---
title: ค31102 คณิตศาสตร์ ม.4/2 (เช้า) 160167
subtitle: 
date: วันอังคารที่ 16 มกราคม 2567  เวลา 10.30 น.
---

								(ข้อความสดจากระบบถอดความเสียงพูดทางไกล)


(อาจารย์เชาวนี)  ครบแล้วนะ โอเค  เยี่ยมมากวันนี้วันสำคัญอะไรคะ วันนี้วันครูใช่ไหมเมื่อเช้า เข้าแถวนะคะ คุณครูก็ประกาศอยู่ วันครูสำคัญยังไงลูก วันครูสำคัญยังไงรู้ไหม มันมีความสำคัญอย่างไร วันครูรู้ว่าเป็นวันครูนะคะ ครูนี่เป็นคนที่อบรมสั่งสอนเรามาใช่ไหมคะ ตั้งแต่เด็ก ๆ เลย อย่างวันนี้นะครูปิ๊กไปไม่ได้ไปหาคุณครูไม่ได้ไม่ได้ไปทำบุญตักบาตรไม่ได้ไปร่วมงานของกิจกรรมของจังหวัดเลยนะคะ ครูปิ๊กก็โทรศัพท์ไปหาคุณครู ที่เคยสอนนะคะ ตั้งแต่ประถมเลย แล้วก็มีคุณครูที่สอนระดับปริญญานะคะ ปริญญาตรี ก็โทรศัพท์ แล้วก็ส่ง Message ไปนะคะ ส่งข้อความไป ฝากความระลึกถึงคุณครูนะคะ ใช่ วันครูน่ะเป็นวันที่เราคิดถึงพระคุณของคุณครูนะคะ ทุกคนที่สำคัญเลยครูคนแรกของลูก ๆ คือใครรู้ไหม ใครที่สอนลูกตั้งแต่เกิดมานี่ คนแรกที่สอนคือแม่ คือพ่อนะลูก ที่อยู่ในครอบครัวของเราสอน สอนให้ทำอะไร สอนให้เป็นอย่างไรคะ กิน สอนให้ใส่กางเกง สอนให้อาบน้ำ สอนให้เดิน เพราะฉะนั้น ครูฝากเอาไว้ว่าครูที่อยู่ในใจของเราคนแรก เลยดับแรกก็คือ คุณพ่อคุณแม่ของเรานั่นเองนะคะ ก่อนที่จะไประลึกถึงคุณครูที่อบรมสั่งสอนเรา  วันนี้ลูก ๆ ดูที่หน้าจอนะคะ เรายังคงเรียนเรื่องของกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับอยู่ แต่ครูจะมาทวนสัปดาห์ที่แล้ว ที่เราเรียนนะคะ เราเรียนหัวข้อการสับเปลี่ยนเชิงเส้น ในกรณีที่สิ่งของนั้นแตกต่างกันทั้งหมด อ่านโจทย์ตัวนี้ อ่านข้อความตรงนี้ รู้เลยว่าวิธีการเรียงนะคะ มันเป็นแนวเส้นตรง อันแรกเลยนะดูโจทย์ว่ามันเป็นเส้นตรงหรือเปล่านะคะ แล้วของที่จะเอามาเรียงนั้นแตกต่างกันทั้งหมดเลย จำได้ไหม สัปดาห์ที่แล้วที่ครูถามว่ามีเพื่อน3 คนนะคะ เขาอยากถ่ายภาพ เขาจะมีวิธีการยืน ในตำแหน่งแตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี ห้ามซ้ำนะคะ อันนี้มันเป็นขั้นตอนกระบวนการที่ทำงานแบบต่อเนื่อง ใช่ไหม มีอยู่ 3 ขั้นตอน นะคะ มีอยู่ 3 ขั้นตอน ขั้นตอนแรกต้องมายืนตำแหน่งที่ 1 ก่อน ขั้นตอนที่ 2 ยืนตำแหน่งที่ 2 ขั้นตอนที่ 3 มายืนตำแหน่งที่ 3 นะ มีอยู่ 3 ขั้นตอน ขั้นตอนนี้มันต่อเนื่องกันนะคะ ทำขั้นที่ 1 เสร็จ แล้วทำต่อขั้นที่ 2 ขั้นที่ 2 เสร็จแล้วค่อยไปทำต่อขั้นที่ 3 เพราะฉะนั้น มันก็เลยเป็นกฎเกณฑ์เบื้องต้น เกี่ยวกับการนับ โดยใช้หลักนะคะ กฎการคูณนั่นเอง ที้นี้เรามาดูว่าไอ้ตัวที่มันเอามาคูณกันน่ะ จำนวนน่ะค่ะ n1  ก็คือขั้นตอนที่ 1 น่ะมันมีจำนวนที่แตกต่างกันทั้งหมดเท่าไร ตำแหน่งที่ 1 อันนี้คือครั้งที่ 1 ตำแหน่งที่ 1 นี่ คือ n1 นะคะ จำนวนที่เลือกมีเท่าไร คนมีอยู่ 3 คน เหมือนหรือต่างกันคนน่ะ แต่ละคน แต่ละคน ต่างกันเลยใช่ไหมคะ มันเป็นของเป็นคนที่แตกต่างกันทั้งหมด มีอยู่ 3 คน เพราะฉะนั้น ตำแหน่งที่ 1 คือ 3 เลือกมาได้เลยใครก็ได้ อาจจะเลือกกิ่งก็ได้มาหรืออาจจะเลือกแก้วก็ได้ หรือจะเลือกกาญจน์ก็ได้ เพราะฉะนั้นตำแหน่งที่มายืนคือ 3 ตำแหน่งที่ 1 นะคะ มีอยู่ 3 วิธีแล้วทำตำแหน่งที่ 1 เสร็จนั่นแสดงว่าจะต้องมีเพื่อน 1 คนน่ะ ไปยืนอยู่แล้วในตำแหน่งที่ 1 ถ้าเราจะทำมา ตำแหน่งที่ 2 ต่อมาที่ตำแหน่งที่ 2 เพื่อนหายไป 1 จาก 3 เหลือเท่าไรคะ จาก 3 หายไป 1 เหลือเท่าไร ยังอยู่ 2 คน ใช่ เพราะฉะนั้น ตำแหน่งที่ 2 ตำแหน่งที่ 2 คน ที่ต่างกันก็ยังเหลืออยู่ 2 คน เพราะฉะนั้น ตำแหน่งนี้ก็เลยกลายเป็น 2 นะคะ ตำแหน่งที่ 2 จะต้องมีคนยืนอยู่ประจำแล้วถึงจะทำตำแหน่งที่ 3 ได้ ต่อเนื่องมาที่ตำแหน่งที่ 3 ได้ เพราะฉะนั้น ตำแหน่งที่ 3 เหลือคนเท่าไรลูก ก็เหลือแค่คนเดียวใช่ไหม คนหนึ่งยืนอยู่ตำแหน่งที่ 1 อีกคนหนึ่งยืนตำแหน่งที่ 2 เพราะฉะนั้น ต้องเหลือใครคนใดคนหนึ่ง แค่คนเดียวนะคะ แค่คนเดียว ที่ยืนอยู่ในตำแหน่งที่ 3 วิธีการที่จะยืนสับเปลี่ยนกันแบบนี้ หมายถึง n1 x n2  x n3 ทีนี้เรามาดูถ้าเป็นเชิงเส้นตรงเมื่อไรจำนวนที่ต่างกันคือ 3 คนเดียวมีอยู่ 3 คนที่ต่างกันมันหมายถึงจำนวนนั้น ลดลงไปเรื่อย ๆ นะคะ จนถึง 1 เห็นไหมเรียงกันเลย แล้วลดลงไปเหลือ 2 เหลือ 1 เอามาคูณกัน 3 x 2 = 6 x 1 = 6 นะคะ อะไรก็ตามที่คูณกันมันจะเท่ากับตัวมันเองนะคะ พอเข้าใจนะอันนี้ นะคะ เมื่อไหร่ก็ตามที่เป็นเส้นตรงนะคะ ลักษณะเหมือนกันตัวนี้ เปลี่ยนแล้ว  คนแทนที่จะเป็นแค่ 3 คน ทีนี้มีคนหยุด 7 คนลูก มีคนอยู่ ควรจะมีวิธีการยืนเรียงกันในการเข้าแถวเนี่ที่ไม่ซ้ำกันวิธีง่ายมากเขาบอกว่าเป็นเส้นตรงใช่ไหม โอเคถ้าเป็นเส้นตรงแตกต่างกันทั้งหมดอยู่ 7 คน เพราะฉะนั้น ตำแหน่งแรกก็คือ 7 นะคะ เสร็จแล้วลดออกไปเรื่อย ๆ ลดลงไปเรื่อย ๆ ทีละ 1 ชิ้นละ 1 นะคะ จากตำแหน่ง หัดมาเสร็จแล้วลดลงไป 6 ลดลงไปเหลือ 5 เหลือ 4 เหลือ 3 เหลือ 2 แล้วก็เหลือ 1 สุดท้ายจริง ๆ ตำแหน่ง สุดท้ายคือ 1 เสมอนะคะ ตำแหน่งที่เริ่มต้นคือจำนวนที่แตกต่างนี่แหละ สิ่งของแตกต่างนี่มีกี่ชิ้นนะคะ แล้วเริ่มจากตัวนี้แล้วเอาจำนวนที่ลดมาเรื่อย ๆ นี่ มาคูณกันออกมาคูณกันปุ๊บก็จะได้คำตอบตั้ง 5,040 วิธี เห็นไหมคะ ตั้ง 5,040 วิธี  มีแค่ 7 วิธีการมีมากเลยนะคะ งานเข้าเข้าแถวนี่ ที่ตำแหน่งไม่จำกัด อันนี้ก็เป็นตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่ง ปลูกต้นไม้มีอยู่ 3 ชนิดนะคะ ต้นไม้ 3 ชนิด แล้วจะมีวิธีการปลูกแบบเป็นเส้นตรงได้ทั้งหมดกี่วิธีนะคะ ที่ไม่ซ้ำกัน n เท่ากับเท่าไรต่างกันเท่าไรคะ  n คือ 2 หรืออะไรมันมีกี่ต้นมันมีกี่ชนิดมันมี 3 เพราะฉะนั้น n ก็คือ 3 นะคะ 3 หลุม ที่ 1 3 ก็ลดลงไปเรื่อย ๆ 3 2 แล้วก็  1 เอามาคูณกัน คือวิธี = 6 วิธีนั่นเองเข้าใจนะ  อันนี้ในกรณีที่เป็นเส้นตรง ทีนี้ครูจะโยงเข้ามาสู่คำว่า Factorial  ของเราเรายังไม่รู้นะ ว่าจะเรียกมันคืออะไร แต่ที่เราจับใจความสำคัญได้ ที่เราจับประเด็นได้ ก็คือถ้าเมื่อไรที่สิ่งของแตกต่างกัน n สิ่งของนะ n อย่าง n อย่างนะคะ จำนวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเอามาใส่ในแนวเส้นตรงปุ๊บนี่มันหมายถึงการคูณ คูณจากตัวไหน คูรจากตัวแรกนะคะ 1 x 2 x 3 คูณไปเรื่อย ๆ จนตัวสุดท้าย อยู่เท่ากับ nนั่นเองถ้าเราจะโอนแบบเพิ่มขึ้น แต่ถ้าเราจะคืนสลับกันสลับตำแหน่งนะคะ เอาตัวมากมาก่อน  nFactorial เท่ากับเป็นตัวนี้นะ คูณด้วย n - 1ตัว 2 n - 2 n -3 คูณไปเรื่อย ๆ จนสุดท้ายเท่ากับ 1 คงไม่อายงงเหรอ เดี๋ยวไม่เป็นไรเดี๋ยวมีตัวอย่างเดี๋ยวมีตัวอย่างให้ดูแต่ลูกจำเอาไว้ ว่าเครื่องหมาย Factorial  นะคะ 0 Factorial  จำให้ได้ว่ามันเท่ากับ 1 นะคะ มันไม่ใช่ 0 อันนี้จำให้ได้นะถ้าครูเขียนตัวอย่าง หรือทำแบบฝึกหัด มีคำว่า 0 ท่องเที่ยวมาเนี่ยให้คำตอบเท่ากับ 1 เสมอ โอเคนะ ทีนี้จากบทนิยามมาที่บอกว่า n Factorial = n x n - 1 x n - 2 x n n - 3 - 4 - 5 ไปเรื่อย ๆ เมื่อไรที่มันคูณกันตัวสุดท้ายมันเท่ากับ 1 อันนี้คือเสร็จนะคะ จากบทนิยามตัวนี้ ลูกดูนะ อันนี้ถ้าเราให้ n Factorial  เป็น 2  n Factorial  เป็น 2 ตรงนี้ เท่ากับอะไร อันนี้ n เครื่องหมายสายไฟออกนะคะ ฝั่งด้านขวามือ 2 คือตอนนี้คือ n เท่ากันนะ คูณด้วย 2 - 1 ตัวนี้คือ 2 - 1 ครูถามว่า 2 - 1 เหลือเท่าไรเหลือ 1 เพราะฉะนั้นสิ้นสุดอยู่ที่ 1 พอแล้วไม่ต้องไปกวนอีกเข้าใจนะ ตัวสุดท้ายคือ 1 เสมอนะคะ เวลาเรากระจายFactorial  เวลากระจายกันคุณปุ๊กตัวสุดท้ายคือ 1 หยุดเลยพอแค่นั้นไม่ใช่ x  0 * -1 ต่อไม่เอานะคะ คือคนหนึ่ง เท่านั้นคำตอบ 2 x  1 = 2 อันนี้คือผลลัพธ์คำตอบ มาดูอีก 1 ตัวอย่าง4 Factorial ถ้าเอามาโยงเข้ากับบทนิยามตัวนี้ 4 Factorial  ก็คือ n Factorial  เท่ากับเท่าไร n = 4 ใช่ไหมความหมายเดียวกัน n เท่ากับ 4 เริ่มแรกเท่ากับ  4 มาใส่ตรงนี้นะคะ คูณด้วย 4 - 1เพราะว่า n = 4 เสมอนะ เพราะว่าตัวนี้ n = 4 Factorial  นะคะ n ตัวนี้คือ 4 4 - 1 คูณด้วย 4 - 2 คูณด้วย 4 - 3 จำนวนการคูณตัวนี้ ที่มันลบนะคะ - 1 - 2 - 3 ไปเรื่อย ๆ  จนตัวสุดท้ายมันเท่ากับ 1 ทีนี้ครูถามว่า 4 - 3 เหลือเท่าไร 4 - 3 เหลือเท่าไรลูก เหลือ 1 เพราะฉะนั้นเข้าหรือยัง สุดท้ายคือ 1 จบแล้วมีแค่นี้เห็นไหมที่ 4 ที่ครูทำสีต่างกันอยู่นะคะ 4 - 3 เหลือ 1 4 - 2 เท่ากับ 2 4 - 1 เหลือ 3 สิ่งที่... สิ่งที่ลูกจะสังเกตนะคะ ลูกจะต้องดูเห็นมันลดลงมาเรื่อย ๆ แล้วเป็นจำนวนที่ตัวเลขที่อยู่ติดกันใช่ไหม 4 3 2 โอเคนะ ทีนี้มาดูความหมายคืออะไร  2 Factorial  เมื่อกี้ครูบอกแล้วอันนี้ n คือ 2 ไม่ต้องไปมองพี่เขา ครูให้พี่เข้ามาช่วยเฉย ๆ มองที่จอลูก ไม่ต้องไปสนใจพี่เขาดูนะ 2 8 ก็คือ 2 x 1 อันนี้ 3 ก็คือเริ่มจากอะไร เท่ากันเลย 3 3 เหมือนกันเอา 3 !  มากระจายออกเอามากระจายออกถ้าเมื่อไรที่เป็นสัญลักษณ์ Factorial จะต้องคูณอย่างเดียวเลย คูณนะคะ 3 2 1 เอามาคูณกัน เข้าใจนะ  4! เท่าไหร่เอามากระจายเลยค่ะ ลดลงมาเรื่อย ๆ  เอามาคูณ  ล่ะถ้าตัวไหน ก็หมายถึง 5 4 3 2 1 กระจายออกมา แต่ต้องเป็นการคูณนะคะ จำเอาไว้ว่า Factorial คือการคูณนั่นเอง คูณอะไรบ้าง ถ้ากระจายก็คือจำนวนนั้นน่ะเอามากระจายโดยลดลงไปเรื่อย ๆ ตัวสุดท้ายเท่ากับ 10 ลูกเห็นไหม2 ! ตัวสุดท้ายก็คือ 1 3! ตัวสุดท้ายก็คือ 1 สุดท้ายเท่ากับ 1 เสมอ ทีนี้ครูขอให้ลูกจำหน่อย คำว่าผลลัพธ์ของ Factorial  ที่ค่าต่าง ๆ  นะคะ มันได้เท่ากับเท่าไร เวลาลูกไปทำแบบฝึกหรือทำโจทย์น่ะ ลูกจะได้เร็วขึ้น 2! อันนี้ คูณ = 2 3! คูณกัน เท่ากับ 6ให้  5! 4! 8 = 24 58 = 120 6! = 720 แบบไหนเข้ากับให้จำแค่นี้พอที่นะทำแค่นี้พอสีนี้บ่นต่อตรงกระดาน ครูทำสัญลักษณ์ factorial ไว้แล้วก็กระจายค่าความหมายของ Factorial ลูกดูนะคะ อันนี้ 3!  มันจะสามารถจับคู่กับฝั่งขวามือ อยู่ไหน ตัวนี้ถูกไหมข้างบน ถูกไหม ต่าง ให้ลูกออกมาเขียนโยงจับคู่ ให้ถูกต้องให้ขีดเลยนะคะ 3! มันอยู่ตรงไหน อย่างนี้ถูกไหม ถ้ามันไม่ถูก  ไม่ใช่ออกมาใครจะออกมาก่อน ยกมือขึ้น  โอเค มาขอแรก 3! นะคะ เพื่อนดูด้วยนะว่าเพื่อนทำถูกหรือเปล่านะคะ  ถูกไหม ถูกไหม ถูกต้องนะคะ ง่ายไหมลูกง่ายนะคะ ให้เลือกนะคะ จะเอาค่ะ มาแล้วมายกมือแล้วเชิญค่ะ 9! จะสามารถเขียนกระจายได้อย่างไรนะคะ จับคู่ได้ตัวไหน  ถูกไหม ถูกต้อง ใครมาต่อ  เหลือตัวสุดท้ายลูก  แต่ว่านักเรียนยังเหลืออีก 2 คน ไม่เป็นไรหรอก รอก่อนนะคะ ครูมีแบบฝึกที่มันยากกว่านี้ให้ลูกทำนะคะ มีแบบฝึกที่มันยากกว่านี้ให้ลูกทำ รู้ว่า 2 คนนี้เก่งนะ 2 คนนี้เก่งดูดี ๆ นะคะ เดี๋ยวครูจะให้ทำแบบฝึกหน้ากระดาน ข้อที่มันยากกว่านี้ ที่เหลือคือ 0! 0! มันคู่กับอะไร ความหมาย 0! เท่ากับ 1 เสมอ เพราะฉะนั้น คู่กัน เข้าใจนะ อันนี้ผ่าน วันนี้ลูกมาดูนะคะ เราจะมาทำอะไรกันบ้างวันนี้ ครูจะให้ลูกนำวิธีการบวก ลบ คูณ หารนี่แหละ มาใช้กับ factorial แต่วิธีการทำอย่างไร ทำอย่างไร ลูกจะต้องมีฐานความรู้ในเรื่องของการกระจาย Factorial ก่อนนะ ความหมายของ Factorial เวลากระจายแล้วมันคืออะไรนะคะ อย่างเช่น ตัวอย่างตัวนี้ อย่าเพิ่งจดตรงกระดานลูก กระดานไม่เอา ให้ดูตรงจอก่อน ให้ดูตรงจอก่อนนะคะ อันนี้แค่จับคู่มันง่ายมากเลย ที่ลูกได้ทำ แต่ตัวนี้แหละ จะยากขึ้นมาละเพราะว่าเราได้ใช้ Factorial มาใช้ในการหาคำตอบแสดงวิธีทำแล้วก่อนที่จะได้เอาไปสู่กระบวนการแก้ปัญหานะคะ โจทย์เขาให้มา 8! หารด้วย 5! กระจายเหมือนกันลูกเห็นไหมในโจทย์ ในตัวอย่าง ครูกระจายแล้วนะ 8 กระจายออกมา 8 7 6 5 ทำไมมันหยุดที่ 5ท่องเที่ยว ถ้าครูจะกระจายเป็นหน้าแล้ว 4 3 21 ถูกไหม ก็ถูกเหมือนกันนะคะ มันถูกเหมือนกัน แต่ครูขี้เกียจกระจายทำไมน่ะ เพราะตัวที่หารลูก ตัวที่หารนี่ 5! ข้างล่างน่ะลูกมันเหมือนกันไหม 5! พอเรียกกับ 5! พอหารแล้วข้างบนกับข้างล่างเท่ากันไหม เหมือนกันมันเหมือนกัน เพราะฉะนั้น เป็นการหาร มันสามารถตัดกันได้ใช่ไหม ถูกไหม มันเหมือนกัน ก็คือตัดออกไปเลย 5!  5!  ปฏิบัติก็เหลือ 1 นะคะ ความหมายหายไปเลย เพราะว่า 1 คูณกับอะไรก็ตาม เท่ากับตัวมันเองเสมอ มันก็เลยเหลือแค่นี้ เหลือแค่ 8 7 6  ที่เอามาคูณเข้าใจไหม มองภาพออกไหม อายเข้าใจแต่เพื่อนยังงงอยู่ อายเข้าใจแล้วนะลูก เดี๋ยวจะให้อายไปอธิบายกับเพื่อน วิธีทำมีแค่นี้กระจายออกมา ตัวไหนที่มันตัดได้นะคะ แล้วหาคำตอบผลลัพธ์ออกมา ตัวนี้เอา 8 x 7 ก่อน 8 x 7 ได้เท่าไร คำตอบที่ได้เอามาคูณกับ 6 ต่อนะคะ  สุดท้ายคำตอบ ก็คือ 336 นั่นเอง ทีนี้มาดูตัวอย่างต่อไปนะคะ  ตัวอย่างที่ 2 ถ้าเป็นแบบนี้ล่ะ เป็นแบบนี้ข้างบนกับข้างล่าง อันนี้ 9!  9! ถ้ากระจาย กระจายมันได้เท่าไรมันหมายถึง 9 x 8 x 7 x 6 ไปเรื่อย ๆ จนถึง 1 ถูกไหม แต่ดูข้างล่างมันเป็นหารน่ะมันเป็น 8! เพราะฉะนั้น ครูไม่เขียนแล้ว ขี้เกียจเขียน ไม่เอา เราก็จะยังเหลือแค่ 8! อยู่ข้างบน ถามว่าข้างบนกับข้างล่างเหมือนกันไหม 8! เหมือนกัน มันเหมือนกัน มันเท่ากันเพราะฉะนั้น ตัดเลยลูก ตัดเลย ตัด ตัดเลย มันก็เลยเหลือแค่ 9 คำตอบสุดท้ายง่ายไหม ไม่ต้องเอามาคูณนะคะ อันไหนที่เราตัดได้เราก็ตัดไปเลย ให้เหลือจำนวนที่มันเหลือเท่านั้น ที่เอามาคูณกันมันก็จะได้ง่ายขึ้น มาดูข้อต่อไป นอกจากการคูณแล้ว การหารแล้วนะคะ ทีนี้มาดูว่า Factorial  จะเอามาบวกกันได้ไหม ได้เหมือนกัน ลูกจะต้องจำว่ามันจะต้องกระจายนะคะ ความหมายของ Factorial  ข้อนี้แหละ เขาเรียกคืออะไร  5! คืออะไร 5! มันอยู่ในวงเล็บนี้ 5 x 4 x 3 x 2 x 1 ตัวนี้นะ ความหมายคือตัวนี้บวกด้วย 3!  อยู่ในวงเล็บก็กระจาย 3! เขาเรียกว่า 3 2 1 เอามาคูณกันแล้วค่ะ ตอบได้เท่าไรครูบอกว่าให้จำใช่ไหม  Factorial  แต่ถ้าเลือกให้ครูบอกให้จำ 2 3 4 5 6 เขาเรียกว่าให้ถามเพราะว่าผล คำตอบมันจะได้ง่ายนะคะ  เวลาลูกทำมันจะได้เร็ว เวลาไปคิด 500 เท่ากับ 1203! = 6 เอามาลบกัน ไม่ใช่เอามาบวกกันขอโทษ เอามาบวกกันนะคะ อันนี้คือบวก ใช่ 126 คือคำตอบ วิธีการขั้นตอนการทำเข้าใจนะ ถามไหม ถามไหม เข้าใจแล้วนะ ทีนี้มาดูตัวอย่างต่อไป ตัวอย่างที่ 4 ลูก ตัวอย่างที่ 4 ลูกดูนะ เปลี่ยนจากลบ เปลี่ยนเป็นจากบวกเป็นลบ ยังเหมือนเดิมค่ะ 5! ก็กระจายไปอยู่ในวงเล็บในเรื่องของการคูณนะคะ เสร็จแล้ว อันนี้ถูกไหม ที่ครูเขียนฝั่งนี้ สัญลักษณ์การบวกไหม ไม่ถูกนะคะ ต้องแก้เปลี่ยนเป็นลบนะ สัญลักษณ์ตัวนี้ ขอโทษนะคะ พิมพ์ผิดนะ อันนี้คือลบนะคะ ตามตัวนี้คือ ลบ 4! คืออะไร กระจายออกมา เข้าใจนะ 5! = 120 4! = 124 เอามาลบกัน คำตอบก็คือ 96 นี่คือคำตอบสุดท้าย ผลลัพธ์ของเขา โอเคนะ ทีนี้ลองทำดูลูก ถ้าลูกเข้าใจลูกจะทำได้ จากตรงนี้มองแล้วงงไหม ยากไหม ยากไหม ถามก่อน ยากไหม ยากมี ผิงบอกยากมี มึนหัวเลยไหม ไม่เหมือนใช่ไหม โอเค ค่อย ๆ ทำไป อ่านดูนะ ครูจะลองพาลูกทำบนกระดานนะคะ  สิ่งที่ลูกจะต้องรู้ ก็คือความหมายของ Factorial ใช่ไหม ข้อ 1 12! มันหมายถึงอะไรลูก 12! หารด้วย 11! เท่ากับ 12 มันหมายถึงอะไร คืออะไร กระจายออกมาแล้วได้อะไร12 x 11 ใช่ไหม แล้วก็คูณ 10 เวลากระจายตัวนี้ออกไปนะคะ 12 x 11 x 10 x 9 x  8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 และสุดท้ายคือ 1 คือเสร็จแล้ว นี่คือความหมายของ 12! หารด้วย 11! เขาเรียกคืออะไร 11 คูณอะไรคูณ 10 ถูกต้องคูณ 10 คูณด้วย 9 ไปเรื่อย ๆ จนถึง 1 ทีนี้ครูถาม ครูถามว่าตัวเลขน่ะ ที่มันเหมือนกัน ถ้าเป็นการหารสามารถตัดกันได้ใช่ไหม 11 กับ 11  เหมือนกันตัดเลยนะคะ ตัด 10 เหมือนกันไหม เหมือนกันตัดได้ไหมคะ ตัดเลย เพราะมันเป็นการหาร ตัวนี้ก็ตัด ตัดไปเรื่อย ๆ เพราะว่ามันเหมือนกัน บนกับล่าง เหลืออะไรลูก เหลืออะไร เหลือแค่ 12 เหลือแค่ 12 คือคำตอบ ตอบแล้ว แต่ทีนี้เขียนอย่างนี้ยาวไหม ข้างบนน่ะ 12 x 11 x 10 x 9 จนไปถึง 1 นี่ ยาวไหมลูก ยาวไหม มันยาว เสียเวลากันการเขียนไม่เอาไม่ต้องไปเสียเวลาเขียนเยอะขนาดนั้น ตัวนี้มันหมายถึง 12 คูณด้วย 11 11 อะไร 11 ลดไปเรื่อย ๆ มันหมายถึง 11! นะคะ 11! เขียนอย่างนี้น่ะ ไม่เอา มันยาว แล้วก็ย่อมาก็เหลือแค่ 11! แล้วหารด้วย ตัวนี้คือข้างล่าง 11! ใช่ไหม เหมือนกันไหมคะ เหมือนกันไหม เหมือนกันตัดกันได้ไหม ได้นะคะ คำตอบเท่าเลย เท่ากันเลยคือ 12 โอเคไหม ทีนี้มาดูข้อ 2 2 คนนี้ใครจะออกมาทำช่วยกันช่วยกัน ไม่ต้องมองหน้า เอาใครดี เอาอายก่อน ๆ ออกมาก่อน ทำข้อ 2 ให้เพื่อนดู ดูนะ ลองดู ลองดูนะคะ  ทำไหมหรือไม่ทำ ออกมา ออกมา ทำได้ ครูรู้ว่าอายจะทำได้ ออกมาทำให้เพื่อนดูหน่อย ว่าเราเข้าใจขนาดไหน ตัวนี้ก่อนอื่นเราดูในวงเล็บนี่ 6 ลบออก 2 เหลือเท่าไรลูก เหลือ 4 ข้างบนเหมือนเดิม ข้างบนเหมือนเดิม ก็คือ 8! นะคะ ข้างบนเขียนเหมือนเดิม หารด้วย 6 - 2 เหลือเท่าไร เหลือ 4 ถูกต้อง อันนี้คือเลข 4 อายเขียนเลข 4 ถูกแล้ว เท่ากับ factorial ลูกเวลาเรากระจายออกไปน่ะ กระจายออกไปคืออะไร 8 7 6 5 ใช่ เวลากระจาย เอามาคูณกันจนถึง 1 ใช่ไหม ข้างบนเสร็จแล้วนะ 8! ทีนี้มาดูข้างล่าง ข้างล่าง 4! เพราะฉะนั้น จะต้องเป็น 4 3 2 1 ถูกไหมลูก อันไหนที่มันเหมือนกัน เท่ากัน ตัดกันไปเลย เพราะฉะนั้น ตัวเลขที่ยังเหลืออยู่เอาลงมานะคะ 8 x 7 x 6 x 5 ที่ยังเหลืออยู่ หมดแล้ว หาการคูณมาให้ได้ เท่ากับเท่าไร ก็จะได้ผลลัพธ์ โอเค ลูก ๆ ดูเข้าใจไหมวิธีทำ ตามเพื่อนได้ ได้ทันอยู่นะ โอเคนะ ทีนี้มาดูข้อนี้ ข้อ 3 ใครดีอุ๊บอิ๊บออกมา อุ๊บอิ๊บออกมาทำข้อข้อ 3 นะคะ เดี๋ยวมาลองพาทำ มันเยอะเฉย ๆ ลูกมันเยอะเฉย ๆ แต่ถ้าเราเข้าใจหลักการนะ มันก็จะง่าย อันนี้ 9! กระจายเลย 9 คูณอะไรใช่ 9! ก็คือคูณไปเลยอันนี้ 9! เสร็จแล้ว เพื่อนกระจายเสร็จแล้ว แล้วก็คูณต่อลูก พอมัน 10+  ใช่ไหมเราก็เอา 12 Flash Drive มาคุณต่อไม่ต้องวงเล็บเพราะมันเป็นการคูณเหมือนกัน แต่ถ้าเมื่อไหร่ ที่มันเป็นบวก กับลบน ะต้องเอาวงเล็บมาใส่ด้วย ถูกแล้ว 12! 12! ตัวนี้เวลากระจายไปคือเท่าไร ถูกต้อง 12 11 10 คูณไปเรื่อย ๆ จนสุดท้ายคือเท่าไรตัวสุดท้ายคือ 1 เสมอ ถูกต้อง ยาวไปเลยลูก เป็นอย่างไรตัวเลขเยอะไหม เพื่อนเขียนขึ้นภูเขาเลย เขียนบนกระดาน เขียนสูงเสมอนะ กว่าจะเขียนคูณอย่างนี้นานไหม นานไหมลูก นานไหม กว่าเพื่อนจะเขียนเสร็จ นานมากเลยใช่ไหม กว่าจะจนถึง 1 เขียนเป็นเต่าเลยใช่ไหม ไม่ต้องไปว่าเพื่อนนะคะ  ขีดยาว เส้นนี้ เส้นนี้ ขีดเส้นตามโจทย์เลยนะคะ ทีนี้ตัวข้างล่าง 8! ทำเหมือนเดิมเลยลูก กระจายตัวนี้ออกไป ใช่ ได้ไหมผิง  เข้าใจไหมลูก อันนี้คือ 8! ก็แค่กระจายออกไปนะคะ  8! กระจายเสร็จแล้ว ต่อไปก็เหลือ 11!คณเหมือนกัน สงสัยเครื่องหมายคูณก่อน คูณ เพื่อนเขียนขึ้นภูเขาใช่ไหม เสร็จหรือยังเพื่อนเข้าใจถูกแล้วใช่ไหมคะ  กระจายออกมาเรียบร้อย ครูถามอันไหนที่มันเหมือนกัน บนกับล่างตัวไหนที่มันเหมือนกันบ้าง ใช่ 8 x 7 จนถึง 1 นี่ มันเหมือนกัน เพราะฉะนั้น ตัดไปเลยตัดไปเลย 1 นะคะ ยังเหลืออะไร ยังเหลือ 9 เขียนเท่ากับก่อน ตัวนี้ตัด ตัด ตัวไหนที่มันมีเหมือนกันบนกับล่างนะคะ ตัดกัน  แต่ถ้ามันไม่เหมือนตัดกันไม่ได้นะ ต้องสังเกตดี ๆ ต้องดูดี ๆ นะคะ เอาเฉพาะตัวที่เหมือนกัน ตัวเลขจำนวนที่มีเอามาตัดกัน 12 ตัวนี้ เหมือนไหม ไม่มี ไม่มีแล้ว เพราะฉะนั้น 12 จะต้องมาอยู่ตรงนี้ ไม่ใช่เท่ากับนะลูก ฝั่งด้านนี้เท่ากับไม่มี 9 คูณอะไร คูณ 12 ต้องใส่สัญลักษณ์การคูณ หมดหรือยัง เพราะอันนี้มันเท่ากัน 11 ข้างบนข้างล่างเท่ากัน ตัดกันไปได้นะคะ  เพื่อนบอกว่าจะตัดจนฉันปวดแขนแล้ว เพราะว่าเขียนเยอะ ดูนะ ทีนี้น่ะ อายมองกระดานได้แล้ว เพื่อนตัดจนหมดแล้ว กว่าจะตัดจะเขียนเสร็จ เพื่อนบอกว่าปวดแขน เพราะว่าเขียนไปเยอะมาก ตัวเลขที่เหลือจริง ๆ ก็คือ 9 x 12 เท่านั้นเอง เอามาหาผลลัพธ์ วิธีการ วิธีการลูก วิธีการถ้าเขียนกระจายแบบนี้มันยากมันยาวไม่ยากหรอกแต่มันเสียเวลานะคะ เสียเวลา เพราะฉะนั้น เราก็มาปรับใหม่ 8 x 7 จนไปถึง 1 มันหมายถึงอะไร8! เขาเรียกถูกหรือเปล่า มันหมายถึง 8! อันนี้ข้างบน ตัวนี้ก็คือ 8! ถูกไหม ใช่ ข้างล่างตัวนี้ก็คือ 8! ลูก เอามาเขียนย่อนะคะ แทนที่จะกระจายไปหมด ไม่ต้อง เราสังเกตแค่ว่าข้างบนกับข้างล่าง อันนี้ 9 9 x 8 มันมี 8 อยู่ข้างล่างนะ 8! เราหยุดแค่ที่ 8! พอนะคะ อันนี้ก็เหมือนกัน 12! กับ 11!  ที่อยู่ข้างล่างไปจนถึง 1 นี่ ก็คือ 11! เหมือนกันข้างบนนะคะ ถามว่าเอามาตัดกัน เพราะว่ามันเหมือนกัน เราไม่ต้องไปเขียนกระจายหมด แต่เราใช้สัญลักษณ์ Factorial  เข้ามา ความหมายเหมือนกัน เข้าใจนะ แล้วหาคำตอบออกมา มีคำถามไหมคะ  ถ้าไม่มีคำถามครูจะให้ทำแบบฝึก ทำแบบฝึกตัวนี้คือเก็บคะแนน 10 คะแนนนะคะ ข้อละ 2 คะแนน ขอบใจมากลูก แบบฝึกข้อละ 2 คะแนน ให้แสดงวิธีทำขั้นตอนกระบวนการแสดงวิธีทำด้วยนะคะ อันนี้คือแบบฝึก ยากไหม ผิงบอกขอสรุปก่อนใช่ไหม ข้อที่ 1 ไม่รู้ มันไม่รู้ได้อย่างไร ตามตัวอย่างที่ครูแสดงให้ดู ข้อ 2 รู้ ข้อ 3 รู้ไหม รู้ ข้อ 4 รู้ รู้ แต่ว่า 1 ไม่รู้ นั่นสิ อันนี้มันเป็นลบนะ มาดูตรงนี้ลูก มาดูตรงนี้วิธีทำทำอย่างไร เหมือนเลย เหมือนกับตัวอย่างข้อนี้เลย เห็นไหม มันลบน่ะ ลูกก็แค่กระจายอันนี้ 5! ลูกก็กระจายใส่ในวงเล็บการคูณนะคะ ใส่เครื่องหมายลบ อันนี้ 4! ก็กระจาย ไปหาค่ามา ไอ้ตัวที่คูณกันได้เท่าไร แล้วเอามาลบข้อนะ วันนี้ เวลาทำ5! เท่ากับออกมาเลย 5 x 4 คุูณอะไรคะ * 3 * 2 * 1เสร็จแล้วก็ปิดวงเล็บเลยลูกเพราะตัวนี้เป็นลบนะ ต้องใส่วงเล็บด้วย ข้างในวงเล็บเป็นคูณนะคะ เสร็จแล้วสัญลักษณ์ลบ เขียนนะเอามา 3! เอามาใส่ในวงเล็บเหมือนเดิมนะคะ เป็นการคูณ แล้วเอาคำตอบมาให้ได้ วิธีทำได้ 1 คะแนน หาผลลัพธ์จนสุดท้ายคำตอบได้คำตอบสุดท้ายบวกไปอีก 1 คะแนน ข้อละ 2 คะแนนนะลูก แต่ถ้าใครออกมาได้เท่านั้น หาคำตอบสุดท้ายไม่ได้นะคะ ครูก็จะให้แค่ 1 คะแนน ถามไหม เข้าใจนะ ข้อละ 2 คะแนน 5 ข้อ เอาสมุดขึ้นมาทำเลยนะคะ ถ้าไม่มีคำถามถามไหมลูก เข้าใจหรือยัง โอเคถ้าเข้าใจแล้วเอาสมุดขึ้นมานะคะ แล้วก็ทำแบบฝึกนี้  ลูกดูนะคะ จะหมดเวลาแล้ว มีเพื่อนทำเสร็จในเวลานะคะ อยู่ 3 คน เหลืออีก3 คนนะ 3 คนนี้ ให้ทำให้เสร็จนะคะ แล้วเพื่อนอาย ผิง แล้วก็อุ๊บอิ๊บนะคะ 3 คนนี้น่ะ ถ้าเพื่อนทำไม่ได้ ต้องไปสอนเพื่อนด้วยนะ สอนวิธีการคิดนะคะ ว่าทำอย่างไร ลูกถึงได้คำตอบเท่ากับเท่านี้ ถ้าทำเสร็จแล้วค่อยมาเอาขนมกับครู ส่งแบบฝึกหัดมาก่อนเดี๋ยวครูปิ๊กเอาขนมให้  อร่อยเหรอ ไม่โควตามีขนาดคนละ 2 ชิ้นพอนะคะ เดี๋ยวเพื่อนจะไม่ได้ทานอีกตั้ง 4 คน ลูกรอ ๆ เพื่อนผ่านหมดก่อนนะคะ ให้ครบกันก่อน ถ้าเหลือครูจะแบ่งให้อีกนะคะ อร่อยไหม อร่อยมากเลย วันนี้เรียนมาเป็นอย่างไรบ้างลูก เข้าใจหรือ ยังเข้าใจไหม พอจะทำได้ไหม   อันนี้่คือง่ายที่สุดแล้วนะ ที่ครูทำให้นี่ ง่ายมากเลยนะคะ ถ้าเป็นแบบหูดีนี่โจทย์ยากมาก เขาจะมีตัวแปรเข้ามาด้วย ไม่ใช่แค่จำนวนตัวเลขนะคะ  เขาจะมีตัวแปรมาแล้วให้ลูกหาค่า n พวกนี้ซึ่งมันจะเกี่ยวกับพวกการหารแต่ว่าเราไม่ทำแล้วเอาแค่นี้แหละให้เราเข้าใจหลักการง่าย ๆ ของ Factorial นะคะ  วันนี้มี... ถ้าไม่มีอะไรสงสัยแล้ว ครูจะให้ไปทานข้าวแล้วนะ หัวหน้าชั้น เชิญค่ะ  ค่ะ ขอบคุณมากค่ะ 

[สิ้นสุดการถอดความ]