห็นไหมคะ แสดงว่า เอาตัวลำดับติดกันน่ะ ลบกันนะคะ แต่เอาตัวที่มาก่อนมาก่อนน่ะ หยุดอยู่ข้างหลัง ตัวมาก่อนอยู่ข้างหน้า สังเกตนะคะ d ก็จะมีค่าเป็น 4-2 มีค่าเป็น 2 ถ้าอย่างนั้น เขาบอกว่าค่าคงที่ คงที่เสมอนะ มันจะเท่ากันตลอดเลย เอาใหม่ ดูสิ เราเอา a3 - a2 a3 ก็คืออะไรคะ ก็คือ 6 ... ก็คือ 4 6 แล้วก็เป็น... ตัวติดกัน ก็คือ 4 ... a3 a4 มีค่าเป็น... - a3 a3 ก็คือ 6 หรือ b ตัวสุดท้าย ก็คือเอา a5 - a4 ก็เป็น 10 - 8 เท่ากับ 2 เห็นไหมคะ ว่าค่าคงที่ตรงนี้มันจะเท่ากันตลอดเลย b ตัวนี้ เราจะเรียกมันว่า "ผลต่างร่วม" d ตัวนี้เป็นผลต่างร่วม ถ้าลำดับใดก็แล้วแต่มีคุณสมบัติที่มีผลต่างคงที่เสมอ เราจะเรียกลำดับเลขคณิตนะคะ แล้วทีนี้คุณสมบัติที่เกิดขึ้น เราสามารถขยับปรับสมการนะคะ ถ้าครูให้ตรงนี้เป็นสมการที่ 1 สมการที่ 2 เกิดจากการย้ายข้างตัวเทิร์มนี้ใช่ไหมคะ a ห้อย n + 1 ก็จะอย่างนี้ เดี๋ยวนะคะ เดี๋ยวนะคะ แป๊บหนึ่งค่ะ ย้าย a ได้นะคะ เดี๋ยวครูขอเขียนใหม่นะ ดูตัวนี้นะคะ เทิร์มนี้ -an ครูย้ายข้างเขานะคะ ย้ายมาอยู่ฝั่งนี้ ก็จะเป็น an + b เห็นไหมคะ ก็จะเป็น an + ba ห้อย n + 1 ก็แสดงว่าเราสามารถหาอธิบาย ว่าถ้าเราจะหาลำดับตัวที่ 5 เราก็เอาลำดับที่ 4 ไปบวกกับ d หรือจะหาลำดับตัวเรา ก็เอาลำดับตัวที่ 8 ไปบวกกับ d สามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปได้จากการพิสูจน์นะคะ ครูก็ขออนุญาตข้ามการพิสูจน์ไปนะคะ ขอให้เราเอาไปใช้งานเลยก็แล้วกันนะคะ รูปทั่วไปของเลขคณิตนะคะ an นะคะ ก็คือข้อมูลพจน์ที่ n ขอโทษทีนพกิต ขอโทษทีนะนพกิต รอเข้าห้องนาน ครูเพิ่งเห็น ตอนนี้ถึงพจน์ที่ an ของลำดับเลขคณิตนะคะ = a + 1 นะคะ n + 1 นะคะ พจน์ที่ 1 + n-1 เป็น d ยกตัวอย่างเช่น สมมติครูจะหาพจน์ที่ 5 นะคะ n เป็น 5 a5 ก็จะมีค่าเป็น ของลำดับเลขคณิต + n - 1 ก็คือ 4d ความหมายเขา ก็คืออย่างนี้นะคะ อันนี้คือ a1 อันนี้คือ a2 อันนี้คือ a3 อันนี้คือ a5 อันนี้คือ a5 ถ้าเราตัด a5 นี่ แสดงว่าจากจุดเริ่มต้น a1 นี่ มันมีการเพิ่มค่า d อันนี้ก็เพิ่ม d มา 1 ครั้งใช่ไหมคะ อันนี้ก็ A 3 จาก a3 3 ก็เพิ่ม d ไปอีก 1 ครั้ง ก็เป็น a4 จาก a4 นะคะ เพิ่มอีกครั้งหนึ่ง ก็เป็น a5 ได้แล้ว อันนี้คือสิ่งที่ต้องการนะคะ ฉะนั้น ก็จะเป็น a5 ก็จะเป็น a1 บวกกับ มีตัว d อยู่ ก็เพิ่มค่ามากี่ครั้งคะ 4 ครั้ง ก็เป็น 4d โอเค นี่นะคะ คือที่มาของสูตร คือ จากตัวตั้งต้นตรงนั้น จาก 1 กระโดดเพิ่มค่าตัว d นะคะ โอเค คราวนี้ลำดับอันที่ 2 นะคะ ที่เรียกพิเศษคงที่ เมื่อกี้ คือ ผลต่างคงที่ ผลต่างที่คงที่ ผลห่างที่คงที่นั้นนะคะ อัตราส่วนร่วม ก็คือเราเอาลำดับที่ติดกันมาหารกัน อย่างเช่น a1, a2, a3 ไปเรื่อย ๆ นะคะ คือ an + 1 โอเคนะคะ เป็นลำดับเลขาคณิตแล้ว มีคุณสมบัติ ก็คือ a2 ตั้ง ตัวนี้ตัวนี้นะคะ a2 ตั้งหารด้วย a1 ก็จะเท่ากับ a3 หารด้วย a2 ก็จะเท่ากับ a4 หารด้วย a3 เห็นไหมคะ เอาตัวติดกันหารกัน มันจะมีอัตราส่วนคงที่จนถึงตัวคู่สุดท้าย คือ ตัวนี้ ก็คือเอา a ห้อย n + 1 ก็จะหารด้วย an ก็จะมีอัตราส่วนคงที่ค่าหนึ่งค่าใดเท่ากันนะคะ เราจะเรียกตัวอัตราส่วนคงที่ตัวนี้เป็น r ตรงนี้ r ตัวนี้อาจจะเป็นบวกหรือลบก็ได้นะคะ เดี๋ยวจะเป็นอัตราส่วนตัวที่คงที่ ลองดูตัวอย่างนี้นะคะ เดี๋ยวเอาง่าย ๆ ก่อนดีกว่า โอเค สมมติว่ามีลำดับหนึ่งเกิดขึ้นนะคะ ตอนนี้ n เป็น 5 สมาชิกตัวที่ 1 ก็คือ 10 นะคะ เราเขียนว่าเป็น a ห้อย 1 สมาชิกตัวที่ 2 ก็คือ 100 ก็คือ a ห้อย 2 ตัวที่ 3 ก็คือ 1,000 a ห้อย 3 ตัวที่ 4 มีค่าเป็น 10,000 a Subscript 4 ก็คือ 100,000 ก็คือ a ห้อย 5 นะคะ เราจะมาดูว่าลำดับที่กำหนดให้นี้เป็นลำดับเลขาคณิตไหม เราต้องพิจารณาอัตราอัตราส่วนนะคะ ลองเอา a2 ไปหาร a1 ดูสิ ก็เท่ากับอะไรคะ 100 หารด้วย 10 ก็มีค่าเป็นเท่าไรคะ เดี๋ยวลองตอบดูนะคะ ลอง...นะคะ ขอตัวแทนนักศึกษาตอบครูหน่อยค่ะ ว่า a2 หารด้วย a1 มีค่าเท่าไรเอ่ย  (พี่อี๊ด) ไม่มีใครตอบเลยค่ะอา(อาจารย์ชนัญกาญจน์) เดี๋ยวลองสุ่มถามดูก็ได้ค่ะ (พี่อี๊ด) ฝนตกใช่ไหมคะ เพราะว่าเหมือนอย่างทางอาจารย์น่ะค่ะ มันจะดีเลย์บางทีอาจารย์พูดสอนไปแล้ว แต่ว่าภาพยังไม่ขึ้นเป็นบางช่วงน่ะค่ะ บางช่วง (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ค่ะ ใช่ค่ะ เดี๋ยวเรียกภากรณ์ อาจจะเรียกภากรณ์ ภากรณ์ครับ (พี่อี๊ด) ภากรณ์อยู่บ้านนะคะ เห็นนพกิตบอก ถามนพกิตไหมคะอาจารย์ น้องเปิดกล้องอยู่ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ได้ค่ะ ถามนพกิตเลย 100 หาร 10 เป็นเท่าไหร่คะ 100 หาร 10 เท่ากับเท่าไร เป็น 100 ส่วน 10 เท่าไร หาร 10 เป็นเลขเศษส่วนต้องหาร 100 ส่วน 10 ขอตัวแทนนักศึกษาตอบครูหน่อยค่ะ ว่า a2 หารด้วย a1 มีค่าเท่าไรเอ่ย  (พี่อี๊ด) ไม่มีใครตอบพี่อี๊ด) นพกิตตอบว่า 10 ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ขอบคุณค่ะนพกิต เดี๋ยวนพกิตช่วยครูหน่อยนะ เดี๋ยวครูจะถามอีกอยู่นะ อันนี้ก็คือเราเอา a2 ไปหาร a1 แล้วถ้าเกิดมันเป็นลำดับเลขาคณิตจริงนะคะ อัตราส่วนร่วมก็เป็นจริงการหารนะคะ อย่างเช่น ตอนนี้ครูเอา a3 ไปหาร a2 ก็คือ a3 ก็คือ 1,000 ไปหาร a2 ก็คือ 100 อันนี้ก็จะมีค่าเป็น 10 10 เห็นไหมคะ มันเท่ากัน หรือครูเอา a4 ไปหารด้วย a3 a4 ก็คือ 10,000 หารด้วย 1,000 มีค่าเป็น 10 จริง หรือสุดท้าย ครูเอา a5 หารด้วย a4 a5 ก็คือ 100,000 หารด้วย a4 ก็คือ มีค่าเป็น 10 นะคะ จะเห็นว่าทุก ๆ คู่ที่ติดกันมาหารกัน มันจะมีคำตอบเท่ากันเลย เห็นไหมคะ คือ 10 10 ด้วยคุณสมบัติผลหารที่เท่ากันตรงนี้นะคะ เราจะเรียก 10 ว่า "อัตราส่วนร่วม" นะคะ อัตราส่วนรวม เราก็แทนเขาด้วยตัว r นะคะ เราก็จะรู้ว่า ลำดับนี้ r มีค่าเป็น 10 ลำดับที่ครูยกตัวอย่างสีแดงนี้เป็นลำดับเรขาคณิตนะคะ ตอนนี้ก็จะทบทวนนะคะว่า ลำดับแบ่งออกเป็น 2 ชนิดเริ่มต้น นับสมาชิกได้เป็นลำดับจำกัด ถ้านับสมาชิกไม่ได้ว่ามีกี่เทิร์ม เรียกว่า "อันดับอนันต์" ถ้าเราไปดูรูปแบบความสัมพันธ์ของตัวเลขที่อยู่ลำดับนั้น ถ้าลำดับนั้นมันมีการเพิ่มขึ้น ลดลงด้วยค่าคงที่ค่าหนึ่งค่าใด เราจะเรียกเขาว่า "เป็นลำดับเลขคณิต" ก็คือตัวนี้ ลำดับเลขคณิตจะมีคุณสมบัติ ก็คือจะเพิ่มหรือลด ด้วยค่าคงที่ ค่าหนึ่ง เราเพิ่มหรือลด คือ "ผลต่าง" มีผลต่างร่วมนะคะ ก็คือผลต่างเลขคณิต คราวนี้ลำดับตัวที่ 2 ลำดับตัวที่ 2 นะคะ ตรงนี้ ลำดับตัวที่ 2 ก็คือเรขาคณิต ลำดับเรขาคณิต เป็นลำดับที่มีผลหารคงที่นะคะ ผลหารคงที่ตรงนั้นเราเรียก "อัตราส่วนร่วม" เอาตัวที่ติดกัน มาหารกัน เราเรียกคำตอบนั้นว่า "อัตราส่วนร่าวม" นะคะ โอเค ตอนนี้ก็ทบทวนแล้วนะคะ ว่าลำดับมี 2 ชนิด ถ้านับจำนวนสมาชิกได้เรียก "ลำดับจำกัด" ถ้านับตัวจำนวนสมาชิกอนันต์ ถ้าลำดับใดมีค่าที่เพิ่มหรือลดค่าหนึ่งค่าใดเราเรียกว่า "อันดับเลขคณิต" แต่ถ้ามีอัตราส่วนคงที่ เอามาหารกันแล้วมีอัตราส่วนคงที่ เราเรียกว่า "ลำดับเรขาคณิต" คราวนี้เราไปดูสิ่งที่เราจะเอาคุณสมบัติของลำดับเลขคณิตกับอันดับเลขคณิตนะคะ ตอนนี้ก็ไปอันที่ 2 เลยนะคะ ที่ส่งให้ ตอนนี้ครูจะอธิบายเกี่ยวกับการหาผลรวมของลำดับที่เรียกว่า "อนุกรม" โอเค ผลรวมนะคะ การเอาตัวเลขเอาตัวเลขลำดับมาบวกกัน ก็คือเรียกว่า "ซีรีส์" นะคะ อ๋อ ภากรณ์โหลด รอแป๊บหนึ่ง เมื่อกี้ภากรณ์ครูเรียกเธออยู่นะ แสดงว่าภากรณ์หลุดนะคะ ภากรณ์เข้ามาแล้ว ภากรณ์ได้ยินเสียงครูไหมคะ (พี่การ์ตูน) ภากรณ์เป็นคนหูหนวกค่ะ เดี๋ยวถามให้นะคะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อ๋อ ค่ะ ในระหว่างที่เราจะคุยกัน ก็จะถามเรื่องของอนุกรมนะคะ เดี๋ยวรอถามคุณครูล่ามสอบถามภากรณ์นะคะ ว่าพร้อมหรือยัง เดี๋ยวจะได้เรียนพร้อมกัน (พี่การ์ตูน) ตอนนี้น้องยังไม่ได้ตอบอะไรกลับมานะคะ ไม่เปิดจอนะคะ แต่อาจารย์สามารถสอนต่อได้เลยค่ะ เดี๋ยวกลัวเด็กคนอื่นจะรอ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเค ได้ค่ะ วันนี้คงจะไม่เนื้อหาที่ซับซ้อน แล้วก็เนื้อหานี้เป็นเรื่องนี้สุดท้ายที่เราคุยกันเป็นคอร์สสุดท้ายแล้วกันนะคะ เรื่องที่ 2 ก็คือพอเรารู้จักลำดับแล้วนะคะ เราจะเอาลำดับนี่ ไปหาผลรวมในตัวเลขลำดับนั้นของตัวเลขนั้นว่า "อนุกรม" นะคะ เกิดขึ้นตอนนี้ผลรวมนะคะ ก็คือ Summation นะคะ ก็คือ summation การหาผลบวก มาจากคำว่า "Sum" นะคะ ลำดับตัวนี้นะคะ เป็นลำดับจำกัด มี a1 จนถึงตัวสุดท้ายก็คือ an ตัวเลขทุก ๆ ลำดับมารวมกัน เราก็เขียนเป็น a1 + a2 + a3 + a4 + a5 บวกไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวสุดท้ายปั๊บ อนุกรมทันที ก็คือเป็นผลรวมนะคะ อนุกรมจำกัดนะคะ อนุกรมจำกัดบอกเราว่าใช้ตัวเลขที่มีจำนวนสมาชิกจำกัดมารวมกันนะคะ ใช้ลำดับจำกัดนั่นล่ะ โอเค คราวนี้เราไปดูนะคะ สูตรที่ใช้ในการหา เดี๋ยวครูอธิบายนิดหนึ่งนะคะ ก็เป็นที่มาของการพิสูจน์สูตรนั่นล่ะ นะคะ a1 ยังไม่ได้ไปบวกกับใคร a1 ย่อมมีค่าเป็น s1 s ตัวนี้ ก็คืออนุกรมนะคะ อนุกรมที่ใช้ข้อมูลแค่เทอมเดียวมารวมกันนะคะ ส่วน s2 s2 นี้ ก็คือผลรวม 2 เทิร์มแรก เราคิดอย่างนี้ก็ได้นะคะ ผลรวม 2 เทิร์มแรก ก็คือ s2 ก็คือเอา a1 กับ a2 มาบวกกัน มาบวกกันนะคะ คราวนี้ถ้าเกิดขึ้น a1 + a2, a3 ปั๊บ ก็เป็น s3 ดังนั้น s3 ก็หมายความว่าผลรวม 3 เทิร์มแรกนะคะ ก็จะใช้สัญลักษณ์นี้ s ห้อย n นะคะ ตรงนี้ s ห้อย n ก็คือเอาตั้งแต่ตัวที่ 1a 1 มาถึง n เลยนะคะ ก็ใช้สัญลักษณ์เป็น sn ความหมายของอนุกรมนะคะ ที่ใช้ตัวเลขจำนวนพจน์ต่างกันมารวมกัน จะใช้กี่ตัว ให้ดูตัวห้อย s เป็นสำคัญ คราวนี้มาดูว่าสูตรที่ใช้ในการหา เป็นการพิสูจน์สูตรค่ะ อันนี้ครูขออนุญาตข้ามนะ ดูตรงนี้เลย ดูตรงนี้นะคะ สำหรับการหาผลบวก n พจน์แรก ครูขออนุญาตข้ามการพิสูจน์สูตรนะคะ เอาสูตรไปใช้งานเลย ผลบวกตรงนี้นะคะ ครูแรงเงาอยู่ ผลบวก n พจน์แรกของเลขคณิต จะมีค่าเท่ากับ เดี๋ยวจดสูตรข้างล่างเลย ตรงนี้ ๆ ๆ หน้านี้ ๆ ๆ นะคะ สูตรที่ 1 ก็คือสูตรนี้นะคะ สูตรที่ 1 สูตรนี้นะคะ sn นะคะ sn ก็คือผลบวก n เทิร์มแรก ของลำดับลำดับเลขคณิตนะคะ จะมีค่าเท่ากับ n ส่วน 2 นะคะ เราเอาจำนวนตรงนี้นะคะ จำนวนพจน์ว่ามันมีกี่เทอม แล้วคูณด้วย 2 เท่าของ a1  (a1 + n) -1b นะคะ ตรงนี้ อันนี้คือสูตรที่ใช้หา sn โอเค จากสูตรที่ 1 เราสามารถพิสูจน์สูตร โดยปรับเทิร์มให้เป็นสูตรที่ 2 ได้ โดยการแทน... ตรงนี้นะคะ a1 นี่ เขามีอยู่ 2 x a1 นะคะ ก็เลยมีค่าเท่ากับ a1 + a1 จริงไหมคะ a1 + a1 = 2 นั่นเอง เห็นไหมคะ เราแยกเทอมเขาออก (2 x a1) + a1 แล้วจากนั้นเราก็จับพจน์นี้ได้นะคะ ตรงนี้ ที่ครูหาที่ครูแรเงาตรงนี้นะคะ (a1 + n) - 1d ตรงนี้ ก็คือ... นะคะ ก็กลายเป็น a ... ตรงนี้นะคะ อันนี้จะเป็นสูตรที่ 2 สรุปได้ ถ้ามีลำดับ a1, a2, a3, a4 นะคะ ของอนุกรมเป็นลำดับเลขเลขคณิตนะ ถ้าเราบวกกันปั๊บ ก็คืออนุกรม ก็จะเป็นอนุกรมของเลขคณิตเลขคณิตหรือเรียกสั้น ๆ ว่า "อนุกรมเลขคณิต" การหาผลบวก a เทิร์มแรกนะคะ 2 สูตร สูตรที่ 1 ก็คือ sn ก็คือ n ส่วน 2 นะคะ + n-1 d เราทราบค่า n, a1 แล้วก็ d นะคะ เราใช้สูตรที่ 1 แต่ถ้าเกิดเราไม่ทราบค่า d หรือว่าถ้าจะทำให้ค่า d ก็จะเพิ่มขึ้นตอนเพิ่มมากขึ้น แต่ในขณะที่... ตรงกันข้ามถ้าเราทราบ a1 ก็คือ an ใช้สูตรที่ 2 ได้ คือ สูตรนี้ an ส่วน 2 + a1 มี 2 สูตร ตอนนี้ คือ ตัวอย่างหน้าถัดไปนะคะ สมมติตอนนี้เราอาจจะเอาอะไรมาปิดวิธีทำก็ได้ค่ะ สมมตินะคะ ตอนนี้หาผลบวกพจน์แรกนะคะ 20 พจน์แรกของอนุกรม 4, 6, 8, 10 ไปเรื่อย ๆ ถ้าแสดง เรารู้ว่า แล้วแสดงว่าลำดับตัวนี้ค่ะ เป็นอันดับอนันต์ เพราะมันมีค่าไปเรื่อย ๆ แต่เขาไม่ได้หาผลบวกที่อนันต์นะคะ ก็คือ n เป็น 20 ตอนนี้จากลำดับที่เขาเอามาบวกกันนี่ เราก็จะทราบค่าว่า a1 ก็คือ a1 ก็คือ 4 a2 ก็คือ 6 a3 ก็คือ 8 a4 ก็คือ 10 มันจะเป็นเลขคณิตแน่ ๆ นะคะ เราก็ (a2 - a1) - 4 เป็น 2 a3 - a2 ก็คือ 8 - 2 เป็น 2 a4 - a3 ก็เท่ากับ... 10 - 8 ก็เป็น 2 แสดงว่าลำดับนี้นะคะ เป็นลำดับของเป็นลำดับของ... มีส่วนร่วมเป็น 2 รู้แล้วนะคะ ตรงนี้เรารู้แล้ว อันนี้ก็ได้ ทดนะคะ ทดไปเลย ตอนนี้เราทราบมีค่าเป็น d เป็น 2d เป็น 2 เป็นลำดับเลขคณิต d เป็น 2 เราก็สามารถใช้สูตรที่ 1 ก็ได้นะคะ สมควรจะใช้สูตรที่ 1 ทราบค่า a1 a1 ก็เป็น 4 20 ทราบ b ก็ทราบว่าเราทราบ 3 ค่าแล้วนะคะ ถ้าเป็นอย่างนี้แล้ว เราก็แทนค่าลงมาในตัวสูตรข้างล่างตัวนี้นะคะ แทนลงมา ผลรวม 20 เทิร์มแรก ก็คือ s20 เห็นไหมคะ ก็มีค่าเท่ากับ 20 ส่วน 2 คูณด้วย 2 คูณ a1 ก็คือ 4 แทนตัวไป 4 20 ก็คือ n n - 1 นะคะ ก็เป็น 20 - 1 คูณ d ก็มีค่าเป็น 2 ก็จะคิดต่อ 2 20 หารด้วย 2 ก็เป็น 10 คูณด้วย 8 นะคะ ส่วนเทอมนี้ก็เป็น 19 x 2 ก็คือ 18 ใส่ 2 ทด 1 2 คูณ 2 ด้วย 1 เป็น 38 นะคะ ก็คือ 8 + 38 คราวนี้ก็บวกต่อนะคะ 38 + 8 8 + 8 เป็น 16 ใส่ 6 ทด 1 ก็เป็น 46 นะคะ ในวงเล็บนี้ ก็จะคูณด้วย 46 ก็ได้คำตอบเท่ากับตัวนี้ 460 โอเคนะคะ นี่คือผลบวก 20 พจน์แรก โอเคนะคะ โจทย์เดิมนี่ล่ะ เดี๋ยวครูจะถามใหม่นะคะ แสดงใหม่นะคะ ครูจะให้หาผลบวก 30 เทิร์มแรก ก็คือหา s 30 มีค่าเท่าไร จุดเดิมนะคะ ก็แทนค่าด้วยตัวสูตรเลย s30 ย่อมเท่ากับ 30 ส่วน 2 คูณด้วย 2 คูณ A1 บวกด้วย 30 -1 แล้วก็คูณกับ b ก็คือ 2 ได้แล้วนะคะ 30 หารด้วย 2 ก็คือ 15 2 x 4 ก็เป็น 8 บวก 30 - 1 ก็คือ 29 คูณ 2 แอบคิดนะคะ ใส่ 8 ทด 1 58 + 8 ก็จะเป็นเท่าไหร่คะ คูณด้วย 8 x 8 ดังนั้น s30 ก็มีค่าเป็น 66 x 15 5 x 6 = 30 5 x 6 ก็เป็น 30 บวกทด 3 ก็เป็น 33 1 คูณ 6 เป็น 6 บวกลงมาก็เป็น 990 ก็เป็น 990 นะคะ เท่ากับ 990 ได้แล้วนะคะ อันนี้คือผลบวก 20 เทิร์ม 30 เทิร์มแรกนะคะ โอเค คราวนี้ไปตัวอย่างถัดไปนะคะ คราวนี้เราไปลองดูจุดที่ 2 นะคะ มีลำดับเกิดขึ้น ลำดับหนึ่งนะคะ a1 มีค่าเป็น 5 อันนี้ก็คือ a1 มีค่าเป็น 5 ถัดมา a2 เป็น 10 ถัดมา a3 เป็น 15 a4 เป็น 20 เอามาบวกไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวสุดท้าย ก็คือ an ตรงนี้ต้องคำนวณนะคะ ถึงจะรู้ว่า n มีค่าเป็นเท่าไร อยากจะหาก็หาได้นะคะ ลองดูนะคะ เราอยากรู้เขาเป็นลำดับอะไร เราแอบเอามาลบกัน เอาลบกัน 10 - 5 ก็เหลือ 5 ใช่ไหมคะ 15 - 10 ก็เหลือ 5 แสดงว่าอัตราตรงนี้ที่คงที่ เราเรียกว่า "ผลต่าง" นะคะ ผลต่างแสดงว่าดี มีค่าเป็น 520 ตรงนี้นะคะ 20 - 15 ก็เป็น 5 แสดงว่าตอนนี้เราทราบอะไรบ้าง เรารู้ว่า d มีค่าเป็น 5 d มีค่าเป็น 5 a1 มีค่าเป็น 150 150 เรารู้ 3 อย่างนี้เราควรจะใช้สูตรที่ 2 ในการหาผลบวกนะคะ สูตรที่ 2 ก็คือสูตรนี้ สูตรที่ 2 นะคะ ก็แทนค่า่ลงไปเราก็แทนค่าลงไป a1 ก็แทนค่าลงมานะคะ เดี๋ยวแป๊บหนึ่งนะ แป๊บหนึ่ง นักศึกษาไม่ต้องดูตรงนี้นะคะ ไม่ต้องดูนะ ครูจะเขียนข้างล่างตรงนี้เลย sn ตอนนี้ n ไม่รู้ว่ามีค่าเท่าไรใช่ไหมคะ ตรงนี้เราจะต้องหาว่าเทิร์มของมันนี่เป็นเท่าไหร่ โดยใช้ความสำคัญของตัวนี้ ลองดูนะคะ an an ก็คือ 150 ตามสูตรนะคะ ที่เราเคยพูดมาก่อนหน้านี้ ก็คือ an จะเท่า a1 x d ใช่ไหมคะ ตอนนี้เราไม่รู้ว่า n มีค่าเท่าไร เราแทนค่าลงไป เท่ากับ a1 ก็คือ (5 + n) - 1d d มีค่าเป็น 5 นะคะ เอา 5 ตัวนี้... มันทำได้หลายแบบนะคะ ถ้าครูดึงตัวประกอบ 5 นี่ออกมา ตรงนี้ก็จะเหลือ (1 + n) - 1 n - 1 ใช่ไหมคะ ก็เท่ากับ 150 สังเกตนะคะ เทิร์มนี้มันมี 5 คูณกับ 1 อันนี้คือ 5 คูณกับ n - 1 ดึงตัวประกอบนะคะ ก็จะเหลือ 1 n -1 จากนั้น บวก 1 กับ -1 ตัดกันไปนะคะ ก็จะเหลือเป็น 5n จะได้ n มีค่าเป็น n150 หารด้วย 5 คิดได้หลายอย่างนะคะ 150 หาร 5 ก็จะมีค่าเป็น 5 x 3 = 15 ใช่ไหมคะ ก็เป็น 30 ได้แล้ว n มีค่าเป็น 30 อันนี้ครูแสดงวิธีคิดนะคะ ดึงตัวประกอบมาเป็น 15 สีแดงตรงนี้นี่ ในกรอบสีแดง ก็คือเขาเอา 5 คูณเข้ามาในวงเล็บนี้ก็ได้นะคะ ก็เท่ากัน แล้วแต่เราเราจะชอบแบบไหน ตอนนี้เราทราบ n แล้ว เป็น 30 จากสูตร sn สูตร sn ตรงนี้นะคะ ครูลงมาหน้านี้เลย ผลรวมที่เราจะต้องหา n ส่วน 2 แทนค่าด้วย n หารด้วย 2 คูณกับ a1 บวก a ก็คือ 150 เท่ากับ 30 ส่วน 2 คูณด้วย 155 นะคะ ตัดทอนปุ๊บ ตัวนี้ก็เป็น 15 เท่ากับ 15 x 155 แอบคูณตรงนี้ก็แล้วกันนะคะ ครูจะทดตรงนี้นะคะ ทดตรงนี้ 155 x 15 5 x 5 = 25 5 x 5 = 25 ใส่ทด 2 67 เป็น 775 นะคะ บวกเอา 1 เอา 1 ไปคูณ 5 เป็น 25 1 x 1 เป็น 1 บวกลงมา 7 + 5 เป็น 12 ใส่ 2 ทด 1 1 + 1 เป็น 2 ได้แล้วนะคะ 2,325 = 2,300 เท่ากับ 2,325 โอเค โอเค ได้นะคะ วิธีคิดก็อยู่ในสไลด์หน้าถัดไป แต่ครูไม่ได้ไอ้นี่ โอเค คราวนี้เราไปดูโจทย์ที่มันประยุกต์ขึ้นนิดหนึ่งนะคะ ในสไลด์ โอเค... ในสไลด์หน้าที่ 11 นะคะ ตัวนี้จะมีความประยุกต์ขึ้น จงหาผลบวกของจำนวนคู่ ตรงนี้นะ ต้องประยุกต์ความเข้าใจเรื่องจำนวนจำนวนคู่ตั้งแต่อะไรคะ 10 ถึง 200 ในนั้นก็แจกแจงไปว่านะคะ อย่างแรกเลย a1 เป็น 10 a1 เป็น 10 นะคะ คือ a1 ถัดมา 10 11 ไม่ได้นะคะ เศษเป็นคี่ต้องเป็น 12 ถัดไปเป็น 14 14 ถัดไปเป็น 16 ก็เป็นอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวสุดท้าย ก็คือ 200 นี่คือสิ่งที่เขาบอกเรานะคะ เอาเฉพาะจำนวนคู่นะคะ เราทราบอะไรบ้างจากตรงนี้ ทราบว่า a1 เป็น 10 a2 เป็น 12 a3 เป็น 14 อันนี้เป็น an ไม่รู้ n มีค่าเป็นเท่าไร ใช้เหมือนเดิมเลยก็ได้ sn นะคะ แอบคิดนะเทอมนี้ สูตร an = (a1 + n) - 1d ตรงนี้เหมือนกันนะคะ 12 - 10 b เป็น 2 เห็นไหมคะ เลยจะรู้ว่า d มีค่าเป็น 2 แทนค่าลงไปเลย a1 ก็คือ 10 10 + an คือ 200 นะคะ n - 1b ก็มีค่าเป็น 2 คราวนี้คูณข้าง 10 ก็เป็น 200 - 10 นะคะ ตรงนี้ 200 - 10 = n - 1 คูณด้วย 2 มีค่าเป็น 190 n - 1 n คูณกับ 2 ครูก็นำไปหาร ได้แล้วนะคะ หรือจะได้ว่า n - 1 เท่ากับ 190 หารด้วย 2 ก็คือ 80 ไม่ใช่ 80 ครูหารเลขผิด เป็นเท่าไรคะ เป็น 95 ใช่ไหมคะ ตรงนี้นะคะ 190 หาร 195 มีค่าเท่าไร -1 จากด้านซ้ายไปด้านขวาเป็นบวก 95 + 1 เป็น 96 เรารู้แล้วตัวนี้เป็น a ห้อย 96 ค่ะ ตัวสุดท้าย อันนี้คือสิ่งที่เรารู้ เราก็มาดูว่าเราทราบ a1 ตรงนี้นะคะ ทราบ a1 ทราบ b ทราบ an มีค่าเป็น 200 ใช้สูตรที่ 2 ได้เลยนะคะ สูตรที่ 2 ในการหาหาคำตอบ sn ก็คือสูตรนี้ แทนค่าลงมาได้เลย ตรงนี้ sn ก็คือ 96 นะคะ เท่ากับ 96 ส่วน 2 คูณด้วย A 1 a1 ก็คือ 10 + an = 200 เท่ากับอันนี้นะคะ 96 หาร 2 ก็เป็น 48 เป็น 48 นะคะตรงนี้ คูณกับ 210 แอบทด นี่กระดาษทดนะคะ 48 x 210 เราก็เอามาแค่ 21 นะคะ เดี๋ยว 0 เราค่อยเพิ่มทีหลังก็ได้นะคะ 1 x 8 เป็น 8 1 x 4 เป็น 4 2 x 8 เป็น 16 2 คูณ 4 เป็น 8 ก็เป็น 8 4 + 6 เป็น 10 ทด 1 1 + 9 เป็น 10 โอเค ได้เป็น 1,800 แต่ตรงนี้ต้องเติม 0 1 ตัว ก็เป็น 1,080 ก็คือ 10,080 โอเค คราวนี้ไปดู ถัดไป โจทย์ประยุกต์ขึ้นนะคะ ต่อไปโจทย์ที่เป็นในชีวิตประจำวัน สมมตินะคะ ตัวอย่างนะคะ ถ้าต้องการเก้าอี้ทั้งหมด 20 แถว สมมติว่าเราจะจัดการแสดงละครหนึ่งนะคะ อยากให้ผู้ชมเรานั่งได้ 10 แถวนะคะ ตั้งอยู่ ตั้งแถวของเก้าอี้ดังต่อไปนี้นะคะ แถวที่ 1 ให้มี 4 ตัว แถวที่ 1 มี 4 ตัว อย่างนี้นะคะ แถวที่ 1 มี 4 ตัว ก็เพิ่มเก้าอี้เข้าไปอีกซ้าย-ขวานะคะ ให้มีเป็น 6 ตัว เราอยากจะจัดเก้าอี้นักศึกษาเหมือนกับพีรมิดกลับหัวนะคะ คือ ข้างล่างเป็นแหลม ๆ แล้วบานออกไป ก็เหมือนกับเวลาเราจัดเก้าอี้ให้แขกผู้มีเกียรตินั่งนะคะ ที่อาวุโสหรือว่ามีตำแหน่งสำคัญ มักจะได้รับการจัดที่นั่งในแถวหน้าและไม่ให้มีใครบัง ก็จะให้นั่ง 4 ตัวแรกนะคะ แล้วก็ให้อาวุโสลองลงไป ในแถวลำดับถัดไปก็จะมีจำนวนคนเยอะขึ้น จนคนที่แบบว่าตำแหน่งน้อยมาก หรือถ้าเราไปคอนเสิร์ตนะคะ คนที่ซื้อบัตรแพง ๆ ก็จะมีจำนวนคนน้อย ๆ จะมีที่นั่งจำกัดก็นั่งแถวหน้า แถวที่ 2 นี่ก็จะถูกลง แต่ก็จะมีจำนวนมากขึ้น คำถาม ก็คือถ้าเราตั้งกติกาการจัดแถวได้อย่างนี้แล้ว เราจะตั้งแถวทั้งหมด 20 ตัว เราจะต้องใช้เก้าอี้ทั้งหมดเท่าใดนะคะ วิธีคิดเราทราบอะไรบ้าง เราทราบอย่างแรกเลย a1 มีค่าเป็น 4 ทราบ a2 เป็น 6 a3 เป็น 8 แล้วถ้าเรามองภาพไปอีก ตรงนี้มันเพิ่มเห็นไหมคะ 4 + 2 เป็น 6 6 + 2 เป็น 8 อย่างนั้นตัวถัดไปต้องเป็น 8 + 12 เป็น 10 a4 ถ้าเป็นแบบนี้ปั๊บ เกิดขึ้นตรงนี้ คือ ผลต่างคงที่นะคะ เราก็จะได้ตัวนี้ ก็คือตัว d เท่ากับ 2 ลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิตนะคะ เขาอยากให้เราตั้งลำดับตั้งไปจนถึง a20 ถามหาว่าจะใช้เก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัว ถ้าถามว่า a 20 มีค่าเท่าไร สูตร an = (a1 + n) - 1b a20 ก็จะมีค่าเป็น 1 a1 มีค่าเป็น 4 + n-1 มีค่าเป็น 20 - 1d d มีค่าเป็น 2 เท่ากับ 4 บวกด้วย 20 - 1 19 แอบทดนะคะ 19 x 2 เป็น 38 ใส่ 8 ทด 1 เป็น 3 เป็น 38 นะคะ ได้แล้ว 38 + 4 เป็น 42 คราวนี้ครูหาเก้าอี้ที่อยู่ในแถว 20 นะคะ แถวสุดท้าย ท้ายสุดใช้เก้าอี้อยู่ทั้งหมด 42 ตัว โอเค ครูใช้วิธีที่ 1 ก่อน วิธีที่ 1 ครูใช้สูตร = n ส่วน 2 a1 + an แทนค่านะคะ n มีค่าเป็น 20 ใช่ไหมคะ n ของเรา ก็คือตัวนี้ 20 ส่วน 2 x a1 มีค่าเป็น 4 อันนี้คือ a1 4 + an หารแล้ว เป็น 42 20 หาร 2 ก็เป็น 10 46 ตายแล้ว ครูคิดไป ตัวเลขไปเร็วเกิน 42 + 4 เป็น 46 โอเค 46 x 10 ก็คือ 460 ตัว แสดงว่าคำตอบนะคะ ใช้เก้าอี้ทั้งหมด 460 ตัวนะคะ ก็จะจัดแถวได้ตามที่เงื่อนไขกำหนด ครั้งที่ 2 มี 6 ไปเรื่อย ๆ จนครบ 20 แถวนะคะ คำตอบ ก็คือใช้เก้าอี้ทั้งหมด 460 ตัวนะคะ ต่อไปวิธีที่ 2 ครูเขียนตรงนี้แล้วกันนะคะ ใช้สูตร sn =n ส่วน 2 + n-1d ได้เหมือนกันนะคะ แทนค่า ก็คือ 20 ส่วน 2 คูณกับ 2 คูณ a 1 เป็น 4 20 - 1d d มีค่าเป็น 2 เท่ากับ 20 หาร 2 ก็เป็น 10 นะคะ คูณด้วย 4 x 2 เป็น 8 บวก 20 19 x 2 ก็คือ 38 นะคะ ก็เท่ากับ 10 คูณด้วย 8 + 38 เป็น 46 ก็เท่ากับ 460 ตัว เท่ากันนะคะ แสดงว่าข้อนี้นี่เราจะใช้สูตรวิธีที่ 1 ก็ได้ หรือวิธีที่ 2 ก็ได้แล้วแต่เราแต่ถ้าใช้วิธีที่ 1 เราจะหาอะไรคะ มีค่าเท่าไรก็คือตรงนี้นะคะ โอเค มีคำถามไหมคะ ครูพูดคนเดียวเลยวันนี้ เดี๋ยวเราไปดูหัวข้อสุดท้ายนะคะ การหาอนุกรมนะคะ หัวข้อสุดท้าย หัวข้อวันนี้นะคะ ตอนนี้ถ้าเกิดมีลำดับเรขาคณิตเกิดขึ้น ลำดับเรขาคณิตอัตราส่วนผลหารคงที่นะคะ ต้องหารด้วย a3 หารด้วย a4 ไปเรื่อย ๆ นะคะ อัตราส่วนคงที่ หรืออัตราส่วนร่วมนั้นจะแทนด้วยตัว r นะคะ ถ้าเป็นแบบนี้แล้ว ผลรวมของลำดับเรขาคณิต ใช้อนุกรมนะคะ s1 ก็คือผลรวม 1 เทิร์ม คราวนี้ถ้าเอา a1 ไปบวก a2 ก็ได้เป็น s ห้อย 2 a1 + a3 ก็ได้คำตอบเป็น s ห้อย 3 คือ an ใช้สัญลักษณ์เป็น an นะคะ มีสูตรที่ใช้ในการหานะคะ 2 สูตรดังต่อไปนี้ ขออนุญาตนำสูตรไปใช้งานเลยนะคะ ถ้ามีอนุกรมเรขาคณิตมาให้นะคะ หาคำตอบ a1 + a2 + a3 บวกไปเรื่อย ๆ จนถึง an แล้วนะคะ เรขาคณิตมีอัตราคงที่ อัตราส่วนคงที่ คือ ตัว r แล้วนะคะ sn จะมีค่าเท่ากับ sn จะเท่ากับ a1 คูณด้วย 1 ตรงนี้ r ยกกำลัง n นะคะ มีกติกาอยู่ว่าอัตราส่วนนี้ห้ามเป็น 1 ห้ามเป็น 1 เด็ดขาด เพราะว่าเป็น 1 จะเป็นอะไร 1-1 ตรงนี้นะคะ มันห้ามเป็น 0 มันเป็น 0 มันหาค่าในระบบจำนวนจริงนะคะ อันนี้สูตรที่ 1 นะคะ ถัดไปสูตรที่ 2 สูตรที่ 2 นี้ ก็คือเราเอา a1 คูณเข้าไป ก็คือการปรับเทิร์ม ก็คือ an นะคะ ตรงนี้ส่วนที่ 1 มี 1 - r เหมือนกัน ก็คือห้ามให้ r เป็น 1 เหมือนเดิมนะคะ ยกตัวอย่างทบทวนนะคะ ถ้ามีลำดับที่ครูเคยยกตัวอย่าง 10, 100, 1,000, 10,000 อันนี้เป็นอัตราส่วนคงที่นะคะ เพราะเราเอา a2 ไปหาร a1 หรือ 100 หาร 10 เป็นอะไรคะ เป็น 10 หรือเอา a3 ไปหารด้วย a2 1,000 หารด้วย 100 ก็มีค่าเป็น 10 หรือ a4 ไปหา a3 ก็คือ 10,000 หารด้วย 1,000  มีค่าเป็น 10 นะคะ เราจะรู้ว่าอัตราส่วนเป็น r ของเขา an คืออะไร เรามาดูดี ๆ นะคะ จากอันนี้ คือ a1 ใช่ไหมคะ อันนี้คือ A1 อันนี้คือ a2 อันนี้คือ a3 อันนี้คือ a4 เราเอา a1 ไปคูณกับอะไรคะ คูณกับ r คูณกับ 10 ก็จะเป็น 100 เห็นไหมคะ แสดงว่า ตัวนี้ คือ r แล้วเอา 100 ไปคูณกับ 10 1,000 อันนี้ ก็คูณ r อีกครั้งหนึ่ง 1,000 a3 เอาไปคูณกับ 10 ก็จะได้กลายเป็น a4 ก็คือ 10,000 แสดงว่า a4 ตรงนี้ a1 x r ยกกำลังกี่ครั้งคะ ยกกำลัง 1 ครั้ง 2 ครั้ง 3 ครั้ง คือ a ยกกำลัง r ยกกำลัง 3 นะคะตัวนี้ ใช่ไหม เพราะว่า r มันคูณกันมา 3 ครั้ง r คูณกับ 3 ตัว คือ r ยกกำลัง 3 นะคะ ได้รูปทั่วไปเขา an = a1 x r -1 นี่คือรูปทั่วไปของเขา สังเกต พอเราเอา a1 คูณเข้ามาในวงเล็บ a1 x 1 ก็ได้เป็น a1 a1 x r ยกกำลัง n ก็แยกเป็น a1 คูณ r ยกกำลัง n แล้วคูณกับอะไรคะ กลายเป็นอะไร กลายเป็น an ก็ได้เป็น an คูณกับ r ก็ได้เทิร์มนี้ขึ้นมา จริง ๆ 2 สูตรนี้ คือ สูตรเดียวกัน แต่ใช้ความรู้คณิตศาสตร์ในการปรับนะคะ ก็แล้วแต่ว่า การเอาไปใช้งานในสถานการณ์ใด ๆ นั้น เราทราบองค์ประกอบของส่วนไหนครบเราก็ใช้สูตรนั้น เช่น สูตรที่ 1 จะใช้ได้เมื่อรู้ค่า a1 ทราบค่า r ทราบค่า n ใช่ไหมคะ แต่สูตรที่ 2 จะต้องทราบ a1 an แล้วก็ r เห็นนะคะ ลองดูตัวอย่างถัดมานะคะ ตัวอย่าง เดี๋ยวตัวอย่างเราไปดูที่ Jamboard ก็ได้นะคะ Jamboard ได้นะคะ โอเค ตอนนี้ Jamboard มาแล้วนะคะ ตัวอย่าง โอเค ใช้ Jamboard อย่างสนุก ครูมีเลเซอร์นะคะ นักศึกษา เขียนโจทย์ก่อนนะคะ จงหาผลบวกของ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 บวกไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวสุดท้าย ก็คือ 2,048 มีโจทย์มาให้แบบนี้นะคะ แว๊บแรกนี่ ถ้าเขาไม่บอกว่าเป็นลำดับเลขคณิตหรือเรขาคณิตเราจะต้องมาหาลำดับความสัมพันธ์เสียก่อน วิธีทำนะคะ อย่างแรกเลย เราทราบ a1 มีค่าเป็น 1 เดี๋ยวครูจะลองเขียนให้ดูใหม่นะคะ จากลำดับ ลำดับชุดตัวแรก 2, 4, 8, 16 ไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวสุดท้าย ก็คือ 2,048 นะคะ เราจะทราบ ว่าตัวนี้ คือ a1 ตัวนี้คือ a2 อันนี้คือ a3 อันนี้ a4 อันนี้ a5 ส่วนอันนี้ คือ an โอเค มาดูว่า a1 กับ a2 นี่ ถ้ามันลบกันเป็นเท่าไหร่ 2 - 1 เป็น 1 4 - 2 เป็น 2 ไม่เท่ากันแล้ว เห็นไหมคะ แสดงว่ามันไม่ใช่ลำดับเลขคณิต ถ้าไม่ใช่ อย่างนั้นลองเอามันมาหารกัน ครูเอามาหารกันนะคะ เป็นอะไรคะ เป็น 2 ตัวถัดมา 4 หาร 2 เป็นอะไรคะ เป็น 2 ตัวถัดมา ตัวถัดมานะคะ 8 หาร 4 ก็เป็น 2 ก็เป็น 2 คู่ถัดมา 12 หาร 8 ก็เป็น 2 ทุก ๆ ค่าตรงนี้เท่ากันหมดเลยเห็นไหมคะ คำตอบเท่ากัน แสดงว่าเขาเป็นลำดับเรขาคณิตนะคะ ดังนั้น เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี r เป็น 2 นะคะ ที่เป็น 2 คราวนี้หา n เราสามารถหา n ได้นะคะ ต่อไปครูจะหา n นะคะ พอเรารู้ว่าเขาเป็นลำดับเลขคณิตนะคะ an เท่ากับ a1 คูณ r ยกกำลัง n แทนค่าลงไปนะคะ ก็คือ 2,048 เท่ากับ a1 ก็คือ 1 r ก็คือ 2 ยกกำลัง n ความจริงเราจะต้องเช็กล็อก แต่ว่าในห้องเรียน เราถ้าเราจะคำนวณมือโดยที่ไม่เทกล็อก 2 ยกกำลังกันไปกี่ครั้ง เป็น 2,048 อันนี้กระดาษทดนะคะ 2 ยกกำลัง 2 2 เป็นอะไรคะ 2 คูณ 2 เป็น 4 โอเค ไป 4 แล้วนะคะ เอา 4 ไปคูณกับ 4 ก็เหมือนกับ 2 x 2 ยกกำลัง 2 ใช่ไหมคะ 4 x 4 เป็น 16 แสดงว่าตรงนี้เป็นอะไรคะ 2 ยกกำลัง 4 เป็น 16 ต่อไปครูจะเอา 16 ไปคูณกับ 16 16 x 16 ความหมายมันก็คืออะไรคะ 2 ยกกำลัง 4 คูณ 2 ยกกำลัง 4 กำลังหาค่า 2 ยกกำลัง 8 ตั้งทด 16 ไปคูณกับ 16 เป็นเท่าไรเอ่ย มีใครจะช่วยครูคูณไหม คูณพร้อมกันเลยนะคะ คูณพร้อมกันเลยนะคะ 16 x 3 เป็น 9 1 x 1 เป็น 1 บวกนะคะ เป็น 6 9 บวก 6 เป็น 15 ใส่ 5 ทด 1 256 โอเค เริ่มใกล้เคียง เข้าไปหาอะไรนะคะ 2,000 ต่อไป ถ้าเราจะเอา 256 + 256 มันจะเกิน เรามาเพิ่มทีละครั้งนะคะ ถ้าครูเอา 256 ไปคูณกับ คูณกับ คูณ ๆ กับอะไรดีนะ คูณ 2 ก็เป็น 500 2 x 8 คูณกับ 8 ให้นักศึกษา ช่วยครูคิด 256 x 8 เป็นเท่าไร ตอนนี้ให้นักศึกษาช่วยคิดนะคะ เดี๋ยวครูจะรอ ใครก็ได้ (พี่การ์ตูน) ... ค่ะ วริษาเป็นผู้ตอบค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เร็วจังเลย วริษาเป็นผู้ตอบค่ะ กับภากรณ์ โอเค มีเพื่อนตอบแล้วนะคะ ก็คือ 2,048 ใช่ไหมคะ (พี่การ์ตูน) ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เราก็แอบเช็กนะคะ 8 x 6 เป็น 48 ใช่ไหมคะ ใส่ 8 ทด 4 8 x 5 เป็น 4 4 ทด 4  + 4 เป็น 20 โป๊ะ อันนี้ครูกำลังให้เราหาค่าคำตอบโดยที่ไม่ได้เครื่องคำนวณนะคะ จากการสังเกตเชิงตัวเลข 256 x 8 มีค่าเป็น ซึ่งตัวนี้มีค่าเท่ากับ 2 ยกกำลังคูณกับ 2 ยกกำลัง 3 นั่นก็คือไปบวกกับ 3 นะคะ 8 + 3 2 ยกกำลัง 11 ได้แล้วนะคะ จากตรงนี้เราจะได้ว่า 2 ยกกำลัง 11 = 2 ยกกำลัง n ดูสมการซ้ายมือกับขวามือของเลขยกกำลังนะคะ ฐานเดียวกันแสดงว่ามันจะเข้ากันได้ ดังนั้น n เท่ากับอะไรคะ 11 นี่ได้แล้วนะคะ ได้ n เป็น 11 แล้วนะคะ ด้วยเหตุผลนี้นะ คราวนี้ครูจะลบทิ้ง โอเค ใช้สูตรที่ใช้หา sn นะคะ ของลำดับเรขาคณิตนะคะ a1 x r ยกกำลัง n ส่วนด้วย 1 - r ตัวนี้เราใช้สูตรนี้ได้แล้วนะคะ สูตรนี้นะคะ ก็คือเราทราบค่า n ทราบค่าว่า n มีค่าเป็น 11 n มีค่าเป็น 11 เป็น 1 r มีค่าเป็น 2 ก็แทนค่าลงไป ดังนั้น sn ตัวนี้ sn เราเป็นตัวที่ 11 ย่อมมีค่าเท่ากับ a1 1 คูณกับ 1 - 2 2 ยกกำลัง 1 1 ส่วนด้วย 1 ด้วย 1 -2 1 คูณอะไรก็เป็นตัวนั้นนะคะ 1 ลบ... ยกกำลัง 11 2,048 2,048 อันนี้นะคะ แทนค่าด้วย 11 นะคะ 2 ยกกำลัง 11 เป็น ตัวนี้ 2,048 18 ส่วนด้วย 2 - 1 ก็คือ -1 ได้แล้วนะคะ ต่อไปก็เอา เอา... เดี๋ยวนะ ๆ 2,000 เดี๋ยวนักศึกษา เดี๋ยวครูเช็กแป๊บว่าครูทำผิดตรงไหน แป๊บหนึ่งนะคะ แป๊บหนึ่งนะคะ โอเค เมื่อกี้ครูเช็ก Excel นิดหนึ่งนะคะ ดูต่อนะคะ ในตัวสูตร ในตัวสูตร sn sn ตัวนี้นะคะ sn นี่คือตัวเลขทั้งหมด 10 ตัวรวมกัน เราทราบว่าลำดับของเรานะคะ ประกอบไปด้วยลำดับของเรา ประกอบไปด้วย ก็คือตัวนี้นะคะ a1 ตัวนี้ ก็เป็น a2 อันนี้คือ a3 อันนี้ก็คือ a4, a5 ไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวนี้ an เราใช้สูตรในการหาเทอมของมันนะคะ มันเป็นเท่าไร ในเมื่อเราทราบว่าอัตราคงที่มีค่าเป็น 2 ตรงนี้นะคะ อัตราส่วนคงที่ตรงนี้มีค่าเป็น 2 แทน an ยกกำลัง อ๋อ นักศึกษาเราที่คิดกันไง ตรงนี้ไงตรงนี้ที่เราพลาด เจอแล้ว ๆ ต้อง n - 1 นะคะ เพราะว่าตัวนี้มันคูณ r มา อันนี้คูณ r มาครั้งหนึ่ง คูณ r ครั้งที่ 3 คูณ r ครั้งที่ 4 คูณไปเรื่อย ๆ แสดงว่ามันใช้ r มา 10 ครั้ง ตรงนี้มัน -1 เจอแล้ว ตรงนี้ โอเค จบไป n เป็น 12 แป๊บหนึ่งนะคะ ได้แล้ว ๆ จากเหตุผลตรงนี้นะคะ 2 ยกกำลัง n 2 ยกกำลัง n ก็คือ 2 ยกกำลัง 11 มีค่าเป็น 2 ยกกำลัง 11 ตัวนี้นะคะ เท่ากับ 2 ยกกำลัง n - 1 เราก็จะได้ว่าครูทดในนี้นะคะ ครูทดอันนี้นะคะ 11 ดังนั้น n เดียวเท่ากับ 12 n เท่ากับ... แสดงว่าตัวนี้เป็นตัวที่ 12 นะคะ ตัวนี้คือ a ตัวที่ 12 s12 ได้ n เป็น 12 แล้วนะคะ ถึงจะถูก s เท่ากับ a1 ก็มีค่าเป็นคูณ 1 - r ยกกำลัง n r ยกกำลัง 12 r ยกกำลัง 12 หรือ n ยกกำลัง 12 นะคะ นะคะ ถ้า 2 ยกกำลัง 11 มีค่าเป็น 1,048 แล้ว 2 ยกกำลัง 12 มีค่าเป็นเท่าไร ก็เอา 2 ไปคูณกับ 48 เป็นเท่าไรเอ่ย 2 x 8 = 16 ทด 1 2 x 4 เป็น 8 ทด 1 เป็น 9 2 x 0 เป็น 0 2 x 2 เป็น 4 4,096 ได้เหมือนกันไหมคะ ได้แล้ว คุณครูว่าแล้วมันไม่เท่ากัน ตรงนี้ 2 ยกกำลัง... ได้แล้ว จากนั้น 1 -  4,096 นะคะ ตัวข้างหน้ามันน้อยกว่านี่ คำตอบที่ได้มันจะติดลบ ก็คือเอาตัวมากลบตัวน้อยแต่คำตอบติดลบนะคะ - 40 95 แต่มันหารด้วย -1 ลบกับลบเป็นบวก 4,095 ได้แล้วนะคะ คำตอบ ก็คือผลรวมลำดับเรขาคณิต 12 เทิร์มแรกนะคะ มีค่าเป็น 4,096 นะคะ คราวนี้มาดูโจทย์ใหม่ ลองดูนะคะ ทบทวนตัวอย่าง 1 ส่วน 2 1 ส่วน 4 1 ส่วน 8 1 ส่วน 16 ไปเรื่อย ๆ นะคะ ถ้าเป็นแบบนี้แล้วนะคะ ให้หาผลบวก หาผลบวกนะคะ 10 เทอมแรกต้องหา s10 เท่ากับอะไร วิธีคิดอย่างแรก ลำดับนี้มันเป็นลำดับเลขคณิตหรือลำดับเรขาคณิต เราก็มาแอบคิดว่าถ้ามันเป็นเลขคณิตมาลบกัน มันน่าจะมีอัตราส่วนคงที่ ไม่ใช่ ลองดูนะคะ -1 ส่วน 2 เป็นเท่าไรคะ มันไม่เท่ากับ 1 ส่วน 8 ลบ 1 ส่วน 4 แน่นอน อย่างนั้นเราลองมาพิจารณาผลหารมัน พิจารณาผลหารก็คือ 1 ส่วน 4 หารด้วย 1 ส่วน 22 เท่ากับ 1 ส่วน 4 เปลี่ยนหารเป็นคูณ กลับเศษเป็นส่วนใช่ไหมคะ 1 ส่วน 4 คูณด้วย 2 ส่วน 1 ตัดทอนได้เป็น 1 ส่วน 2 คราวนี้ครูมาหาคู่นี้บ้าง คู่นี้นะคะ คู่นี้ เอาตัวข้างหลังตั้ง แล้วก็ 1 ส่วน 8 หารด้วย 1 ส่วน 4 จะเท่ากับ 1 ส่วน 8 แบ่งหารเป็น 4 คูณ 4 ส่วน 1 ตัดทอนได้ 1 ส่วน 2 เห็นไหมคะ เอาตัวใหม่บ้าง เอาตัวนี้ คู่นี้ คู่นี้นะคะ 1 ส่วน 16 หารด้วย 1 ส่วน 8 เท่ากับ 1 ส่วน 16 คูณด้วย 8 ส่วน 1 ก็คือ 1 ส่วน 2 พอเรามาหารกัน มันคงที่ตลอดเลยนะคะ ตรงนี้ตรงนี้นะคะ 1 ส่วน 2 1 ส่วน 2 1 ส่วน 2 นะคะ ดังนั้น เราจะรู้ได้เลยว่า ลำดับ ขออนุญาตนะคะ นักเรียนคะ ฮัลโหล สอนอยู่เดี๋ยวโทร. กลับ เดี๋ยวนะคะ แป๊บหนึ่งเดี๋ยวแชร์สกรีนใหม่ โอเค พอดีสายเข้ามันก็เลยตัดสกรีนไปแชร์... ขออภัยค่ะ จะจบแล้ว ๆ จากที่เราพิจารณาอัตราส่วนนะคะ ผลหารนี่ เราจะพบว่ามันมีอัตราส่วนที่คงที่ เราก็เลยทราบว่าลำดับที่โจทย์ให้ลำดับเรขาคณิตเราพิจารณาเองนะคะ ที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น r 1 ส่วน 2 แล้ว a1 มีค่าเป็น 1 ส่วน 2 นะคะ ขออนุญาตลบนะคะ อันนี้การพิจารณาของเราเสร็จสิ้นแล้วนะคะ ทราบว่ามันเป็นลำดับอะไร มันเป็นลำดับเรขาคณิต คำถาม ก็คือจงหาผลบวกอนุกรม 10 เทิร์มแรกนะคะ ตัวนี้ จงหาผลบวกของอนุกรม 10 เทิร์มแรก ซึ่งในทีนี้ ก็จะแทนด้วยตัว s10 เท่ากับอะไรนั่นเองนะคะ วิธีทำ จากสูตรที่ใช้ในการหาอนุกรมนะคะ เราจะเอาสูตรไหนดี มี 2 สูตรให้เราใช้ นักศึกษาลองดูว่าเราจะใช้สูตรไหนดี เดี๋ยวครูเขียนสูตรให้นะคะ ยกกำลัง n หรือมี 2 สูตรนะคะ สูตรแรก ก็คือ a1 สูตรนี้ 1 - r หรือสูตรนี้ a1 - an ส่วนด้วย 1 - r ตัวนี้ an เราไม่ทราบนะคะ 10 เทิร์มแรก an เราไม่ทราบ พอไม่ทราบสูตรนี้ เราก็จะใช้หาค่าอันนี้ก่อน มีสเต็ปเพิ่มขึ้นที่ 1 นะคะ a1 ทราบ n ทราบ n นี่ทราบเอามาจากคำถามนะคะ เลือกใช้สูตรที่ 1 แทนค่า s10 จะมีค่าเท่ากับ an คูณกับ 1 - r ของเราก็มีค่า 1 ส่วน 2 ก็คือยกกำลัง 10 ส่วนด้วย 1 - r = 1 ส่วน 2 ดูดี ๆ นะคะ เท่ากับ 1 ส่วน ยกกำลัง 10 ส่วนด้วย 1 - 1 ส่วน 2 รอบแรกเป็น 1 ส่วน 2 ตัดทอน ตัดทอนเลยนะคะ -1 ส่วน 2 ยกกำลัง 10 ค่ะ 1 ตัวนี้เราก็ทำให้เป็นเศษส่วนที่เท่ากัน 2 ยกกำลัง 10 ส่วน 2 ยกกำลัง 10 ลบด้วย 1 ส่วน 2 กำลัง 10 หรือจะเท่ากับ 2 ยกกำลัง 10 ลบ 1 ส่วนด้วย 2 ยกกำลัง 10 นักศึกษาเอา 2 คูณกับ10 ให้ครูหน่อย 2 ยกกำลัง 10 ไม่ใช่ 2 คูณ 10 นะคะ คือ 2 คูณกันไป 10 มาแอบคิดตรงนี้นะคะ 2 ยกกำลัง 10 จะใช้ปากกาสีเขียว 2 x 2 x 2 x 2 2 คูณ 2 เท่ากับ 2 ยกกำลัง 4 เท่ากับ 16 ใช่ไหมคะ คราวนี้ครูเอา 16 ไปคูณ 2 16 คูณ 2 เท่ากับ 32 แสดงว่า 2 ยกกำลัง 5 2 ยกกำลัง 10 ก็เท่ากับ 2 ยกกำลัง 5 x 2 ยกกำลัง 5 ใช่ไหมคะ 2 ยกกำลัง 5 ก็คือ 3 ยกกำลัง 12 ก็เอา 32 ไปคูณกับ 32 นะคะ แอบคิดตรงนี้ก่อน 32 คูณ 32 นะคะ 2 x 2 เป็น 4 3 x 2 เป็น 6 บวกกันลงมานะคะ 4 6 + 6 เป็น 12 2 ทด 1 9 +1 เป็น 10 แสดงว่า 2 ยกกำลัง 10 มีค่าเป็น 1,024 ได้แล้วนะคะ เท่ากับ 1,024 - 1,024 ตอบเท่านี้ล่ะค่ะ ก็เท่ากับเป็น 1,000 ส่วนด้วย 23 1,024 ใกล้เคียงมากเลย เกือบ... ตอบเท่านี้นะคะ พอดีมันเป็นโจทย์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มนะคะ 10 เทิร์มแรกนะ บวกกันมีค่า 10 เป็น 1,023 ส่วน 1,024 ก็คือเข้าใกล้ 1 ลู่เข้าใกล้ 1 แต่ยังไม่เข้าใกล้ 1  โอเค นักศึกษามีคำถามไหมคะ ถ้าถ้าไม่มีเดี๋ยวครูจะให้ทำการบ้านนะ เดี๋ยวโอเค เดี๋ยวแป๊บหนึ่ง จริง ๆ มันจะมีการหาผลรวมที่เป็นอนุกรมอนันต์อยู่นะคะ แต่ว่าครูก็ไม่ได้อธิบายส่วนนั้นเพิ่มนะคะ ก็เราจะคุยกันแค่เป็นหาผลรวมแค่เทิร์มแรก หน้าจอไปที่ตัว... เดี๋ยวแป๊บหนึ่งนะคะ เดี๋ยวครูจะแนะนำอีกนิดหนึ่ง ในสิ่งที่เราจะเจอในการสอบแข่งขัน พวกเราจะงง เคยเรียนมามันเป็นแบบนี้ แต่เป็นแบบอนุกรมแบบนี้มีด้วยหรือ อันนี้เป็นเพิ่มเติมให้เล็กน้อยนะคะ สอบแข่งขันเพื่อบรรจุเข้ารับราชการ จะมีการสอบวัดความรู้ความสามารถทั่วไปด้านคณิตศาสตร์ แล้วความรู้พื้นฐานทางด้านคณิตศาสตร์ที่เขาชอบถามกัน คือ อนุกรม นะคะ บางครั้งที่เราเรียนกันช่วงต้นของวันนีีนี่ มันจะเป็นอนุกรมที่มีขนาดชัดเจนนะคะ ตามหลักคณิตศาสตร์ คือ เป็นเลขเรขาคณิต แต่ว่าอนุกรมกับเลขลำดับ ที่อยู่ใน กพ. มันจะเป็นอนุกรมหลายชั้นนะคะ อันนี้ครูก็เอามาเล่าให้ฟังว่ารูปแบบที่เกิดนี่มันจะมีลักษณะที่เขาชอบถามกันอย่างไรบ้าง จำได้ว่าถ้าเราจะทำเรื่องลำดับ เราต้องหาความเกิดที่มันเป็นรูปแบบ หรือแพตเทิร์นเดียวกันนะคะ อย่างเช่นตัวนี้ ข้อ 1 ข้อ 1 มีลำดับมาให้นะคะ ตัว... ตัวนี้นะคะ อันนี้คือ a1 อันนี้ก็คือ a2 เป็น 8 a3 27 a4 เป็น 64 a5 เป็น 125 แสดงว่าข้อมูลคำตอบมันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ แล้วเป็นการเพิ่มอย่างรวดเร็ว แล้วมันเป็นการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว a1 ทำอย่างไรให้มันเป็น 1 ที่ห้อยกันอยู่ มันจะมีเลขชุดนะคะ เลขชุดของการยกกำลังเพิ่มขึ้นทีละเยอะ ๆ คือ ยกกำลัง การยกกำลังก็เริ่มจากยกกำลัง 2 ถ้ายกกำลัง 2 ไม่ใช่ ก็จะเป็น 3 1 ยกกำลัง 2 ก็เป็น 1 ถ้า 2 ยกกำลัง 2 ต้องเป็น 4 แต่อันนี้เป็น 8 แสดงว่าอันนี้ไม่ใช่นะคะ จะทำใหม่ ถ้า 2 ไม่ใช่ ก็จะทำเป็นยกกำลัง เมื่อมันเพิ่มค่าอย่างรวดเร็วนะคะ 1 ยกกำลัง 3 เป็น 1 ใช่ไหม ใช่ 2 ยกกำลัง 3 เท่ากับ 8 เป็น 4 x 2 เป็น 8 ใช่ไหม ใช่ ถ้าใช่ปั๊บ มันต้องใช่กับทุก ๆ ตัวที่อยู่ในลำดับนั้น เช็กทุก ๆ ตัวเลยนะคะ ต่อไปลำดับที่ 3 เอา 3 มาคิด 3 ยกกำลัง 3 ก็เท่ากับ 3 x 3 x 3 คูณ 3 ครูคูณตัวนี้ก่อน 9 x 3 เป็น 27 ใช่ไหม ใช่ ลองเช็กอีกตัวที่ 4 เอา 4 มาคิด 4 ยกกำลัง 3 ก็จะเท่ากับ 4 x 4 x 4 4 x 4 เป็น 16 16 x 4 4 x 6 24 ใช่นะคะ คิดตัวที่ 5 จริง ๆ ถ้าเราทำทดสอบเพื่อการแข่งขัน บางครั้งถ้าเราเห็นแว๊บเดียวนี่ ยกกำลัง 3 ไว้ในใจเลย โจทย์ข้อหนึ่ง เรารู้เลยว่าเป็นซีรีส์ของ 3 แบต(เตอรี)จะหมด แป๊บหนึ่ง โอเค (พี่การ์ตูน) ตอบ ตอบ 216 น่ะค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) นักศึกษาเก่งมาก ใครตอบคะ ช่วยบอกหน่อย ภากรณ์คิดอย่างไรคะ ภากรณ์ ตัวถัดไปคือตัวที่เท่าไร (พี่การ์ตูน) เอาคูณ เอาเอา 6 คูณน่ะครับ คูณมาเรื่อย ๆ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 6 คูณกับกี่ตัวคะ (พี่การ์ตูน) 6 ตัวครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เอาอีกทีสิ 6 คูณกันกี่ครั้งคะ (พี่การ์ตูน) 6 คูณแบบไหน 6 ยกกำลัง 3 ใช่ครับ เอา 6 ยกกำลัง 3 ก็คือ 6 คูณกับ 6 ตัว ถูกต้องนะครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อันนี้เป็นตัวอย่างข้อสอบ กพ. นะคะ สนุก คราวนี้เรามาดูคราวนี้เรามาดูข้อ 2 นะคะ ข้อสอบ กพ. จะเป็นข้อสอบที่ใช้ไหวพริบด้วยนะคะ ลองดูข้อ 2 นะคะ ข้อ 2 เดี๋ยวครูจะลบออกเพิ่มพื้นที่ว่าง ดูความสัมพันธ์ตัวเลขนะคะ อันนี้คือตัวที่ 1 อันนี้คือ a1 อันนี้คือ a2 อันนี้คือ A3 ตัวนี้ คือ a4 ตัวนี้คือ a5 a ตัวที่ 6 เท่ากับอะไรนะคะ เพิ่มขึ้นหรือลดลงของลำดับ เราก็มาดูลดลงนี่ ลดลงอย่างไร 100 ไป 99 มันลดลงเท่าไรคะ ลดลง 1 99 ไปถึง... ไปหา 95 มันลดลงเท่าไรคะ -4 อันนี้เราลองเท่าไหร่นักศึกษาช่วยครูคิดหน่อย (พี่การ์ตูน) 8 ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ลดลง 8 (พี่การ์ตูน) ขอบคุณครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) วันนี้ครูว่าจะจบแล้ว กลัวเดี๋ยวครูจะไปนานอีกนะคะนี่ ต่อไปอีก ช่วยครูอีกหน่อย 86 ไป 70 ลดลงเท่าไรคะ -16 ช่วยครูช่วยเลยนะคะ -16 แสดงว่าการลดลงของมันมีการลดลงแบบเพิ่มค่า ถ้าเรา Ignore ลดลงนะคะ เอาขีดออกก่อน เอาแต่ปริมาณมาคิด 1 แล้วก็ไป 4 ไป 8 ไป 16 ตัวนี้ ก็คือเลขชุดของการยกกำลัง ของการเพิ่มค่าอย่างรวดเร็วนั้นนะคะ มันเป็นการดูนะคะ 1 ตัวนี้ ก็คืออะไรคะ 1 แล้วก็มาเป็น 4 แล้วก็มาเป็น 8 แล้วก็มาเป็น 16 เราพยายามหาความสัมพันธ์เหล่านี้ที่เกิดขึ้น ว่ามันจะเป็นอะไร มีใครแชร์ไอเดียร์กับครูหน่อยค่ะ เป็นเท่าไรเอ่ย 1 แล้วก็ไป 4 แล้วก็ไป 8 แล้วก็ไป 16 ได้หรือยัง เดี๋ยวให้นักศึกษาช่วยครูคิดนะคะ (พี่การ์ตูน) 2 กำลัง 2 ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 2 กำลัง 2 ถ้าเป็น 2 ยกกำลัง 2 ถ้าเป็น 2 ยกกำลัง ถ้าเป็นเลขยกกำลัง 2 จริงใช่ไหม เป็น 2 ยกกำลัง 2 หรือย่างไรคะ (พี่การ์ตูน) 20 เอามาจากไหน ลองคิดหน่อยสิ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) มันเป็น 2 ยกกำลัง 2 หรืออะไรอย่างไรเอ่ย เอาเลขฐานเป็นอะไรคะ เลขฐาน ๆ เกี่ยวหรือยัง ข้างล่าง 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 แบบไหนบอก (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เดี๋ยวนะ ตรงนี้นักศึกษาลองดูนะคะ มีใครตอบครูมาเป็นแบบนี้ไหม 95 - 86 อันนี้ไม่ได้ลงมา 1 เหลือ 9 นะ ตรงนี้ไม่ใช่นะคะ ถ้าอย่างนั้นเราจะทำไม่ได้นะ เดี๋ยวเราจะทำไม่ได้นะ ตรงนี้ไม่... เช็ก ๆ อย่างนี้เป็น -9 นะคะ เพราะว่า 95 - 86 ก็เป็น -9 อันนี้แพตเทิร์นนี้จะหาได้แล้ว มีคนบอกยกกำลัง 2 อันนี้เป็นลำดับที่ 1 ใช่ไหมคะ 4 ก็มาจาก 2 ยกกำลัง 2 9 ก็เอามาจาก 4 อันนี้ก็เป็น 4 ยกกำลัง 2 ดังนั้น ตัวถัดไปมาตัวนี้ มันก็น่าจะลดลงด้วย 5 ยกกำลัง 2 ใช่ไหมคะ 5 ยกกำลัง 2 คือ 5 x 15 แสดงว่าตัวเลขถัดไปต้องเป็นจำนวนที่เป็น 70 ลบด้วยอะไรคะ 25 70 - 25 ตอบเท่าไรคะ 10 - 5 (พี่การ์ตูน) ภากรณ์ ตอบ 25 ค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) อย่างเพิ่งค่ะ อยู่ ดูครูกำลังลบก่อน 70 - 25 เห็นไหม 10 - 5 เหลือ 5 6 - 2 เหลือ 4 45 (พี่การ์ตูน) 45 (อาจารย์ชนัญกาญจน์) 45 นะคะ อันนี้จะเป็นอันนี้จะเป็นตัวอย่างข้อ 2 นี่จะเป็นลำดับ เขาเรียก "ลำดับ 2 ชั้น" นะคะ เป็นลำดับผสม ที่มีการลดค่าด้วยฟังก์ชันด้วยเลขชี้กำลังนะคะ ที่เป็นเลขยกกำลัง 2 นะคะ อันนี้คือลักษณะข้อสอบ กพ. ที่มันจะไม่ถามตรง ๆ เป๊ะ ๆ เหมือนที่เราเรียน แบบในตอนต้นของวันนี้ เอาอีกสักข้อนะคะ เอาอีกสักข้อ อันนี้ก็ฝากพวกเราไปเล่น ๆ กันก็ได้นะคะ อย่างข้อ เอาข้อ 4 ก่อนก็แล้วกัน ข้อ 4 ยกตัวอย่างออกจากเมื่อกี้ เดาได้ เพราะเป็นเลขขยกกำลัง 2 ก็คือ 2 ยกกำลัง 1 4 ยกกำลัง 1 8 ก็คือ 2 ยกกำลัง 3 อันนี้ก็คือ 2 ยกกำลัง 4 ได้แล้วนะคะ 1 ส่วน 2 ยกกำลัง 1 1 ส่วน 2 ยกกำลัง 3 ถัดไปก็เป็น 1 ส่วน 2 ยกกำลัง 4 10 ตัวนี้ก็ต้องเป็นอะไรคะ 1 ส่วน 2 ยกกำลัง 5 2 ยกกำลัง 5 ก็คืออะไรเอ่ย 2 ยกกำลัง 4 เท่ากับ 16 ใช่ไหมคะ 2 ยกกำลัง 5 ก็เป็น 16 คูณ 2 ก็เท่ากับ 32 อย่างนั้นตอบตัว ก. โอเคไหมคะ (พี่การ์ตูน) ใช่ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) ง่ายไหมคะ ง่ายไหม ๆ (พี่การ์ตูน) ยิ้มกริ่ม ค่ะ(อาจารย์ชนัญกาญจน์) ไม่มีคำตอบใด ๆ โอเค เดี๋ยวลองมาดูข้อสุดท้ายของวันนี้ ข้อที่ 3 ข้อที่ 3 นี่ มันเพิ่ม มันเพิ่มค่าหรือลดค่า จากลำดับนะคะ จากลำดับตัวที่ 1 แป๊บหนึ่ง จากตัวนีไปลำดับตัวที่ 2 อันนี้คือ a2 นะ อันนี้ a3 อันนี้ a4 ไป a5 ถามหา a ตัวที่ 6 คืออะไรตัวที่ 6 คืออะไร จาก 1 ไป ค่าหรือลดลง ลดลงนะ ลดลงเท่าไรเอ่ย 4 ใช่ไหมคะ แล้วตัวที่ 2 ไปตัวที่ 3 มันลดลงเท่าเดิมไหม -3 -4 เป็น -7 ลดลงอีก ลดอีกทีละ 4 เป็น -11 ลดลงทีละ 4 ก็เป็น -15 ถูกต้อง ดังนั้น ตัวนี้แน่นอนต้องลดลงเท่าไรคะ ลดลงอีก 4 ก็คือ -14 ขอโทษค่ะ ก็คือ -15 แล้วลบด้วย 4 ก็เท่ากับ -19 เป็นคำตอบ มีไหมคะคำตอบ สนุกมากมาย โอเค ส่วน 2 ข้อนี้ก็เป็นลักษณะของอนุกรม ครูว่าจะหยุดข้อ 3 ครูขออธิบายเพิ่มอีกสักข้อหนึ่งนะคะ ข้อ 5 จะชี้ให้เห็นนะคะ อธิบายให้เห็นให้พวกเราฝึกเป็นการบ้าน แต่จะไม่บอกคำตอบสุดท้ายนะคะ ลำดับถ้ามีเกิน 6 เทอมนะคะ ก็คือ 7 เทอม 8 เทอมขึ้นไป ถ้าเป็นลักษณะข้อสอบ กพ. มักจะเป็นลำดับผสม ลำดับผสมกัน 2 ชุดนะคะ อย่างเช่นตอนนี้ครูจะแรเงาตัวที่ 1 ตัวที่ 3 1, 3, 5 แล้วก็ตัวนี้ ถ้ามันมีลำดับตรงนี้ สังเกตนะคะ มันมีลำดับอยู่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ถามหาตัวที่ 8 ให้สันนิษฐานว่าผสมกัน 2 ชุด ชุดแรกก็คือตัวสีที่ครูแรเงานะคะ สีเหลือง ครูจะเขียนตัวสีน้ำเงิน ก็คือ 99 แล้วก็ 88 แล้วก็แล้วก็ 77 แล้วก็ 66 ในชุดนี้ครูก็เดาได้เลยว่าเป็นตัว 55 เป็น 44 ถัดไปเป็น 33 ถัดไปเป็น 22 ถัดไป 11 อันนี้คือชุดสี สีที่ครูแรเงา ตัวนี้ที่ครูแรเงา สีแดงตัวนี้นะคะ 100, 101, 103 แสดงว่าตัวโจทย์คำถามหาลำดับถัดไปของชุดสีอะไรคะ ชุดสีแดง 100, 101, 103 ตัวนี้เป็นตัวอะไรโจทย์ถามมาดูว่ามันเพิ่มค่า 100 ไป 101 มันบวกเท่าไหร่คะ ภากรณ์ตอบ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) คิดเร็วมากเลย ครูคิดไม่ทัน แป๊บหนึ่งนะ 101 ไปเป็น 103 บวก 2 มันเป็นการอินคริส 2 ชั้นนะคะ ตัวนี้ ในการเพิ่มค่าตัวถัดไปก็จะเป็น +3 ภากรณ์เก่งมากเลย ดังนั้น ตัวนี้ก็คือ 103 + 3 เท่ากับ 3 106 โอเค ตอบได้นะคะ นักศึกษาเก่งมาก ๆ เลย อเม(ซิ่ง) มาก ๆ เลย 106 ถ้าครูจะถามตัวถัดไปตัวนี้ค่ะ คือตัวอะไร ตัวถัดไปสีม่วง ก็คือตัวถัดมาของใครคะ ของลำดับแรกก็ต้องเป็นตัว 55 (พี่การ์ตูน) 55 ค่ะ วริษาตอบ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) โอเค แสดงว่าเก่งมากเลย เดี๋ยวพรุ่งนี้ไปสอบบรรจุรับราชการได้เลย นักศึกษาเก่งมาก อันนี้เป็นตัวอย่างข้อสอบ กพ. นะคะ ที่มันที่มันแตกต่างกันเรื่องที่เราเรียน แต่ว่ามันเกิดกระบวนการคิดอย่างมีเหตุมีผล หาความสัมพันธ์เชิงตัวเลขนะคะ โอเค โอเค ก็หาวแล้ว ชนัญกาญจน์ง่วงนอน โอเค ก็วันนี้ครูคงจะทบทวนเรื่องลำดับเรื่องอนุกรมแค่นี้นะคะ ในเนื้อหาส่วนอื่นก็ยังไม่อยู่ในเรื่องของการหาอนุกรมอนันต์ ซึ่งครูไม่ได้อธิบายให้เราฟังหรือทบทวนให้นะคะ เพื่อให้มันสัมพันธ์กับเวลาของเรานะคะ ให้เราหาผลรวม n เทอม ส่วนตัวอย่างที่ใช้เก็บคะแนนในเรื่องนี้ เดี๋ยวครูไปเพิ่มชิ้นงานใน Google ใน Google Classroom แต่ตอนนี้ครูขอทำชิ้นงานก่อน แต่ถ้าเกิดครูโพสต์ชิ้นงานลงไปเดี๋ยวครูไปแจ้งนักศึกษาในกลุ่ม หน้าก็คงจะให้พวกเราหยุดเคลียร์ชิ้นงานทุกอย่างนะคะ ก็คงจะจบการบรรยายหัวข้อนี้เท่านี้นะคะ แล้วจะนัดหมายสอบในสัปดาห์ถัดไปเดี๋ยวครูขออนุญาตประสานกับครูล่าม แล้วก็เจ้าหน้าที่ DSS ก่อนนะ ว่า คุณครูจะดำเนินการสอบอย่างไรได้ ถึงจะเหมาะสมกับนักเรียนทุก ๆ คนนะคะ เดี๋ยวครูขออนุญาตปรึกษาครูล่ามมีภาระกิจ ติดวิชาอื่น ๆ หรือไม่นะคะ โอเค ตอนนี้ก็ให้พวกเราเคลียร์ชิ้นงานตัวเอง เดี๋ยวครูจะสรุป สรุปตรวจงานคืนคะแนน ของศูนย์ DSS ใครส่งครบหรือขาดเหลือในส่วนไหน ขอเวลาครูดำเนินงานนิดหนึ่ง วันนี้ก็คงจะเท่านี้ มีคำถามไหมคะ วันนี้มีใครขาดบ้างคะ น้องอุ๋ย เดี๋ยวนะ Print Screen โอเค เดี๋ยวก่อนไปทานข้าวเที่ยง ขออนุญาตเปิดกล้องได้ไหมคะ ชมหน้าตาพวกเราสิ เป็นอย่างไรสุขสบายไหม สะดวกเปิดกล้องไหมคะ ตี๋สั้นหิวข้าวยัง (สันติภาพ) ครับ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) เมื่อวานเจอเมื่อวานเจอตี๋สั้นเดินไปซื้อกับข้าว ฝนตกต้องรักษาสุขภาพนะคะ ทุกคนเลย ฝนตกอากาศเปลี่ยนแปลง ก็ขอบคุณคุณครูล่ามทุกท่านนะคะ ที่ช่วย ก็ปิดคอร์สนี้ก็คงจะปิดคอร์สเท่านี้นะคะ แต่ก็จะประสานกับคุณครูล่าม DSS เพื่อดำเนินการสอบต่อไปนะคะ ก็ขอบคุณคุณครูล่ามทุกคน ตั้งใจเรียนนะคะ ครูก็ขอปิดคอร์สเท่านี้นะคะ สวัสดีค่ะ (พี่การ์ตูน) ขอบคุณค่ะ สวัสดีค่ะ (อาจารย์ชนัญกาญจน์) สวัสดีค่ะ สวัสดีค่ะ [สิ้นสุดการถอดความ] Ր