---
title: ค32102 คณิตศาสตร์ (ม.5/1) (เช้า) 020267
subtitle: 
date: วันศุกร์ที่ 2 กุมภาพันธ์ 2567  เวลา 08.30 น.
---

								(ข้อความสดจากระบบถอดความเสียงพูดทางไกล)


(อาจารย์เชาวนี) สวัสดีค่ะ สวัสดีพี่ล้ด้วยนะคะ สวัสดีวันศุกร์ค่ะ ลูก ๆ เป็นไงบ้างวันนี้วันศุกร์ อากาศดีไหมคะ อากาศดีไหมวันนี้  ดี หนาวไหม ไม่หนาวนะวันนี้อากาศกำลังดี กำลังอาบน้ำสบาย ๆ นะคะ ตื่นเช้ามาก็สดใสนะ อากาศดี เดี๋ยวเรารอวิดีโอ แป๊บหนึ่งนะลูกนะ วันนี้เราจะมาเรียนรู้หัวข้อใหม่ แต่เนื้อหาก็ยังสืบเนื่องจากเรื่องเดิมอยู่ ถ้าใครยังจำชั่วโมงที่แล้ว ที่เราเรียนกันได้นะคะ เรื่องอะไรนะอะไรคะ ลำดับใช่ไหม ใช่ไหม เรื่องลำดับใช่ไหมลูก จำกันได้ไหม นะ ลำดับ ให้เวลานะ ให้เวลาทบทวนนะคะ ลืมหมดแล้ว ไม่เป็นไรเดี๋ยววันนี้คุณเจนจะมาทบทวนให้นิดหนึ่ง เพราะหัวข้อที่เราจะเรียนมันสืบเนื่องจากเรื่องของลำดับด้วย รอสักพักหนึ่งนะลูก รอแป๊บหนึ่ง วันนี้นะคะ เราจะมาเรียนในเรื่องของอนุกรม เคยได้ยินไหม อนุกรม ไหนใครเคยได้ยินคำนี้ลูก ไม่เคยนะ แปลกนะลูก วิชาคณิตศาสตร์ มันก็จะมีศัพท์เฉพาะของมันเยอะแยะเลย อนุกรม วันนี้เราจะมาเรียนรู้ในเรื่องความหมายของอนุกรมกันนะคะ โอเค ในเรื่องอนุกรมวันนี้นะคะ จุดประสงค์หลัก ๆ ที่เมื่อเราเรียนจบกับคุณเจนแล้วนี่ ลูก ๆ ทุกคนต้องเข้าใจ หรือว่าต้องสามารถทำได้นะคะ อันแรกเลย ลูก ๆ นะคะ สามารถอธิบายความหมายของอนุกรมได้ ว่าอนุกรมมันคืออะไร เรียนจบแล้ว นี่ต้องเข้าใจตรงนี้เลยนะ ข้อ 2 นะคะ ลูก ๆ สามารถเข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์ n พจน์แรกของอนุกรมได้ พจน์แรกของอนุกรมนะ ข้อสุดท้ายนะคะ นักเรียนสามารถหรือว่าลูก ๆ นี่ สามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมได้ คือหาผลบวกของ n พจน์แรกได้ ขึ้นกระดานใช่ไหมคะ นี่ โอเคขึ้นกระดานก็ได้ค่ะลูก มาดูความหมายของอนุกรมก่อนนะคะ อนุกรม อนุกรมคืออะไร อนุกรมนะคะ คือ ผลบวกของลำดับ ความหมายง่าย ๆ สั้น ๆ ลูกผล ผลบวกของลำดับ ในหัวข้อนี้ ทุกคนต้องได้ซ้อมเรื่องการบวกเลข นะ เตรียมความพร้อม เผื่อมีการแข่งขันอะไรนะคะ เราจะได้เตรียมตัวได้นะ อนุกรม ก็คือผลบวกของลำดับนะคะ เช่น ดูด้วยนะ เช่นระดับ 1 3 5 7 9 นี่คือลำดับจำได้ไหม อันนี้คือรูปแบบของลำดับใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น อนุกรมของลำดับนี้นะคะ อนุกรมของลำดับนี้คืออะไร คืออะไรคะ ความหมายของมันคือลำดับใช่ไหม ลำดับ 1 3 5 7 9 อนุกรมของลำดับนี้ก็คืออะไร คะ คือ 1 + 3+ 5 + 7 แล้วก็บวก 9 มีค่าเท่าไร อนุกรมนี้มีค่าเท่าไรคะ ก็นำตัวเลขมาบวกกัน นำตัวเลขบวกกัน 10 20 บวกสิ ลองบวกสิลูก 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 บวกเพิ่มอีก 3 เป็น 4 ใช่ไหมลูก เป็น 4  + 54 + 5 4 + 5 เท่าไรลูก 4 + 5  9  9 + 7 9 9 +9 9 + 7 16 เก่งมาก จากนั้น 16 + 9 ค่ะ 16 + 9 6 + 9 2 5 25 ถูกต้องค่ะ 25 เพราะฉะนั้น เห็นไหมคะ อนุกรมของลำดับนี้ก็คืออะไร คะ 25 ง่ายไหม ง่ายไหมคะ ง่ายไหม เข้าใจไหมคะ อนุกรมคือ ผลบวกของลำดับ ถ้าเรามีลำดับขึ้นมาแบบนี้นะคะ เราสามารถเขียนรูปอนุกรมลำดับนี้ได้เลย ก็คือนำตัวเลขมาบวก ๆ ๆ ๆ บวกกันไปเรื่อย ๆ ถูกไหมคะ อยู่ที่ว่าลำดับนั้น มีกี่พจน์ใช่ไหมลูก ใช่ไหม ทีนี้มาดูต่อ ในหัวข้อนี้ เราจะกำหนดนะคะ sn นะคะลูก sn มีตัวแปรใหม่มาให้เราเห็นอีกแล้ว sn นะคะ แทนผลบวก แทนผลบวกนะคะ n พจน์แรกของลำดับ หรือพูดง่าย ๆ ว่า sn ตัวนี้ลูก แทนอนุกรม เขียนแทนอนุกรมได้เลยนะคะ เพราะฉะนั้น ถ้าเราเขียนตัวนี้ใช่ไหมคะ เราจะได้ว่า sn เท่ากับพจน์ที่ 1 ใช่ไหม พจน์ที่ 1 + พจน์ที่ 2 บวกพจนที่ 3บวกไปเรื่อย ๆ ถึงอะไรคะ พจน์ที่ n ในตัวอย่างนี้ก็คือ 1 บวกอะไรคะ 3 + 5 + 7 + 9 หามาแล้วค่ะ ได้เท่าไรคะ 25 ใช่ไหม อันนี้เราจะเห็นนะคะ จำไว้เลยนะ ต่อไปนี้เราจะคุ้นเคยกับ sn = A1 + A2 + A3 + ไปเรื่อย ๆ จนถึง + An นะคะ ทีนี้นะคะ พอถึงตรงนี้ ครูเจนก็จะย้อนไปถึงเรื่องของลำดับ จำได้ไหมว่าลำดับ มีกี่กี่ประเภทคะ ลำดับจำได้ไหม ลำดับมีอยู่ 2 ประเภท นึกออกไหมคะ  อันแรก คือ ลำดับจำกัด ใช่ไหม ลำดับจำกัด ก็คือลำดับที่เรารู้ว่ามันมีกี่พจน์ ใช่ไหมคะ อย่างเช่น ลำดับที่มี a1 a2 a3 ไปเรื่อย ๆ  an จบที่ นั่นหมายถึงว่าลำดับนี้มี AN ใช่ไหมคะ อันนี้เขาเรียกว่าลำดับจำกัด ถ้าเรานำลำดับจำกัดนี้มาเขียน เป็นอนุกรม เราก็จะได้ว่า A1 + A2 + A3 และบวกไปเรื่อย ๆ จนถึง An เราจะเรียกว่าอนุกรมจำกัด ดูพี่ล่ามนะคะ  มีนะ ตรงนี้ต้องเข้าใจแล้วต้องจำด้วย ทีนี้เหมือนกันค่ะ อีกลำดับ 1 ลำดับที่ 2 คือลำดับอนันต์ ลำดับอนันต์ ก็คือลำดับที่เราไม่รู้เลยว่าพจน์นั้นมีกี่พจน์ มันมีกี่พจน์เราไม่รู้ มันจะเขียนในรูปของ A1 + A2 + A3 + ไปเรื่อย ๆ จนถึง + An และยังมีบวกต่อไปอีก Infinity ไม่มีที่สิ้นสุด แบบนั้นเราเรียกว่า "ลำดับอนันต์" ถ้านำลำดับอนันต์นะคะ มาเขียนเป็นอนุกรม มันก็จะได้เป็นอนุกรมอนันต์ ระวังนะคะ เข้าใจไหม ทีนี้พอถึงตรงนี้เราสามารถสรุปได้ว่า อนุกรมจำกัด มาจากลำดับจำกัดใช่ไหมคะ อนุกรมอนันต์ก็มาจากลำดับอนันต์ โอเคนะ มาถึงตรงนี้นะคะ เดี๋ยวมาในไปในจุดประสงค์ต่อไป คือ เรื่องการบวก n พจน์แรกของอนุกรม เดี๋ยวครูเนขออนุญาตลบกระดานแป๊บหนึ่ง ทีนี้เราจะมาหาผลบวก n พจน์แรกนะคะ ของอนุกรมกันถามก่อนใค รตอบได้ อนุกรมคืออะไรนะ เมื่อ5นาทีที่ แล้วคุณเจนพูดไปแล้ว อนุกรมคืออะไรนะคะ ใครตอบได้ บอกได้ไหม อนุกรมคือ อนุกรมคือ อนุกรมคืออะไรคะ จำได้ไหม  ฟังอย่างเดียว ไม่จดแล้วก็ไม่จำ อนุกรมคืออะไร ใครตอบได้บ้าง คือผลบวกอะไรนะ อนุกรมคือผลบวกของ... ตอบหน่อย ตอบหน่อย อนุกรมคือผลบวกของ... ของอะไรคะ ของของลำดับ ลำดับคือตัวเลขถูกไหม ของลำดับ อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับ อย่างนั้นวันนี้ถ้ากำหนดให้นะคะ วันนี้ตัวอย่างนะ ถ้ากำหนดให้ อันนี้กำหนดให้ สักครู่ วันนี้ถ้าครูเจนกำหนดให้ ลำดับของ 3 5 7 9 นักเรียนสามารถหาผลบวกของอนุกรมนี้ได้ไหมคะ หาได้ไหม หาได้อย่างนี้นะคะ เราเขียนตัวแปร sn sn ตัวแรกที่ครูจะบอกให้จำไม่ได้นะsn = A1 + A2 + A3 บวกไปเรื่อย ๆ ถึง an อยู่ที่ว่าอนุกรมนั้นมีกี่พจน์ใช่ไหม ทีนี้อนุกรมที่ครูเจนกำหนดให้มีกี่คนคะ ช่วยกันตอบหน่อย ตัวนี้มีกี่พจน์ นับสิ 1 2 3 4  ใช่ ลำดับตัวนี้มีแค่ 4 พจน์ เราจะเขียนผลบวกของลำดับนี้นะคะ หรืออนุกรมไม่ได้เป็นอะไรคะ  เป็น a1 + a2 + a3 และบวกแค่อะไรคะ  4 ใช่ไหม เพราะมันมีแค่ 4 มาแล้วมาเขียนผลบวกด้วยค่ะ 1 คืออะไร ตอบได้ a1 คือเห็นไหมนั่น คืออะไรคะ a3 a3 ถูกต้องค่ะ ที่ 2 นะคะ เยี่ยมมาก a3 และดท้าย a4  คือ 9 เราก็นำมาบวกกัน ดูนะคะ บวกช่วยกัน 3 + 588 + 7 คิดเลขเร็ว เร็วซ้อม ไว้ซ้อมไว้10 เท่าไร่ 15 และ 15 + 9 15 + 9 24 เก่งมากนะคะ  24 เพราะฉะนั้น ลำดับของ 3 5 7 9 นะคะ เราสามารถเขียนเป็นอนุกรมหาผลบวกของลำดับนี้ได้นะคะ คือเท่าไร 24 อนุกรมตัวนี้มีค่าเท่ากับเท่าไรคะ 24 นั่นเอง เข้าใจไหมคะ โอเค เข้าใจ ถ้าเข้าใจมีโจทย์ให้ทำ ง่าย ๆ นี้ก่อนโจทย์ง่าย ๆ นี่ก่อน เริ่มจากง่าย ๆ ก่อนนะ ดูโจทย์นี้นะคะ กำหนดให้ ลำดับของ 13 5 7 9 ... กำหนดให้ลำดับของ 1 3 5 7 9 อนุกรม ข้อนี้มีค่าเท่าใด ใครจะลองคะ หา sn ข้อนี้ โอเคเชิญค่ะ ลูก ๆ ที่นั่งดูเพื่อนนะคะ คิดตามเพื่อนไปด้วยนะ คิดตามไปด้วยนะคะ สามารถหาค่าของอนุกรมรอเพื่อนได้เลยนะคะ เรามาดูว่าคำตอบเราจะตรงกับเพื่อนไหม ลำดับนี้มีกี่พจน์คะ ไหนมาช่วยกันตอบสิ มีกี่พจน์คะ กี่พจน์คะ ลำดับนี้มีกี่พจน์ 1 3 5 7 9 มี n กี่ตัว มี n กี่ตัว กี่คะ พูดได้ พูดได้ ออกเสียงได้ อนุกรมมี nกี่พจน์ มี 5 อนุกรมนี้มีทั้งหมด 5 โพจน์ ถูกไหมคะ เพราะฉะนั้น ถ้าเราจะหาอนุกรมมีค่าเท่าใดเราก็แทน sn =  A1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ถูกไหมลูก มาแทนค่าเลย ขึ้น 1 + 3 + 5 + 9 เท่าไรคะนี่ เพื่อนหาได้ 25 ตรงไหม ตรงเราไหมคะ บวกแล้วได้ 25 ไหมลูก 25 ไหม 25 ถูกต้องนะคะ 1 + 3 เป็น 4  4 + 5 เป็น 9 9 + 7 เป็น16 และ 16 + 9 = 25 เพราะฉะนั้น ข้อนี้นะคะ อนุกรมมีค่าเท่ากับ 25 นั่นเอง เก่งมากเลย ปรบมือให้เพื่อนหน่อยนะคะ เก่งมากกับรถโอเคมาดูข้อต่อไปนะคะ  มาดูตัวอย่างต่อไป มาดูว่าใครจะออกมาหาคำตอบให้ได้บ้างนะคะ คิดนะ คิดตามนะ ทีนี้มาดูตัวอย่างต่อไปนะคะ อันนี้จะมีความซับซ้อนขึ้นมานิดหนึ่ง นิดหนึ่งนะ โจทย์บอกว่าจงหาผลบวกของ 5 พจน์แรก ของลำดับ 1 3 5... เรารู้แล้วว่าอนุกรม ก็คือผลบวกของลำดับถูกไหมคะ ใช่ไหม อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับ แต่โจทย์ข้อนี้เขาบอกลำดับมาแค่ 1 3 5 แค่กี่ตัวคะ มีแค่ 3 ตัว แต่โจทย์เขาให้เราหา 5 พจน์แรก ยากไปไหมนี่ แสดงว่าโจทก์ยังไม่ครบถูกไหมคะ ลูก เขาให้หา 5 พจน์แรก แต่โจทย์ให้มาแค่ 3 พจน์ ชายแดน ข้อนี้เราจะต้องเป็นอย่างไรคะ หาเพิ่มอีก 2 ถูกไหมคะ เราก็จะได้ย้อนกลับไปความรู้เดิม ที่เราเรียนผ่านมาแล้ว คือเรื่องของลำดับใช่ไหม เรื่องของการหาพจน์ การหาพจน์หนึ่งพจน์แรก 2 พจน์แรก  พจน์แรก 4/1 พจน์ที่ N ของลำดับจำได้ไหม มันจะมีสูตรในการหาโดยใช้สูตรเท่ากับ A1บวกในวงเล็บ n - 1วงเล็บคุณได้ดีอันนี้คือสูตรการหาอะไรคะ หาพจน์ที่ n ถูกไหมคะ  ย้อนนะ ย้อนความรู้นิดหนึ่ง ถือว่าเป็นการทบทวนนะ เพราะฉะนั้นนะคะ เราจะต้องรู้ว่า a 1 คืออะไร ใครทราบ a  เลขอะไรคะ ไม่ตอบเลยค่ะ A1 คือเลขอะไรคะ  คนนี้ยกมือ คนนี้ตอบอย่างมาก คือ 1 นะคะ ถูกต้องค่ะ เก่งมาก a1 คือ 1 นะคะ สูตรมันต้องหาค่า d ด้วย ค่า d คืออะไร มันมีเฉลยแล้วน่ะ อย่าเพิ่งดูสิข้อดีคืออะไร คะผลต่างร่วมใช่ไหม ค่า d คือผลต่างร่วม เดี๋ยวฟังครูเจนก่อน ครูเถามว่าค่า D คือผลต่างร่วมใช่ไหม ซึ่งเราสามารถหาคดีได้ว่าอย่างไรคะ การนำพจน์ที่อยู่ใกล้ ๆ กันมา 1 คู่ใช่ไหม แล้วนำพจน์ข้างหลังลบข้างหน้าใช่ไหมคะ อย่างข้อนี้เราอาจจะเอาคู่ 1 และ 3 มา ใช่ไหมคะ แล้วก็เอา 3 ลบออก 1 จะได้ 2 เพราะฉะนั้น ข้อนี้เราก็สรุปได้ว่า dของอนุกรมนี้ คือ ใช่ ต้องเข้าใจด้วยนะว่า 2 มาจากเอาอะไรคะ คพจน์หลัง ลบหน้า คือ เอา 3 - 1 ได้ 2 แล้วถ้าเอา 5 - 3 ก็ได้ 2 เหมือนกัน เราสรุปได้ว่า d ของข้อนี้มีค่าเท่ากับ รู้แล้ว A1 น่ะ คอ 1 รู้ดีแล้วคือ เรานำมาแทนค่าในสูตรของเราได้เลย เพื่อที่จะหาพจน์ที่ nที่มันยังไม่ครบในโจทย์ ถูกไหมคะ พจน์ยังไม่ทราบคือพจน์ที่เท่าไรคะ คือพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 5 2 พจน์ใช่ไหมคะ เพราะพจน์ที่ 1 ให้มาแล้วคืนนึงบทที่ 2 พจน์ให้มาแล้ว คือ 3 และพจน์ที่ 3 โจทย์ให้มาแล้วคือ 5 แต่ยังไม่ทราบคือพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 5 เราก็สามารถหาได้เลยค่ะ โดยการนำ อย่างไรคะ นำสูตรนี้มาหา นี่มาดูเขาว่าถ้าเราแทนค่า a1 = 1 + n n คือพจน์ที่เรา ไม่ทราบ ถูกไหมคะ เราไม่ทราบ เราติด n ไว้ - 1 แล้วก็คูณด้วย d d  คือ 2 2 เข้าไปคูณใช่ไหม2 ได้จะได้เป็น 2 nและ -2ดูตามนะดูตามนะคะ เข้าใจนะสายตานะมึงนะเราก็จะได้ a n = อะไรคะ  2n - 1 งงตรงนี้  มาอย่างไร 2n - 1 2 ตัวนี้มีไหม 1 ตรงนี้ มันเป็นจำนวนเต็มเหมือนกันใช่ไหมคะ มันไม่ติดตัวแปรใด ๆ เลย เรานำมาบวกมาลบกันได้เลย ตามความจริงนะ 1 - 2 ได้ไหม ไม่ได้ ถ้าแบบนี้นะคะ เวลาเรานำมาลบเรายังไม่ต้องดูเครื่องหมาย เรานำตัวเลขที่มากกว่าลบออกเลย เป็น 2 - 1 ถูกไหมคะ เป็น 2 - 1 ถูกไหมคะ ทีนี้ติดเครื่องหมายอะไร ดูสิว่าตัวที่มีค่ามากมันติดเครื่องหมายอะไร อย่างข้อนี้ 2 มีค่ามากกว่า 1 ถูกไหมลูก ใช่ไหม 2 มีค่ามากกว่า 1 ใช่ไหม  ใช่ และหน้าเลข 2 เป็นเครื่องหมายอะไร เครื่องหมายลบ คำตอบที่ได้ก็เลยต้องติดลบด้วย 2 - 1 เท่ากับ 1 น่ะ ถูกแล้ว แต่ต้องติดเครื่องหมายลบ นั่นแหละ ใช่ ๆ เพราะว่าหน้าเลข 2 เป็นเครื่องหมายลบนั่นเอง เราได้มาแล้วค่ะ อันนี้เป็นอะไรคะ พจน์ทั่วไปถูกไหม พจน์ทั่วไปที่เราจะนำมาหา พจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 5 ที่เราต้องการทราบ ถูกไหมคะ  โอเคนะ ตามให้ทันนะ ใครตามไม่ทันบอกนะลูก เดี๋ยวครูเจนให้ค่ารถเมล์ ขึ้นรถเมล์ตาม ไม่ทัน มาถึงตรงนี้เราก็สามารถหาพจน์ที่ 4 ได้เลย โดยแทนค่า nก็เป็น a4 แผ่น ns =เลข 4 ไปเลยใช่ค่ะ เพราะฉะนั้น a4 ก็จะเท่ากัน ก็ 2 x n คือเลข 4 ใช่ไหมคือ 2 x 4 เลยใช่ แล้วลบด้วย มันก็จะเป็นการบวกลบเลขธรรมดาแล้วทีนี้ 2 x 4 เท่าไรคะ 2 x 4 ซ้อมไว้ ซ้อมไว้ ใครจะไปแข่งคณิตศาสตร์ซ้อมไว้นะคะ  2 x 4  8 เก่งมากค่ะ 2 + 4 = 8 ลบออก 1 7 พจน์ที่ 4 ตรงนี้ได้แล้ว คือเลข 7 ยังไม่จบนะ เพราะเขาบอกว่าต้องเป็น 5 พจน์แรก เราก็ต้องหาคนที่ 5  a5 แทน a5 ไปเลยใช่ไหมคะ = 2 x n n คือ เลข 5 แทนเข้าไปเลย 2 x 5 = 10 เก่งมาค่ะ รอแป๊บหนึ่ง 19 เก่งมากไม่น่ารักได้ยินเสียงด้วยนั่นคือบทที่ 5 เท่ากับได้ครบแล้วนะพูดแล้วนะตามที่โจทย์ต้องการทราบแล้ว เราก็มาเขียนนะคะ 5 พจน์แรก ก็คือ 1 3 5 ที่โจทย์ให้มาใช่ไหม และ 7 ที่เราหาได้ และ 9 ที่เราหาได้เพิ่มขึ้นมา 5 พจน์หรือยัง1 2 3 4 5 ครบทั้ง 5 พจน์แล้ว เราก็มาเขียนในรูปผลบวกของลำดับ นั่นคือเราจะหาอนุกรมกันแล้ว จะได้ว่า sn หรือ S5 ใช่ไหมคะ s5 ตามโจทย์ s5 ก็เท่ากับ 1 +3 +5 +7 + 9 = 25 เพระาะฉะนั้นนะคะ  ผลบวกของ 5 พจน์แรกของ 1 3 5 ก็คือเท่าไรคะ 25 นั่นเอง จะถามอะไรไหมคะ เข้าใจไหม ถ้าเข้าใจถ้าเข้าใจต้องทำตัวอย่างได้นะ เดี๋ยวดูต่อไป เมื่อกี้เป็นวิธีแรก เป็นวิธีหนึ่งที่ในที่ใช้ในการหาอนุกรม มันมีอีกวิธีหนึ่งลูก ที่ง่ายกว่าวิธีเมื่อกี้ แต่ได้คำตอบเหมือนกัน มาดูนะ วิธีนี้คืออะไร โจทย์เดียวกันค่ะ จงหาผลบวกของ 5 พจน์แรกของลำดับ 1 3 5... ไปเรื่อย ๆ วิธีนี้เขาบอกว่าแค่เราสามารถหาผลต่างร่วม หรือหาค่า d ของลำดับนี่ได้ เราก็สามารถหาผลบวกได้เลย หรือหาอนุกรมได้เลย มาดูว่าเป็นอย่างไร ดูนะ หาค่า d ค่า d หาได้จากอะไรนะ  ค่า d หาได้จากนำพจน์หลัง - หน้าใช่ไหมคะ เอาคนที่อยู่ใกล้กันนะลูกมา 1 คู่ แล้วนำตัวเลขที่อยู่ข้างหลังลบตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าอย่างข้อนี้ เอาคู่ 1 3  มา1 กับ 3 3 อยู่ข้างหลังใช่ไหม เอา 3 ลบวข้างหน้า คือ เลข 1 เราก็จะได้คำตอบคือ 2 ลองพิสูจน์ดูว่าใช่หรือไม่ว่า 3 - 1 = 2 จริง และ 5 - 3 = 2 ไหม 5 ลบออก 3 เท่ากับ 2 ไหม 5 ลบออก 3 เท่ากับ 2 ไหม เท่าไหม เท่าไหม เท่าใช่ไหมคะ ถ้าเท่ากันไปเรื่อย ๆ แบบนี้ ก็แสดงว่า d เท่ากับ 2 พอทราบค่า d นะคะ เขาบอกว่าให้พิจารณาเลยค่ะ ว่าพจน์ที่ 1 ไปพจน์ที่ 2 ห่างกัน 2 ใช่ไหม ห่างกัน 2 ก็คือบวกเพิ่ม พจน์ที่ 1 บวกเพิ่มอีก 2 เท่ากับพจน์ที่ 2ใช่หรือไม่ พจน์ที่ 2 บวกเพิ่มอีก 2 เท่ากับคนที่ 3 ใช่หรือไม่ จากนั้นเอาพจน์ที่ 3 บวกเพิ่มอีก 2 มันจะเข้ากับคนที่ และพจน์ที่ 4 บวกเพิ่มอีก 2 มันจะเท่ากับ 5 ไปแบบนี้เรื่อย ๆ  แบบนี้เราก็จะสามารถหาพจน์ต่อไปได้ ไม่ยากเลย มาดูพิสูจน์กันสิ 1  + d d คือ 2 เท่ากับ 3 ไหมคะ 1 + 2 เท่ากับ 3 ไหม เท่าไหม ใครว่าไม่ เท่า เท่านะ แล้ว 3 + 2 ล่ะ เท่ากับ 5 ไหม 3 + 2เท่ากับ 5 ไหม เท่ากับ 5 5 จากนั้นมาดูค่ะ 5 + 2 ค่ะ เอา 5 + 2 ค่ะ เป็นเท่าไรคะหนูแค่ 7 แสดงว่าลำดับต่อไปคือ 7 แล้ว จากนั้นเอา 7 + 2 ค่ะ 9 ลำดับต่อไปคือเลข 9 แบบนี้เราสามารถหาลำดับถัดไปเรื่อย ๆ นะคะ ได้เรื่ิย ๆ ไหม เราสามารถหาลำดับถัดไปได้เรื่อย ๆ ไหมคะ เพราะเรารู้ว่า d มันมีค่าเท่ากับ 2 พจน์แล้วมันห่างกันคืออะไรคะ หรือมันเพิ่มขึ้นทีละ 2 2 2 แสดงว่าลำดับถัดไปคือเอา 9 บวกกับ 2 ถูกไหมคะ 9 + 2 เป็นเท่าไร 9บวกเพิ่มอีก 2 11 ใช้ เพราะฉะนั้น ลำดับถัดไป คือ 11 ไปอีกเรื่อย ๆ แล้วก็สามารถหาได้เรื่อย ๆ แต่ในโจทย์ข้อนี้เราไม่ต้องหาต่อแล้วค่ะ เพราะ โจทย์เขาถามแค่ 5 พจน์แรกใช่ไหมคะ เพราะฉะนั้น เราก็จะหาได้เอาแค่ 5พจน์นี้เท่านั้น พอได้ 5 พจน์แล้ว เราก็มาหาผลบวกของลำดับทั้ง 5 อนุกรมนั่นเอง หาค่าของอนุกรมของลำดับนี้ นะคะ จะได้เป็น S5 = 1+3+ 5 + 7 + 9 ซึ่งคำตอบก็คือเท่าไรคะ 25 เท่ากันไหม เท่ากันกับตัวอย่างแรกไหมคะ ตัวอย่างนี้ คำตอบ ก็คือ25 โจทย์ตัวเดียวกันนะ หาด้วยวิธีนี้ คำตอบก็อะไรคะ 25 เหมือนกัน คำตอบเดียวกัน แต่วิธีการหาแค่ต่างกันแค่นั้นเอง มาถึงตรงนี้ลูก ๆ คิดว่า ระหว่างวิธีนี้ลูก ระหว่างวิธีนี้ลูก คือต้องหาพจน์ทั่วไปของลำดับก่อน แล้วค่อยหาคำตอบของอนุกรม กับวิธีนี้ค่ะลูก หาแค่ค่า d ออกมา แล้วมาหาคำตอบของอนุกรมได้เลย วิธีที่ 1 1 หรือ 2 ง่ายกว่ากันคะ วิธีที่ 1 หรือวิธีที่ 2 ง่ายกว่ากัน เลืิอก แบบไหนหนูว่าหาง่ายกว่ากัน 1 หรือ 2 เหรอ จริงน่ะวิธนี้เหรอ นะ วิธีนี้ล่ะ เอาแบบไหนลูก  เมื่อกี้หาง่ายกว่าใช่ไหม โอเค หาง่ายกว่า เรามาดูตัวอย่าง ตัวอย่างก่อนแล้วกันนะ กลับมาตรงนี้ ก็ยังมี 5 ข้อ จะให้ทำข้อ 5 ก่อน จะให้ทำข้อ 5 ก่อนนะ มอง ๆ ๆ สะกิดเพื่อนมองหน่อย ใครหาคำตอบข้อ 5 ได้ ข้อ 5 เขาบอกว่าจงหาผลบวกของ 9 พจน์แรก ของ 147 10 ใช้วิธีที่ 2 เมื่อกี้ คือ หาค่า หาค่าอะไรคะ หาค่า d d ทำ อย่างไร หาค่า d หาค่า ดี ๆ ราคาดีลองไห ม ก็จะไปหรอหาค่า d ออกมาก่อน ค่า d ก่อนถ้าดีก่อน ค่า d ข้อนี้คืออะไร คิดดี ๆ  3 ใช่ไหม ค่า d คือ 3 ค่า d ค่ะ 3  งั้นให้เพื่อนดูได้ไหมคะ ได้ไหม ไม่เอา ไปให้เพื่อนดูได้ไหม อย่างนั้นเดี๋ยวขอเวลาสักพักหนึ่งนะคะ เดี๋ยวให้เด็ก ๆ ทำแบบฝึกหัดนี้ดู ฮัลโหล เทสต์ โอเคนะคะ เมื่อกี้ลูก ๆ ก็ได้ทำแบบทดสอบไปทั้ง 3 ข้อ ซึ่งครูเจนเดินดูแล้ว ส่วนใหญ่ ก็คือ ทำได้ เข้าใจนะ มีแค่บางคนเท่านั้นที่อาจจะช้า แต่พออธิบายก็คือก็เข้าใจ ทีนี้เรามาสรุป สรุปการหาผลบวกลำดับ ถูกไหมคะ หรือการหาค่าของอนุกรมของลำดับที่โจทย์กำหนดมาให้ ถูกไหมคะ วิธีที่ลูก ๆ เลือก ทำแล้วรู้สึกว่าทำแล้วเข้าใจง่าย หาคำตอบให้เร็ว คือวิธีนี้ถูกไหมคะ  คือการหาผลต่างร่วมหรือหาค่า d ใช่ไหมคะ หลาย ๆ คนเลือกวิธีนี้ ทีนี้มาดู มาเช็กความเข้าใจกันอีกครั้งหนึ่ง ครูเจนมีโจทย์บนกระดานให้ 2 ข้อนะคะ ดูที่โจทย์นะ จงหาผลบวกของ 5 พจน์แรก ของ 2 5 8 นะคะ โดยลูก ๆ นี่ เลือกใช้วิธีการหาคำตอบนะ ดยโดยการหาค่า d ออกมาก่อน ใช่ไหมคะ ค่า d จำให้ขึ้นใจนะ ตราบใดที่เราเรียนเรื่องนี้นะคะ เราต้องรู้ว่าค่า d ยังไงครมั่นใจว่าหลายคนถ้าเกิดทำบ่อยทำไปบ่อย ๆ จะเก่งจะเข้าใจแล้วก็จะจดจำได้ถูกไหม อย่างโจทย์ข้อนี้ค่ะลูก 2 5 8 ลองดูนะ 2 5 8 มีค่า d เท่าไรคะ ถ้ามองด้วยตา 2 5 8 2 5 8 ค่า d มีค่าเท่าไรคะ ใครนึกได้ ถูกต้อง ใช่ไหม คิดดี ๆ 2 5 8 2 5 8 เท่าไรคะ ค่า d ค่า d อย่าลืม ค่า d คือเรานำตัวเลขที่อยู่ใกล้กันนะลูก อยู่ใกล้กัน เอาตัวหลังลบตัวหน้า เพราะฉะนั้น 5 กับ 8คู่ ไหนล่ะ คู่ 5 นี้ใช่ไหม ค่า d มีค่าเท่ากับ 3 ถูกต้องค่ะ พอเราได้ ค่า d แล้วนะคะ มีค่าเท่ากับ 3 เราก็มาหาค่าพจน์ ที่โจทย์กำหนดถูกไหมคะ ทั้ง 5 พจน์ที่โจทย์กำหนด แล้วก็หาคำตอบของอนุกรมออกมา โอเคไหมคะ ดูโจทย์ข้อนี้ บนกระดานค่ะ ดูโจทย์ข้อนี้บนกระดาน ใครหาคำตอบให้ครูเจนได้บ้าง มีคะแนนให้นะคะ มีคะแนนให้เลยนะ ข้อละ 10 คะแนน ไปเลย ข้อละ 10 คะแนน เข้าใจไหมคะ จ่อยออกมาไหมจ่อย มา ออกมาทำให้ดูหน่อย  เรามาดูกันนะคะ ว่าเพื่อนออกมาทำโจทย์บนกระดาน ลูก ๆ ก็ทำในสมุด ทำในสมุดด้วย  เรามาดูคำตอบเรากับเพื่อนจะตรงกันไหม ไม่ ต้องตรงสิคะ โจทย์เดียวกันโจทย์เดียวกันต้องตรง อย่าลืมนะคะ การหาค่า dการหาร ค่า d แค่จับคู่ลำดับที่อยู่ใกล้กันมานะ จับคู่ลำดับที่อยู่ใกล้กันมา 1 คู่ใช่ไหมคะ นำตัวเลขที่อยู่ข้างหลังลบตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า มันคือการหาค่า d นะ จากนั้น เราก็หาผลบวก ของพจน์ตามที่โจทย์กำหนดให้เลย นะ จากลำดับ 2 5 8 นะคะ  เพื่อนหาค่าได้คือ อย่างนั้นนจาก 2 5 8 ต่อไป ก็คือ 11 สภาพพจน์หรือยังค่าพจน์แล้ว ากนั้นเราก็หาค่าของอนุกรมได้เลยค่ะ โดยนำแต่ละคนมาทำอะไรกันคะบวกกัน นำแต่ละพจน์มาบวกกัน 2 + 5 + 8 + 11 และ + 14 2 + 5 เท่าไรคะ 2 + 5 7 ถูกไหมคะ ต่อไป 7 + 8 ถูกต้องค่ะ เท่าไรคะ 15 ใช่ค่ะ ต่อไป 15 + 11 ค่ะลูก 15 +11 เท่าไรคะ 15 +11 เท่าไรคะ 20 เท่าไร 20 เท่าไรเอ่ย 15 + 11 จะไปแข่งบวกเลขเร็วนะนี่ 5 + 11 เท่าไร 15 + 11 20 เท่าไร 26 26 + 14 26 + 14  เท่าไรคะ 26 + 14 คิด ๆ ๆ เร็ว ๆ  40 ถูกไหมคะ ถูกต้องค่ะ 40 ปรบมือให้เพื่อนหน่อยค่ะ  ปรบมือให้เพื่อนหน่อย โอเคนะคะ จากตรงนี้นะคะ  ครูเจนเห็นแล้วว่าจริง ๆ ส่วนใหญ่เข้าใจ เข้าใจวิธีหานะ วิธีหาอนุกรมโดยการหา ค่า d ตรงนี้นะคะ อาจจะต้องไปฝึกฝนในเรื่องการบวกเลข ดูนะ ดูนะทุกคนนะคะ เกือบทุกคนเลยต้องไปฝึกฝนเรื่องการบวกเลข เรื่องการบวกเลข เราต้องบวกให้ ต้องบวกให้คล่องนะคะ ต้องบวกให้คล่องนะ โอเคนะคะ สำหรับวันนี้นะคะ ตามจุดประสงค์ของเรา คือ 1 ลูก ๆ รู้ว่าอนุกรมคืออะไร อนุกรมก็คือผลบวกของลำดับ ใช่ไหมคะ ลูก ๆ สามารถหาผลบวกของพจน์ที่ n ถือว่าโอเคบรรลุเป้าหมายเพราะวันนี้นะคะ วันนี้ก็หมดเวลาแล้วใช่ไหมคะ หมดเวลาแล้ว เดี๋ยวลูก ๆ เดี๋ยวขอบคุณที่ล่ามค่ะลูก ลูก ๆ ลุกค่ะ ใช่ ขอบคุณพี่ล่ามก่อน จ้า ขอบคุณมากค่ะ