---
title: ค32102 คณิตศาสตร์ ม.5/2 (เช้า) 081266
subtitle: 
date: วันศุกร์ที่ 8 ธันวาคม 2566  เวลา 10.30 น.
---

								(ข้อความสดจากระบบถอดความเสียงพูดทางไกล)
ไปแข่งคิดไบร์ท แล้วก็นักเรียนที่ไม่สบายด้วยวันนี้ครูอยากให้ลูกทั้งสองคนนะตั้งใจตั้งใจเรียนนะคะ ครูจะทบทวนสัปดาห์ที่แล้วว่าครูสอนเรื่องอะไรไปบ้างนะคะ แล้วก็มาเริ่มเรียน วันนี้ที่เราจะเรียนนี่ ต้องใช้ความสนใจ แล้วก็ตั้งใจมาก ๆ เลยนะคะ เพราะว่า ถ้าลูกไม่สนใจไปนิดหนึ่ง มองไปที่อื่น ไม่มองพี่ล่าม ไม่มองตรงที่หน้าจอที่ครูพาทำ ลูก ๆ ก็จะงง ว่า เอ๊ะ ค่านี้มันมาจากไหน วิธีการคิดคิดอย่างไรนะคะ เพราะฉะนั้น ฝากลูก ๆ ให้ตั้งใจดูนะคะ เรามาทบทวนกัน สัปดาห์ที่แล้วสำหรับนักเรียนที่ไม่อยู่นะคะ ลำดับแต่ก่อนนี้มันคือฟังก์ชันเป็นคู่อันดับใช่ไหมคะ แล้วมันจะมาเป็นคู่เป็นคู่ ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของในคู่อันดับ ก็คือเลข 1 ใช่ไหมคะ ฟังก์ชันคู่อันดับมันจะเริ่มจาก 1 เสมอ 1 2 3 4 5 ไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้น อันนี้สิ่งที่ลูกจะต้องเข้าใจ Concept เองนะคะ ให้รู้ให้ได้ ว่าเริ่มแรก คือ 1 นะ รู้เองมันจะเป็นแบบนี้เสมอ ๆ เพราะฉะนั้น ไม่จำเป็นจะต้องเขียนเลข 1 เลข 2 เลข 3 แล้ว ครูนะคะ จะตัด 1 2 3 นี่ออกไป แล้วก็วงเล็บก็จะตัดออกไป สิ่งที่จะมาเขียนลำดับ ครูจะเอาตัวที่อยู่ข้างหลัง ตัวที่อยู่ข้างหลังมาเขียน อย่างเช่น ลำดับตัวนี้ลูก มันมาจากคู่อันดับ คือในวงเล็บ 1 9 ใช่ไหมคะ ตัวที่ 2 ก็คือในวงเล็บ 20 18 ในวงเล็บ 3 27มันเริ่มจาก 1 เสมอ เพราะฉะนั้น ครูจะตัดออก ครูเอา 1 ออกเอา 2 ออกเอา 3 ออกเอา 4 ออกนะคะ มันก็เลยเหลือแต่ตัวเลขที่อยู่ข้างหลัง เข้าใจนะ เมื่อตัวเลขที่อยู่ข้างหลังเหลือเท่านี้ มันมีเหลือแค่นี้แหละ ทีนี้สัญลักษณ์ที่เพิ่มเข้ามา คือพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 พจน์ที่ 3 สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เข้ามาเพิ่มนะคะ พจน์ที่ 1 คือ A1 สัญลักษณ์ A1 นี่ เวลาเขียนนะลูก เสร็จแล้วเลข 1 จะห้อยอยู่ท้ายนะคะ เราจะไม่เขียนเลข 1 ขึ้นมาเสมอเท่ากับ A เราจะเขียนต่อท้ายลงไปท้าย A นะคะ วิธีการเขียน A1 หมายถึงตำแหน่งที่ 1 ตำแหน่งที่ 1 ของลำดับ เพราะฉะนั้น ลูกก็นับไป มันคือค่าอะไรคะ มันคือเลข 9 ตรงกับ 9 ก็คือ a1 นั่นเองนะ ทีนี้ a2 ล่ะลูก a2 ก็เหมือนกัน ตำแหน่งที่ 2 ใช่คำตอบคือ 18 นั่นเอง เข้าใจนะคะ a3 a3 เท่าไร a3 นับมา 1 2 3 มันตรงกับ 27 ใช่ไหมคะ มันตรงกับ 27 คำตอบของ a3 ก็คือ 27 แล้ว a4 เท่าไรลูก ถูกต้อง a4 ก็คือ 36 นะคะ a5 45 แล้ว a6 เท่าไหร่ 54 เยี่ยมนะคะ ง่ายไหม อันนี้ง่ายไหม ง่ายนะคะ เมื่อไหร่ก็ตามที่ครูให้ลำดับมาปุ๊บ แล้วครูให้หาตำแหน่ง a1 a2 a3 หรือแม้กระทั่ง a ต่าง ๆ ยังตัวนี้จบไหมคะ มันเป็นลำดับที่สิ้นสุดไหม สิ้นสุดเพราะอะไร สังเกตตรงไหน เพราะว่า ข้างหลัง 54 นี่ ตัวเลข 54 มันไม่มี ... ต่อท้าย เพราะฉะนั้น ตัวนี้คือลำดับจำกัดนะคะ ก็คือจบอยู่แค่นี้ มันมีแค่ a6 เท่านั้นไม่มี a7 ต่อ เข้าใจนะ ทีนี้มาดูลำดับอีกตัวอย่างหนึ่งนะคะ ตัวอย่างที่ 2 เห็นไหมคะ ว่าตัวสุดท้ายมันมี ... อยู่ใช่ไหมคะ ... จุดนี้ แสดงว่ามันจบหรือไม่จบ ยังไม่จบนะคะ มันจบยังเลย มันมีตัวเลขต่อไป ข้างหลัง มันต่อตัวเลขต่อไปคืออะไรล่ะ วิธีการคิด คิดอย่างไรลูก เราจะคิดอย่างไร แต่ที่แน่ ๆ เรารู้แล้ว a1 a1 คือเท่าไรคะ a1 คือเท่าไรลูก a1 คือ 5 ใช่ ดูง่ายมากเลย ตำแหน่งที่ 1 คือ 5 a1 7 คือ  คือ 13 คือเท่าไร คะa6 ก็คือตัวที่ติดกับ 13 เนี่ยคือเท่าไหร่15บางคนบอก 16 บอกเท่าไร ลูกเท่าไร 17เ หรอ เอาจริง ๆ หลากหลายคำตอบมาก 18 แล้ว 16 หาวิธีการคิด 15 ก็มี เพื่อนบอก 15 ก็มี ลูกดูนะ วิธีการทำอย่างไร ครั้งที่แล้วครูบอกแล้วใช่ไหม หาผลต่างร่วม ก็คือสัญลักษณ์ d ตัว d คืออะไร ของลำดับนี้ ลูกดูนะ 5 7 9 11 ลำดับนี้มันเพิ่มขึ้นหรือมันลดลง มันเพิ่มขึ้น ใช่ มันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ นะคะ มันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้น ค่า d จะต้องเป็นบวกเสมอนะลูก ค่า d จะต้องเป็นบวกเมื่อมีค่าเพิ่มขึ้น ทีนี้ 7 กับ 5 ที่อยู่ชิดกัน 7 ลบออก 5 เหลือเท่าไร มันเพิ่มเท่าไรคะ มันเพิ่ม 12 หรือเพิ่ม 2 เอาดี ๆ มันเพิ่มอะไรคะ 7 ไม่ใช่บวกนะลูก  7 เอาออก 5 บวกเท่าไร 2 ถูกต้อง 2 นั่นเอง ก็หมายถึง 5 นี่มัน บวกมา 2 ใช่ไหมคะ บ้าน + 25 + 2 = 7 ตัวเลขออกมา 7 + กับ 2 มันก็จะเพิ่มทีละ 2 ทีละ 2 ทีละ 2 ไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้น A6 ตัวนี้หมายถึง 13 เท่าไรลูก 13 บวกเท่าไร คะ 13 + 2 คำตอบคือเท่าไร 15 นั้นเอง a6 = 15 แต่มันยังไม่จบนะ ถ้าครูจะถามว่ าลำดับนี้ ที่ a50 คืออะไร a50 คือแรกเท่าไร เท่าไร ลูกตอบได้ไหม ลูกสามารถคิดแล้วก็ตอบครูได้ไหม ประมาณทีละเท่าไร เราประมาณไม่ได้ เราจะต้องคิด เราก็ต้องทำทีละลำดับทีละลำดับใช่ไหมคะ เราบวกมาเรื่อย ๆ เรื่อย ๆ ตอนนี้เราได้ a6 แล้ว เราก็ต้องหา a7 a8 a9 a10 ไปเรื่อย ๆ จนถึง aa49 มีค่าเท่ากับเท่าไร เมื่อเราบวกไปเรื่อย ๆ ก็คือ +2 +2 +2 ไปเรื่อย ๆ นะคะ จนถึง a49 เราก็จะสามารถหา a50 ได้ a50 หมายถึง a49 + 2 มันก็จะเท่ากับ a50 นั่นเอง แต่ถ้าแบบนี้นานไหมลูก นาน มันนานมากกว่าจะมาบวกทีละลำดับบวกไปเรื่อย ๆ ใช่ไหม ดีมาก เพียวถามว่าเทคนิคที่มันง่ายขึ้นใช่ไหม วันนี้แหละลูกสิ่งที่เราจะเรียนนะคะ เราจะมาหาพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ หามันจะเขียนพจน์ทั่วไปอย่างไร วิธีการคิดนะคะ จะทำอย่างไรพจน์ทั่วไปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ก็คือ an นะคะ an คือพจน์ทั่วไปนะคะ ก่อนอื่นเรามาทวนเรื่องของผลต่างก่อนนะลูก ผลต่างตัวนี้ สำหรับเพื่อนที่ยังไม่มาสัปดาห์ที่แล้ว เมื่อครูกำหนดลำดับมาให้ลำดับหนึ่ง ลูกจะต้องหาให้ได้ เพราะมันสำคัญมากในการหา an นะคะ หาพจน์ทั่วไปมันสำคัญมาก ลูกจะต้องหา d ให้ได้ หาผลต่างร่วมให้ได้ของลำดับ จากที่สังเกตดู 1 4 10 13 มันเพิ่มขึ้นใช่ไหม เพิ่มขึ้นไหมคะ มันเพิ่มขึ้น เพราะฉะนั้น d เป็นอะไรเป็นบวกหรือเป็นลบ ค่า d จะเป็นบวกหรือเป็นลบ มันเพิ่มขึ้นนะ ค่า d เป็นบวกหรือเป็นลบ เป็นบวกนะคะ ค่า d มันจะเป็นบวกเสมอ ถ้าลำดับมันเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ นะคะ ที่นี้วิธีการหาค่า d หาอย่างไร ตัวนี้คู่แรก ลำดับ a1 a2 นะคะ เอามาลบกัน เราจะต้องเอาตำแหน่ง a2 ที่มากกว่าถัดไปนะคะ ตั้งแล้วลบด้วย a1 4 ลบออก 1 เหลือ 3 ถูกต้อง ใช่ ตำแหน่งกับค่า ดู สลับกัน มันจะต้องสลับกัน เอาตัวที่อยู่ข้างหลังมาตั้งข้างหน้าแล้วลบกัน โดยนำตัวข้างหน้ามาลบออก เข้าใจนะวิธีการ คู่นี้ลงมาตรงนี้ คู่ที่ 2 7 - 4 นะคะ ก็เหลือ 3 เท่ากัน ต่อมาคู่นี้ 10 ลบออก 7 ก็เหลือ 3 คู่สุดท้าย 10 กับ 13 ลูก 10 กับ กะ 13คำตอบ 3 เหมือนกันไหมคะ แต่ละคู่เหมือนกันหรือต่างกัน เหมือนกัน เพราะฉะนั้น สรุปได้เลย ว่า d เท่ากับ 3 นะคะ d = 3 โอเคนะ สิ่งที่ลูกจะมาเห็นแล้วลูกจะงง ลูกจะงงว่าคำตอบมันคืออะไรกันแน่นะคะ คำตอบมันคืออะไรกันแน่ ก็คือผลต่างร่วม เมื่อลำดับนั้นเป็นลำดับที่มีการลดลงไปเรื่อย ๆ การลดเห็นไหม 6 2 - 2 - 6 มันลดลงไป เมื่อไหร่ก็ตามที่ลำดับนั้นมันลดลงไปลูก ค่า d มันคือติดลบนะคะ ค่า d จะต้องติดลบเสมอห้ามลืม จำให้ได้นะคะ รู้ให้ได้เลย Concept มันมีแค่นี้ ถ้ามันเพิ่มขึ้นค่า d เป็นบวก ถ้ามันลดลงค่า d เป็นลบ เข้าใจนะ ทีนี้มาดูวิธีการขั้นตอนการคิด คิดเหมือนกันเลย ลูกมาดูคู่แรก 6 กับ 2 เราจะต้องเอาตำแหน่งที่อยู่ข้างหลังมาตั้งก่อน 2 ลบออก 6 2 ลบออก 6 มันเหลือเท่าไร มันเหลือ 4 ก็จริงนะคะ ดู มันเหลือ 4 น้องเพียวตอบถูกแล้ว มันต่างกัน 4 แต่ทีนี้มาดูสัญลักษณ์ข้างหน้า 2 นี่มันเป็นบวกใช่ไหม พวกนี้มันเป็นลบลูก ตัวที่มากกว่ามันติดลบ เพราฉะนั้นเราอย่าลืมนะคะ เอาสัญลักษณ์ลบนี่ มาใส่ข้างหน้าคำตอบที่เราหาได้ก็คือ 4 นี่ อยู่ว่าเลข 6 กับเลข 2 สัญลักษณ์ข้างหน้านะ ตัวที่มากกว่าน่ะ มันคืออะไรนะคะ อันนี้มันติดลบอยู่ เพราะฉะนั้น เวลาเราหาผลต่างออกมาแล้วปุ๊บนี่ได้ 4 ผลต่างได้ 4 ปุ๊บลบนี่ย้ายมาใส่คำตอบนี้ด้วย คู่นี้มันก็เลยกลายเป็นผลต่างระหว่าง 6 กับ 2 มันลดลง -4 เข้าใจนะ โอเค ทีนี้ มาคู่ต่อไปลู กมาคู่ต่อไป คู่ที่ 2 ลูกเห็นไหมคะ 2 กับ -2 ใช่ มันเป็นลบนั่นแหละ แต่ว่าค่าข้างหน้า อันนี้มันเป็นลบใช่ไหมคะ ค่าตัวที่ 2 ลบด้วย 2 ลบกับลบเหมือนหรือต่างกัน มันเหมือนกันลูก สัญลักษณ์ข้างหน้าก็เหมือน สัญลักษณ์ข้างหลังก็เหมือน มันเหมือนกัน เมื่อไหร่ก็ตามถ้าสัญลักษณ์มันเหมือนกันให้เอาตัวเลขน่ะมารวมกันเลย ไม่ต้องเอามาลบนะ เอามารวมกัน จำให้ได้ข้อแรกนี่ย สัญลักษณ์ข้างหน้ามันต่างกัน ลูกก็เลยเอามาลบออก เอาตัวที่มากกว่าตั้ง แล้วเอาตัวน้อยมาลบ แต่ในขณะที่ตัวนี้สัญลักษณ์มันเหมือนกันลูก พอมันเหมือนกัน เอามารวมเลยไม่ต้องมาลบนะคะ 2 กับ 2 มารวมกันได้เท่าไรคะ2 กับ 2 รวมกันเท่ากับ 4 ทีนี้สัญลักษณ์มันติดลบลูก เอาสัญลักษณ์ทั้ง 2... ใช่ สัญลักษณ์ข้างหน้าเนี่ยมันเป็นลบเป็นลบ เอาลบลงมาด้วย ดึงลบลงมาเลยนะคะ จากที่เราหาคำตอบได้แล้ว เป็นอย่างไรอันแรกคู่แรกก็เท่ากับ -4 คู่ที่ 2 ก็เท่ากับ - 4 เข้าใจนะ  ค่า d คือเท่าไร่Credit คือคดีคือเท่าไหร่คะค่าที่มันเหมือนกันเสียเฉย ๆ ได้ไหม ไม่ได้ต้องตอบว่าค่า d คือ -4 นั่นเองนะคะ ทีนี้เพื่อความชัวร์ลูกก็มาหาอีกคู่ต่อคู่สุดท้าย เพื่อชัวร์นะดูว่ามันถูกหรือเปล่าเช็กให้ได้ว่ามันถูกหรือเปล่านะคะ คู่นี้ -6 มาตั้ง ลบด้วย -2 สิ่งที่ลูกจะต้องดู เห็นไหม ลบกับลบมันอยู่ติดกัน วิธีการเราจะเปลี่ยนสัญลักษณ์นะคะ ลบ ลบมันอยู่ติดกัน มันอยู่ชิดกัน เราจะเปลี่ยนเครื่องหมายลบ เป็นเครื่องหมายบวก เพราะมีขีด 2 ขีดใช่ไหมลูก เอามารวมกันนะคะ เลข 6 ไม่ต้องไปแตะมันเพราะมันอยู่ข้างหน้า ให้ดูว่าลบกับลบนี่มันอยู่ชิดกัน มันอยู่ด้วยกันแบบนี้นะคะ อันนี้เป็นการบวกนะ เป็นการรวม ดูนะ โอเคไหม ข้างหน้ายังไม่ต้องดู เพราะว่า ข้างหน้ามันไม่มีตัวสัญลักษณ์มาอยู่ข้างหน้าอยู่แล้ว มันไม่เกี่ยว ให้มาดูตัวข้างหลังนะคะ ตัวข้างหลังนี่ ว่ามันลบกับลบนี่ ให้มันเปลี่ยนเป็นบวกเสีย ทีนี้ Step เดิมเหมือนกับข้อที่แล้ว ที่ครูถาม ว่า-6 + 2 สัญลักษณ์ข้างหน้าเหมือนหรือต่างกัน นี่อันนี้เป็นลบอันนี้เป็นบวกเหมือนหรือต่างกันลูก มันต่างกัน ใช่ พอมันต่างกันปุ๊บให้เอามาลบใช่ไหมคะ ให้เอามาลบ เมื่อมันต่างกันเราจะต้องเอามาลบ โดยดูว่าค่าไหนมันมากกว่า 6 กับ 2 อันไหนมากกว่า ทีนี้จะเป็นตัวตั้งละ ตัว 6 ใช่ไหม 6 นี่มันมากกว่า 2 อยู่แล้ว เอา 6 มาตั้ง ไม่ต้องไปสนใจสัญลักษณ์แล้วลูก เอา 6 มาตั้งแล้วเอา 2 ไปลบออกเหลือเท่าไรคะ เหลือ 4 ถูกต้อง ผลต่างมันคือ 4 เสร็จแล้วก็ดึงตัวที่มันมากกว่านี่สัญลักษณ์ข้างหน้ามันคืออะไร ลบใช่ไหมคะ ใช่ ขั้นตอนแรกที่จะไปโฟกัส ก่อนที่ลูกจะไปโฟกัส ว่าตัวเลขไหนมากหรือน้อย ลูกจะต้องมาดูก่อน ว่าสัญลักษณ์น่ะ ของ 2 ตัวที่เราเอามาหาผลต่างน่ะ มันเหมือนกันไหม ถ้ามันเป็นบวกกับบวก อันนี้ลูกไม่ต้องมาเปรียบเทียบ ถ้าเป็นบวกกับบวกลูกเอามารวมกันเลย เข้าใจนะคะ ถ้าเป็นเลขเหมือนกันคือตัวไหนคะ ถ้ามันติดลบด้วยกัน มันก็จะออกมาเป็นลบ สัญลักษณ์ลบตัวนี้มันมาอยู่แล้ว ถ้าลบกับลบ ลูกจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายลบที่มันอยู่ทชิเป็นเครื่องหมายบวกก่อน เพราะฉะนั้น ค่ามันก็เลยเป็นอย่างไรคะ มันต่างกันอยู่แล้ว เห็นไหม ลบกับลบอยู่ชิดกัน เราก็จะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก เป็นเครื่องหมายบวกเสร็จปุ๊บ ลูกมาสังเกตข้างหน้าเป็นลบ ข้างหลังเป็นบวก มันต่างกันอยู่แล้วใช่ไหมคะ เพราะมันต่างกันเอามาลบเลย เอามาหาผลต่าง โดยการนำตัวเลขที่มากกว่านี่ไปอยู่ข้างบน แล้วเอาตัวเลขที่น้อยนี่อยู่ข้างล่างลบออก มันก็เหลือ 4 ที่สำคัญเมื่อมันมีสัญลักษณ์ที่ต่างกัน ตัวเลขที่มันมากกว่านี่ สัญลักษณ์คืออะไร มันติดลบใช่ไหมคะ มันติดลบ เพราะฉะนั้น ต้องเอาลบมาด้วย คำตอบก็เลยกลายเป็น -4 นั่นเอง แต่คู่ที่ 1 คู่ที่ 2 คู่ที่ 3 เหมือนกันไหมลูก เหมือนกัน คำตอบคือ d = -4 นั่นเองทีนี้ อันนี้คือทวนนะลูก หา d เรียบร้อย ตำแหน่งที่ a1 รู้และ วันนี้เราจะเรียนเรื่องการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต วันนี้สิ่งที่ลูกจะต้องทำ ก็คือหาพจน์ทั่วไปของลำดับที่ครูกำหนดให้ได้ 2. ก็คือหาพจน์ที่ n ที่ครูระบุให้ให้ได้นะคะ อย่างเช่นตัวอย่างเมื่อกี้ที่ครูบอก ว่าถ้าครูอยากได้ a50 ลูกจะหาได้ไหม จะตอบครูได้หรือเปล่า มันตอบได้ ถ้าลูกหา a ข้อแรกหา a n หาข้อแรกได้หาพจน์ทั่วไปได้ก็จะสามารถหา a50 ให้ครูได้ง่ายมาก ใช่ ถ้าลูกจะมาเขียนทีละลำดับ a1 a2 a3 ไปเรื่อย ๆ ไปเรื่อย ๆ นี่ กว่าจะไปหาจนถึงตัว a50 ใช่ไหมลูก นานมันหลายมันหลายบวกนะคะ ใช่ มันนานมากนานมากเลย กว่าจะหาได้เสียเวลา แต่ถ้าลูกมาหา Concept หา n หา an นะคะ n ได้ปุ๊บนี่ ลูกสามารถแทนค่าตัว n = 50 นี่ ลงไปในสูตรได้เลยลูกก็จะหาได้ง่าย ทีนี้มาดูสูตร ดูสูตรนะ ตัวนี้ต้องจำให้ได้ อันนี้คือสูตรการหาพจน์ทั่วไป พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตนะคะ เท่ากับ a1 บวกด้วยในวงเล็บ n - 1 คูณด้วย d สิ่งที่เราจะรู้ คือตำแหน่ง a1 ใช่ไหมคะ a1 เรารู้อยู่แล้ว d เราก็รู้ด้วย เพราะเราหาได้ใช่ไหมลูก โอเคนะ เดี๋ยวครูจะให้ตัวอย่างเสร็จแล้วครูจะให้ลูกมาทำ ครูจะพาทำก่อนอันแรก ใช่ ข้อแรกอันนี้คือโจทย์ที่ครูให้ พจน์ลำดับที่ครูให้มา คือ 2 4 6 8 และ 10 พจน์ทั่วไป สูตรมาแบบนี้ สิ่งที่เราจะต้องหาเริ่มแรกเลยของลำดับ เราจะต้องตอบให้ได้ว่า a1 คือเท่าไรลูก ของลำดับนี้ a1 คือเท่าไรคะ คือเลขอะไร เลข 2 ถูกต้อง ฟ1 คือเลข 2 d ล่ะD เท่าไร ทำไมได้ 2 เราก็เอามาลบสิ หาผลต่างใช่ไหมคะ 4 ลบออก 2 ก็เท่ากับ 2 6 - 4 ก็เหลือ 2 8 - 6 = 2 10 - 8 = 2 เพราะฉะนั้น สรุปได้เลยว่า d d ตัวนี้เท่ากับ 2 นั่นเอง เข้าใจนะ เพราะเราหา a1 ได้แล้วหา D ได้แล้วลูกแทนค่าลงไปเลยจากสูตรนะคะ ลำดับนี้ an = a1 = 2 เอา 2 ที่เราหาได้นี่ มาแทนค่าลงไปในสูตรเลย เป็นเลข 2เ สร็จแล้วบวก สัญลักษณ์บวกตัวนี้ดึงลงมานะคะ ใน 

(n -1) ก็ดึงลงมาอันนี้ไม่ต้องไปแตะนะคะ ดึงลงมาเลย แต่ d ตัวนี้ d ตัวนี้เราจะต้องเปลี่ยนใช่ไหมคะ ลองหาค่าได้แล้วนี่ไง d คือเราหาได้แล้วคือ แล้วก็เอาเลข 2 มาแทนค่า d ตรงนี้ลูกที่ตรงนี้นะเราก็เขียนเลข 2 แทน d ลงไป เข้าใจนะ ลำดับนี้เขียนมา พอมาลำดับที่ 2 ปุ๊บแถวที่ 2 ปุ๊บแทนค่า a1 แทนค่า d ลงไป ใส่ตัวเลข ตัวอื่นเหมือนกันหมดเลย ไม่ต้องไปแตะต้องเขา ก็คือดึงลอกลงมาเหมือนเดิมนะคะ เสร็จแล้ววิธีการ เมื่อไหร่ก็ตามถ้ามันเป็นวงเล็บแล้วชิดกันแบบนี้ มันหมายถึงการคูณนะคะ เราก็จะคูณตัวเข้าไปนี่ 2n กับ 2 เอามาคูณกัน ตัวที่อยู่ข้างใน 1 กับ 2 เอามาคูณกันนะคะ นะคะ วิธีการทำอย่างไร ลงมาเหมือนเดิมนะคะ แถวที่ 3 an2 มันเดิมดึงลงมานะคะ 2 นี่ ดึงลงมามาบวกสัญลักษณ์เหมือนเดิม ในวงเล็บทำอย่างไร an กับ 2 มันหมายถึงการคูณ เมื่อไหร่ก็ตามที่ติดวงเล็บติดกัน ตัวเลขมันติดกันนะคะ มันหมายถึงการคูณนะคะ จำให้ได้มันหมายถึงการคูณ พอมันเป็นการคูณเป็น คูณ 2 นะคะ ก็เท่ากับเอาตัวเลขส่วนมากเขาจะนิยมเขียนเอาตัวเลขมาก่อนเมื่อก่อนตัวอักษรนะคะ จริง ๆ จะเขียน 2n หรือ n2 ก็ไม่ผิด ตำแหน่งมันคูณมันค่าคำตอบเท่ากัน แต่... คนปกติทั่วไปเขาก็นิยมเขียนตัวเลขขึ้นมาก่อน เข้าใจนะคะ คนทั่วไป คือครูจะบอกว่าส่วนมากเวลาสัญลักษณ์มานะ เขาจะเอาตัวเลขขึ้นมาก่อนตัวอักษร การคูณคำตอบมันจะได้เท่ากันนั่นแหละลูก แต่อย่างนี้ n มันอยู่ข้างหน้าเลข 2 ตอนที่อยู่ในวงเล็บ เพราะฉะนั้น เวลาเราเขียนแล้วก็เขียนให้มันง่าย ๆ ก็คือ 2n ความหมายมันเหมือนกัน n2 นะลูกแค่สลับที่เพราะการคูณคำตอบได้มันเหมือนกัน เข้าใจนะคะ เสร็จแล้วลบตรงนี้ในวงเล็บ ห้ามลืมดึงลงมานะลูก ลบดึงลงมาเลยข้างล่า งแถวที่ 2 กับแถวที่ 3 เสร็จแล้ว ตัวนี้วงเล็บนี้หมายถึง โอเคนะ ถัลงมาใน ก็คือเอา 1 ตัวนี้มาคูณกับ 2 นะคะ คำตอบมันคืออะไร ถัดลงมาในบรรทัดที่ 4 เลข 2 เหมือนเดิมลูกเอาลงมา 2 n ดึงลงมา 1 กับ 2 คูณกันได้เท่าไรก็ได้ 2 เท่ากันถูกต้อง พอมาเป็นแถว ๆ นี้บรรทัดที่ 5 ลูกอะไรที่มันหายไป ลูกสังเกตดี ๆ นะ ทำไมมันเหลือแค่ 2n เพราะว่า 2 ข้างหน้า กับ 2 ข้างหลัง ข้างหน้ามันเป็นบวกใช่ไหม 2 ลบออก 2 เหลือเท่าไร 2 ลบออก 2 เหลือเท่าไร คะ เหลือ 0 เพราะฉะนั้น บวกด้วย 0 ได้ไหม เขียนน่ะได้ แต่ความหมายมันก็คือว่าง ๆ ว่าง่ายมันไม่มีความหมายอะไร เพราะ 0 เอาไปบวก หรือเอาไปลบมันก็เท่ากับตัวเดิมใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น เขาก็เลยไม่นิยมเขียน เขาไม่นิยมเขียนนะลูก 0 นี่ไม่ต้องเอามาเขียนใส่เลยเข้าใจนะ มันก็เลยเหลือแค่ 2n โอเคนะ อันนี้คือพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ ลำดับที่โจทย์ให้มา เข้าใจหรือยัง ตัวนี้คือ an = 2n ครูจะให้ตรวจคำตอบดู ตรวจคำตอบ หรือว่ามันทำถูกหรือเปล่า พจน์ทั่วไปเดี๋ยวมันถูกหรือเปล่าที่เราหานะคะ เราลองดูนะ อย่างที่บอก อันนี้คือพจน์ทั่วไปของลำดับนี้ที่เราหามาได้ an = 2n ลูก หามาได้ a1 a1 a1 คือตำแหน่งนี้ใช่ไหม a1 จะเท่ากับ 2 จริงหรือเปล่านะ แล้วก็แทงค่าลงไปเลยนะคะ จากพจน์ทั่วไปเร็วหาได้เท่ากับ 2n เท่ากับ 1 นะ ถ้าเราหาตำแหน่งที่ 1 พจน์ที่ 1 นะคะ n = 1 2 คูณในวงเล็บ n จะต้องตรงกันนะ 1 ต้องเป็น 1 ถ้าเมื่อไหร่เป็น 2 ตรงนี้ n ก็เท่ากับ 2 เหมือนกัน  a1 แล้วเท่ากับ 2 คูณด้วย 2 อันนี้ไม่ได้ผิดนะคะ  n ตัวข้างหน้าคือตัวเลขอะไร ตัวข้างหลังจะต้องเหมือนกัน จะต้องเป็นตัวเดียวกัน ใช่ อันนี้คือ Concept นะ ลูกต้องดูให้ได้ ห้ามเขียนสลับกันนะคะ 1 ข้างหลังก็เป็น 1 เหมือนกัน เพราะฉะนั้น 2 x 1 ได้เท่าไร 2 x 1 ก็เท่ากับ 2 ตำแหน่งที่ a1 a1 คือ 2 ถูกไหม ตรงกันไหมคะ a1 คือ 2 ตรงกันไหมคะ ตรงกัน ผ่าน ลองไปดูสิ a2 ตำแหน่งที่ 2 ล่ะ ตรงกันหรือเปล่า เลข 2 a2 = 2 คูณด้วย 2 2 x 2 = 4 ตำแหน่งที่ 2 ตรงกันไหมคะ ตรง ตำแหน่งที่ 3 ตรงกันไหมคะ ตรง ที่นี้มันง่ายแล้ว ถ้าสมมติว่าลำดับนี้เป็นลำดับอนันต์ มันก็จะมี ... อยู่ข้างหลังถูกไหมคะ ถ้าครูจะให้ลูกหาตำแหน่งที่ a50 a50 นะ หา a50 เท่ากับเท่าไร สมมติ สมมติว่าลำดับนี้ เป็นลำดับอนันต์ ถ้าเป็นลำดับอนันต์ เมื่อมันมีพจน์ทั่วไป an = 2n เราหาได้ไหมคะ a50 หาได้ไหม หาได้ไหม ได้ ได้ มันหาได้ ได้ตรงไหนลูก n50 เพราะฉะนั้น ตัวนี้ a50 2 คูณด้วยเท่าไรคะ ตัวนี้ 2 คูญในวงเล็บคืออะไร 50 เหมือนกันถูกไหม จำให้ได้นะ ลูกเอ็นข้างหน้ามันเท่ากับ 50 n ตัวข้างหลังก็ต้องเท่ากับ 50 เหมือนกัน เพราะฉะนั้น มันเท่ากับเท่าไร 50 ป 2 เป็นเท่าไร 50 x 2 เป็นเท่าไร 100 นั่นเอง ใช่ ถูกแล้ว เก่งมาก อิ๋วตอบถูกนะคะ 50 x 2 ก็คือเอา 50 50 มารวมกันเป็นเท่าไร 100 a50 = 100 เป็นอย่างไรคะ ย่นเวลาหาไหม แทนที่เราจะมาบวกเพิ่มทีละ 2 ทีละ 2 ทีละ 2 ทีละ 2 ลองมาแทนค่าตรงนี้เลยถ้าเราหาพจน์ทั่วไปได้ของลำดับ ทีนี้ครูถาม ถ้าเราจะหา a100 ได้ไหม a100 ทำได้ไหม หา a ตำแหน่งที่ 100 ได้ไหมคะ ทำได้ โดยเปลี่ยน n ก็คือเอา 2 คูณกับ 100 ถูกไหมคะ มันก็จะได้คำตอบ ตำแหน่งที่ 100 บาทนี่ มันมีค่าเท่ากับเท่าไร อันนี้คือวิธีการหา เข้าใจนะ โอเค มาช่วงทำกิจกรรมแบบฝึกแล้ว ครูมีแบบฝึกมาให้ลูกทั้งหมดอยู่ 5 ข้อ ยัง ๆ ยังไม่ให้ดู เดี๋ยวครูจะให้ดูนะคะ แต่ก่อนจะดูถามก่อนว่าขั้นตอนของวิธีการคิดหาพจน์ทั่วไป อันดับแรกลูกจะต้องรู้อะไรคะ ก็คือค่า d หาผลต่างใช่ไหมคะ หาค่า d ก่อน เมื่อครูให้ลำดับมา ปุ๊บ ลูกจะต้องไปหาค่า d ค่า d คืออะไร ถ้ามันเพิ่มขึ้นเป็นบวกหรือเป็นลบ เป็นบวก แต่ถ้าค่า d มันลดลงเป็นลบใช่ไหมคะ เสร็จแล้วลูกหาค่า d ได้ และที่สำคัญเมื่อให้ลำดับมา ตัวเลขที่ลูกจะต้องรู้อีกตัวหนึ่งก็คืออะไรคะ 1d 2 คืออะไร ค่าอะไรคะ มีอะไรคะ จากสูตรเลยจาก สูตรเลยจำได้ไหม สูตรคืออะไร a1 ลูกจะต้องระบุให้ได้ ว่า a1 น่ะคือถ้าค่าเท่าไร เข้าใจนะ ลองทำแบบฝึกดู ใครอยากออกมาทำข้อนี้ ลองหา an แล้วก็ทดสอบ ว่ามันถูกต้องหรือเปล่านะคะ มาตรวจสอบดู ว่า an ที่ลูกหาได้น่ะ มันถูกไหม จากโจทย์นี่ลูก พจน์ทั่วไปหาได้อย่างไร ลูกจะต้องจำสูตรนี้ an = a1 บวกในวงเล็บ -1 คูณด้วยดีนะ วันนี้ปุ๊บเนี่ยสิ่งที่ต้องหาอันดับแรก a1 เท่าไหร่คะ 11 ถูกต้อง a1 คือ 11 อยู่แล้ว ใช่ ทีนี้ d เท่าไร ค่า d เท่าไรคะ หาค่า d ลูก d คือ 2 ทำไม เพราะมันบวกมา 2 ทุกคู่เลยใช่ไหมคะ บวก 2 เหมือนกันหมดเลย นี่คือ + 2เ สร็จแล้วแทนค่าลงไปในสูตรนี้ เดี๋ยวครูจะลองทำพาทำบนกระดานนะคะ แล้วลูกตอบครูนะว่าลูกจะตอบถูกหรือเปล่านะคะ สูตรต้องจำให้แม่น ห้ามผิดนะคะ จำให้ได้ จำให้ได้ว่าพจน์ทั่วไปตัวนี้ห้ามลืม ถ้าลูกใส่สัญลักษณ์ผิดนั่นคือผิดเลยนะ an = a1 บวกด้วยใน 

(n - 1) d สิ่งที่เราหาได้แล้วคืออะไรคะ a1 ใช่ไหม เพราะฉะนั้น a1 จะต้องมาแทนค่าในนี้ แล้วบรรทัดที่ 2 เปลี่ยน a 1 เป็นเท่าไรคะ คือ 11 ใช่ไหม ก็เอา 11 ลงมานะคะ วงเล็บตรงนี้ไม่ต้องไปแตะเขา ดึงลงมาเลย n - 1 นี่ดึงลงมาเลยนะลูก d ค่าที่เราหาได้คือ 2 เห็นไหมบรรทัดที่ 2 เรียกครูเปลี่ยนแล้วนะเราเขียนสูตรมาเสร็จแล้วบรรทัดที่ 2 ครูเอาค่าที่เราหาได้นี่มาแทนค่าแล้ว a1 = 11 ครูก็เอาเลข 11 มาแทน a1 แล้ว d เท่ากับ 2 ครูก็เอา 2 มาแทนดีแล้ว ทีนี้บรรทัดที่ 3 คูณเข้าไปค่ะ เป็นวงเล็บใช่ไหม คูณเข้าไปที่ารเอามาเขียน 11 บวกลงมาเลย n คูณกับ 2 สลับกันเป็นเท่าไรคะ 2 อะไรเปลี่ยนเป็น 2n 2n เข้าใจนะ เมื่อไหร่ก็ตามนี่ไอ้ตัว n x 2 นี่ส่วนมากเขาจะนิยมดูแล้วก็เขียนง่ายก็คือ 2n นะคะ ความหมายเหมือนกันกับ n2 จะเขียนอย่างนี้ก็ได้ n2 ก็ได้ แต่เขาไม่นิยมกัน เขาจะเอาตัวเลขมาเขียนข้างหน้าตัวอักษรนะคะ แค่นั้นเอง ถามว่าผิดไหม ไม่ผิดนะคะ แต่ถ้าดูทั่วไปนี่ เขาจะนิยมเขียนเอาตัวเลขนี้มาอยู่ข้างหน้าตัวอักษรนะคะ ลบตัวนี้ในวงเล็บนี่ดึงลงมาเลยนะคะ ไม่ต้องเปลี่ยนนะคะ ลบตัวนี้ดึงลงมา ตัวนี้ 1 กับ 2 หมายถึงเอามาคูณกันถูกไหม 1 x 2ตัวนี้นะ 1 x 2 ได้ตัวนี้คือได้ 2 บรรทัดต่อมา 11 + 2n  - 2 ใช่ไหมคะ เพราะ ตัวนี้คูณกัน 1 กับ 2 คูณกันเท่ากับ 2 ได้เท่าไรลูก เอา 2n มาเขียนข้างหน้า อันนี้ 11 เป็นบวกใช่ไหมคะ ลบออก 2 เหลือเท่าไร มันเป็นจำนวนเหมือนกัน ไม่มีค่าที่เรา... ไม่มีตัวอักษร ถูกต้อง 9 มันเป็นบวกหรือเป็นลบ 9 เป็นบวกใช่ไหม ใช่ไหมลูก มันเหลือ 9 เป็นบวกหรือเป็นลบ 11 ตัวที่มากที่ลูกตั้งข้างหน้ามันสัญลักษณ์เป็นบวกใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น 9 ก็คือบวกนั่นเอง เข้าใจนะ อันนี้คือหาออกมาได้แล้ว an ทีนี้อยากรู้ ว่าไอ้ an ที่เราหาได้นะลูก พจน์ทั่วไปที่เราหาได้แล้วนี่ มันถูกหรือมันผิดนะ มันถูกไหม วิธีการหา ว่ามันถูกหรือมันผิดง่ายมาก เราเราก็ลองเอาพจน์ทั่วไปตัวนี้นะคะ มาแทนค่าหาตำแหน่ง สมมติในลำดับนี้เรารู้อยู่แล้ว ลองหาตำแหน่งที่ a3 สิ a3 เท่ากับ เท่าไรคะ ในลำดับนี้ a3 เท่าไหร่ลูกเลข 13 เหรอ a3 นะลูกไม่ใช่ 13 ดูดี ๆ ใช่ 15 ใช่แล้ว a3 คือ 15 ลูก โอเคถูกแล้ว a3 = 15 เราก็ลองเอาพจน์ทั่วไปตัวนี้มาวางก่อน an เท่ากับที่เราหาได้ลูก = 2nบวก 9 เนี่ย ถ้าเราหาตำแหน่งที่ A3นี่แทนค่าตัวนี้มา a3เท่ากับ 2n n ตัวนี้จะต้องตรงกันนะ n จะต้องตรงกันคือเลข 3 เหมือนกัน n ตัวนี้กับเป็นตัวนี้มันเหมือนกัน เพราะฉะนั้น ถ้าเราหา a3 ปุ๊บตัวนี้จะต้องเปลี่ยนเป็นเลข 3 นะคะ บวกด้วย 9คุณตันใช่มันเป็นวงเล็บหมายถึงการคูณ 2 * 3 ได้เท่าไหร่พกถูกต้องอะ 66 + 9 เอาลงมาได้เท่าไหร่ลูก1515กูถามว่าจากเราใช้พจน์ทั่วไปหาตำแหน่งที่ A3เท่ากันไหมคะเหมือนกันไหม 15 กับ 15 เหมือนกันไหมเหมือนกัน เพราะฉะนั้น แสดงว่าพจน์ทั่วไปที่เราหานี่ถูกต้องแล้ว ถูกต้องแล้ว เพราะอะไร เพราะเราทดสอบแล้ว เราทดสอบลองหาแล้วตำแหน่งที่ 3 นี่มันตรงกับลำดับนี้นะคะ ถ้าลูกยังไม่แน่ใจลูกลองหาพจน์ที่ 5 ก็ได้พจน์ที่ 5 มันคืออะไรคะ 19 ใช้ตัวนี้มาแล้วหาว่ามันไม่ได้คำตอบเท่ากับ 19 ไหม เข้าใจนะ ถ้ามันทำตอบตรงแสดงว่ามันถูกแล้ว พจน์ทั่วไปที่ลูกหาได้ โอเคนะ เข้าใจนะคะ โอเค ทีนี้ข้อที่ 1 ครูพาทำ ข้อที่ 2 ครูจะลองพาทำ หรือว่านักเรียนอยากทำเองคะ พี่เพียวบอกว่าอยากทำเองแล้ว ทำเอง เยี่ยมมาก เอาสมุดขึ้นมาแล้วจดข้อที่ 1 ลงไปก่อนลูก บันทึกข้อ 1 ให้เสร็จก่อน เสร็จแล้วเตรียมตัวทำข้อ 2 ครูจะให้จับคู่กันนะคะ ออกมาทำทีละคู่ทีละคู่ เหลืออีก 4 ข้อพอดีเลย 8 คนนะคะ พอดีเลย 8 คน ก่อนอื่นเขียนข้อที่ 1 ลงไปก่อน โอเคนะ ข้อที่ 2 เดี๋ยวใครจะมาทำ เดี๋ยวเรายกมือกันดีกว่า ให้ออกมาเป็นคู่นะคะ ลูก ๆ คะ มองกระดานนะลูก ที่ลูกได้ทำแล้ว ลูกทำแล้ว ก็คือข้อ 1 ข้อ 2 ข้อ 3 อันนี้ทำเสร็จเรียบร้อยแล้ว ข้อ 4 นะคะ มีเพื่อนทำเสร็จไป 2 คน ครูตรวจแล้ว ทำถูกด้วยนะคะ ทีนี้แบบฝึกข้อที่ 5 ข้อที่ 5 เดี๋ยว d เท่ากับเท่าไร a1 เท่ากับเท่าไรลูก อันนี้ทำเป็นการบ้านกล้อง a1 คือ 5 d ก็คือ 5 เท่ากันทำไมมันง่ายไม่ค่อยได้ง่ายสุดแล้ว ครูจะให้ลูกทำเองนะคะ ลอกโจทย์นี่แบบฝึกข้อที่ 5 ลงไปในสมุด ข้อ 4 คนไหนที่ยังทำไม่เสร็จ เอาข้อ 4 ลอกลงไปทำด้วยนะคะ แล้ว ถูกต้อง ข้อ 4 เทคนิคคล้ายกับข้อ 2 เพราะว่า ค่า d มันติดลบนะคะ ลักษณะวิธีการทำเหมือนกับข้อ 2 เลย ค่า d ติดลบ คำตอบมันต่างอยู่แล้ว แต่กระบวนการวิธีการทำจะเหมือนกัน คล้ายกันกับข้อ 2 นะคะ ทีนี้ข้อ 5 มันเพิ่มขึ้น d เป็นบวก เพราะฉะนั้น อันนี้ลูกไม่ต้องดูเพื่อนให้ลูกทำเองนะคะ ทำลงไปในสมุดเองแล้วเราจะมาเฉลยกันในอาทิตย์หน้า ว่าลูกทำเองน่ะ ลูกทำได้ไหม ข้อ 5 ครูจะดูแค่ 5 เท่านั้นเ โอเคไหม โอเควันนี้สงสัยอะไรไหม สงสัยไหมคะ ไม่มีแล้วนะคะ ครูจะบอกว่าข้อที่ 4 ที่ลูกทำ แล้วมันจะยากหน่อย เพราะ ลูกสามารถไปคุยนะคะ แล้วก็ไปถามแท๊คนะคะ แท๊คที่ทำเสร็จแล้วแล้วก็ตามนะคะ อันนี้ทำเสร็จแล้วทำถูกต้อง 2 คนครูตรวจดูแล้ว ให้ไปถามพี่เขาว่าทำถูกทำวิธีการคิดคิดอย่างไรนะคะ แล้วลูกก็จะได้คำตอบ ของข้อที่ 4 ที่ถูกต้อง ส่วนข้อที่ 5 ไม่ต้องถามพี่เขาแล้ว ไม่ต้องถามเพื่อนแล้วนะคะ ให้ทำเองเลยข้อที่ 5 โอเคนะ ถ้าไม่มีอะไรสงสัยแล้ว เดี๋ยวไปทานข้าวก่อนนะคะ วันนี้ ค่ะ สวัสดีค่ะ ขอบคุณมากนะคะ 

[สิ้นสุดการถอดความ]