---
title: ค32102 คณิตศาสตร์ (ม.5/1) (เช้า) 090267
subtitle: 
date: วันศุกร์ที่ 9 กุมภาพันธ์ 2567  เวลา 08.30 น.
---

								(ข้อความสดจากระบบถอดความเสียงพูดทางไกล)
ทบทวนอีกครั้งหนึ่งนะคะ เพราะว่าในเรื่องของการหาผลบวกลำดับอนุกรมมันมีหลายวิธี แต่ชั่วโมงที่แล้วเรียนแค่วิธีเดียวนะ กหอื่นนะคะ รบกวนนิดนึงจำได้ไหมคะ อนุกรมหมายถึงอะไรคะ อนุกรมคืออะไร ใครตอบครูเจนได้บ้าง อนุกรมคืออะไรคะลูก อนุกรมคือ... จำได้ไหม คืออะไรเอ่ย ใครอยากตอบบ้างคะ ยกมือได้ จำได้ไหม จำไม่ได้ ทบทวนนะ อนุกรมคืออะไรคะ อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับ โอเคไหม โอเคนะอนุกรมนะคะ คือ ผลบวกของลำดับ ครูเจนจะทบทวนนะ ตัวอย่าง เช่น ถ้าเขาให้ลำดับมา 1 3 5 7 9 อนุกรมของลำดับนี้คืออะไรคะ อนุกรมของระดับนี้ ก็คือลำดับแต่ละลำดับใช่ไหมคะ นำพจน์ ที่ 1 2 3 4 5 ในลำดับนี่มาบวกกันให้หมดเลย เพราะฉะนั้น อนุกรมของลำดับ 1 3 5 7 9 ก็คือ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 แล้วเราก็หาผลลัพธ์ออกมา ซึ่งมีค่าเท่ากับเท่าไรคะ 25 นั่นเอง โอเคไหมคะ อันนี้เข้าใจไหมลูก เข้าใจนะ ใช่ อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับ ถ้ากำหนดให้ Sn หนูดูนะลูก มีตัวแปรใหม่ขึ้นมานะคะ ตัวนี้ต้องจำนะ ถ้ากำหนดให้ sn แทนผลบวก n พจน์แรกของลำดับ an ดูนะคะ ถ้ากำหนดให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของลำดับเราจะได้ Sn = a1 + a2 + a3 + ไปเรื่อย ๆ จนถึง an อันนี้คืออยู่ในรูปของอนุกรมแล้วนะคะ Sn ตรงนี้แทนผลบวกของลำดับ หรืออนุกรมนั่นเองนะคะ มาดูต่อไปนะคะลูก เราจำได้ใช่ไหม เรื่องของลำดับจำกัด ลำดับจำกัด จำได้ใช่ไหมคะ ลำดับที่มี a1 a2 a3  ไปเรื่อย ๆ จนถึง an แบบนี้เราบอกได้ว่ามีกี่พจน์ในลำดับนี้ ถูกไหมคะ n พจน์ ถ้าเราเขียนในรูปของอนุกรมมันจะเป็นอนุกรมจำกัด ก็คือ a1+ a2 + a3 ไปเรื่อย ๆ จนถึงบวก an นะคะ ถ้าเป็นลำดับอนันต์ล่ะ อันดับอนันต์ ก็คืออันดับที่เราไม่สามารถบอกได้ว่ามีกี่พจน์ ถูกไหมคะ มี a1 a2 a3  ไปเรื่อย ๆ จนถึง an แล้วยังมีต่อไปเรื่อย ๆ อีก คือ เราไม่รู้ว่ามีกี่โพสต์บอกไม่ได้ถ้ามาเขียนในรูปอนุกรม ก็จะเป็นอนุกรมอนันต์นะคะ ก็คือ a1 + a2 + a3 + ไปเรื่อยถึง an แล้วยังบวกต่ออีกไปเรื่อย ๆ แบบนี้ เพราะฉะนั้น ตรงนี้เราสามารถสรุปได้ว่าอนุกรมจำกัด ก็คือมาจากลำดับจำกัดนั่นเอง นะคะ และอนุกรมอนันต์ ก็คือมาจากลำดับอนันต์นั่นเองนะคะ ทีนี้มาดูตัวแปร นะคะ ในแต่ละตัวในอนุกรมนี้นะคะ ตัวแรก คือ a1 a2 a3  ตรงนี้ลูก ๆ น่าจะพอจำได้ ว่ามันคือ a1 ก็คือพจน์ที่.... พจน์ที่หนึ่ง นะลูก ก็คือพจน์ที่ 2 ใช่ไหม a3 ก็คือพจน์ที่ 3 an ก็คือพจน์ที่ n ซึ่งตัวแปรในตรงนี้ที่เราต้องลูก ๆ ต้องเข้าใจและต้องจำให้ได้ตรงนี้นะลูก Sn ตรงนี้ขึ้นมาใหม่นะ มาใหม่นะลูก Sn ผลบวก n พจน์แรกของลำดับ an นั่นเอง หรืออนุกรมนั่นเอง โอเคไหม ทีนี้มาดูการหาอนุกรมนะคะ ชั่วโมงที่แล้วเราหาตัวอย่างนี้ใช่ไหมลูก เพราะฉะนั้น ชั่วโมงนี้เราจะมาหาตัวอย่างนี้กันนะคะ ตัวอย่างนี้ ดูตัวอย่างนี้นะ ดูการหาอนุกรมตัวอย่างนี้นะคะ  ถ้าเรากำหนดให้ an = 5n - 4 คุ้น ๆ ไหมลูก an = 5n - 4 มันอยู่ในรูปของอะไรคะ จำได้ไหม บ่แม่นแล้ว ลืมเด้อลูก ต้องจำนะ เรียนมาต้องจำเอามาใช้ด้วยนะคะ กำหนดให้ an = 5n - 4 เป็นรูปแบบพจน์ทั่วไป ถูกไหมคะ ใช่ไหม แล้วให้เราหา S5 เท่ากับเท่าใด S5 ตัวนี้คือผลบวกอนุกรมใช่ไหมคะ ผลบวกลำดับและอนุกรมถูกไหม อนุกรมของ an = 5n - 4 ให้เราหา หาอย่างไรคะ มาดูวิธีทำ ดูนะ หา S5 S5 ก็ต้องมาจาก a1 + a2 + a3 + a4 ถึงบวก a5 ใช่หรือไม่ ใช่ไหมคะ S5 ผลบวกของลำดับ15 โพสต์ถูกไหมคะ ใช่ไหม ทีนี้เรามาดูว่าเราจะหา a1 a2 a3 a4 a5 ได้เราก็แค่ทำอย่างไรคะลู ก แทน an = 1 ถูกไหมคะ ตรงนี้ค่ะ ลูกตัวแปรตรงนี้ด้วย 1 2 3 ด้วยสิ แค่นั้นเอง มาดูมาดูอย่างไร 5 ก็เหมือนเดิม ยังไม่รู้ ไอ้ตรงนี้เปลี่ยนจาก n เป็นเลขอะไรคะ เลข 1 เพราะเราต้องหา a ต้องการหา a1 ใช่ไหม แล้วแทน a1 แล้วนะ 5 x 1 ได้เท่าไรคะ คูณหนึ่งx1 ใน 5 นะ 5 x 1 ได้ 5 เท่าไรคะ ลบ 45 - 4 ถูกต้องค่ะ ได้ 1 a1 แล้วได้ 1 แล้วนะ ต่อไปหา a2 ต่อค่ะ 5 เหมือนเดิม แต่เปลี่ยนตรงนี้เป็นเลข 2 ใช่ 5 x 2 = 10 ถูกต้อง และลบออก 4 5 ถูกต้องค่ะ แล้ว 6S  26 แล้วนะ จะไป a3เหมือนเดิมเปลี่ยน nตรงนี้เป็นเลข 3 ค่ะ 5 x 3 ถูกต้องค่ะ 15 เก่งมากลูก ลบออก 4 ถูกต้องค่ะ 11 a3 ได้ 11 แล้วนะ เหมือนเดิมเปลี่ยน n เป็นเลข 4 ค่ะ 5 x 4 ได้  โอเค เก่งมาก 16 นะคะ ต่อไป a5 ตัวสุดท้ายค่ะลูก a5 5 เหมือนเดิม เปลี่ยน n เป็นเลข 5 ค่ะ 5 5 25 เก่งมากค่ะ ลูก 21 ใช่ เพราะฉะนั้น เห็นไหมคะ S5 เราก็หาได้จากนำ A1 + A2 + A3 + 4 + A5 ที่เราหาได้เราก็จะได้เป็น 1 1 + 6 + 11 + 16 และบวก 21 และเราก็หาผลลัพธ์ออกมาค่ะ ตอนนี้ครูเจนหาไว้ให้แล้วเท่ากับเท่าไรคะ 55 นั่นเอง เพราะฉะนั้น ฆ5ของ a n = 5 n - 4 เท่ากับเท่าไรคะ 55 นั่นเองใช่ไหมคะ มีใครจะถามอะไรไหม ตรงนี้ ถามไหม ไม่ถาม เดี๋ยวครูเจนจะให้ลองทำนะคะ มีตัวอย่างให้ลองทำนะ ข้อ 1 กับข้อ 2 เดี๋ยวข้อ 1 ข้อ 2 กครูเจนจะพาทำก่อนจะพาทำก่อนมาดูนะ โจทย์กำหนดให้ an = 2n + 1 เขาถามว่า S4 จะมีค่าเท่าใด an นะ เท่ากับ 2n + 1 หา S4 ค่ะ อันดับแรกทำอย่างไรนะ ได้ ทำไมคะ แล้วต้องหาอะไรลูกหาเอง a1 a2 a3 a4 ใช่ไหม ถูกไหมคะ ต้องหา a1 a2 a3 a4  ออกมาก่อนใช่ไหม โอเคนะ a1 a2 a3 a4 หาอย่างไรเอ่ ยหาจากการแทนค่าถูกไหม จากการแทนค่า 2n+1 ตรงนี้ ดูก่อนนะลูกนะ ตั้งใจฟังตรงนี้ก่อนลูก มองมองพี่ล่าม พี่ล่าม มองพี่ล่ามค่ะ ไม่เข้าใจนะมองพี่ล่ามก่อน หา a1 a1 จากการแทนค่า 2x n n คือ 1 ได้ค่ะ แล้วบวกด้วย 1 อีกทีหนึ่ง 2 x 1 ค่ะ บวกเรียบร้อยเก่งมากเลยข้อ 2 x 1 เปลี่ยน n เป็น 2 ใช่ไหมคะ ลูกบวกหนึ่งก็เป็น3 เยี่ยมมาก มาดู A2 ต่อค่ะ 2x เปลี่ยน n เป็ย 2 เยี่ยมมาก แล้วก็บอกอีกทีนึง2 * 2 เป็นน  + 1 เป็นเก่งมากใครคิดไม่ทันรีบ ๆ คิดนะไอ้คิดไม่ทันรีบคิดนะคะ จะไป A3 2 เหมือนเดิม เปลี่ยน n เป็นเลข 3 เป็น 2 x 3 ใช่ไหมคะ บวกอีก 2 x 3 เป็น 2 x 3 เป็น 6 6 + 1 เป็น 7 ถูกต้องค่ะ เก่งจังเลยห้องนี้ ต่อไปสุดท้าย a4 a4 นะ 2 เหมือนเดิมเปลี่ยน n เป็น 4 2 x 4  เป็น 8 8 + 1 เป็น 9 เก่งมากค่ะ เราได้แล้ว คือ a1 a2 a3 a4 จากนั้นเราจะมาหา S4 เราก็เขียน S4 ขึ้นมาค่ะลูก = a1 a2 a3 เอา A1 A2 A3 A4 ที่เราหาได้ถูกไหมคะ มาแทนลงไปเลย A1 คือ3 a2  คือ 5 a3 คือ 7 และ a4 คือ 9 ลูก ๆ ลองบวกสิลูก 24 เท่าไรนะ 24 เอามาดูว่าใช่ไหม 3 + 5 เท่าไรคะ 3 + 5 เป็น 8 ค่ะ 8 + 7 15 15 + 9 24 เก่งมากค่ะ โอเค ง่ายไหม เข้าใจไหมคะ โอเค ดูตัวอย่างต่อไปค่ะ ตัวอย่างที่ 2 2 ตัวอย่างพอนะ หลังจากนั้นให้ทำเองนะ ตัวอย่างที่ 2 ค่ะ an กำหนดให้ an = 3n - 2 ให้หาค่า หาค่าของ S6 ค่ะ หาค่าของ S6 ทำอย่างไรนะอันดับแรก อันดับแรกเราต้องหาอะไรก่อนคะ 1Aโสมa1 a2 a3 a4 a5 a5จนถึงเอทำไมถึงหา แค่ a6 คะ เพราะโจทย์ต้องการทราบ แค่ S ใช่ไหม โอเคนะ อย่างนั้นเรามาดูค่ะ หา a1 a2 a3 a4 a5 a6 โดยการแทนค่าไหมคะ แทนค่า n ในสมการ มาดูค่ะ 3 1n แทนค่าด้วย 1 ค่ะ 3 x 1 เป็น3 3 - 2 3 - 2 1 ถูกต้องค่ะ S2 ค่ะ 3 อันเดิม แนนด้วย 232 เป็นเดี๋ยวเอาตังค์ให้ก่อนเอา 3 x 2 ก่อน 3 x 2 เป็น 6 ไป -  2 ใครหนึ่งคะ ใครหนึ่งคะ 6 - 2 เหลือ 1 หรือลูก ลบ ลบ ใช่ไหม เหลือ 4 ถูกต้องค่ะ ต่อไป a3 3 x 3 เป็น 9 9 -2 เหลือ 7 ถูกต้องค่ะ ไวนะนี่ คูณเลขเร็วนะ เดี๋ยวส่งแข่งเดี๋ยวส่งไปแข่ง ต่อไปนะต้อง ซ้อมนะ จะไป a3 x 4 2 ใช่ไหม 5 2 ลบใครไม่ได้ ใครไม่ได้ เพื่อนได้แล้ว 2 เพื่อนได้แล้ว 3 ใครไม่ได้คะ ได้ไหมจ่อย 4 x 3 จ่อยได้ไหม สะกิดสิ ได้คำตอบไหม อะไรได้ 8 จ่อย ครูเจน พี่ล่าม Sn an a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 a3 a4 a5 a6 S พจน์จ่อยเขาได้ 10 กันหมดทำไมไม่ได้ 8 10 น 10 นะคะ A5 กับลูก3 x - 2คิดเร็วแท้ 14 มาจากไหน เพื่อนตอบไปแล้วนะ 3 x 5 ได้เท่าไร 3 3 x 5 = 15 ถูกไหม แล้วก็ลบ ลบ 2 เหลือ 13 ถูกต้องค่ะ สุดท้าย a6 ลูก 3 x 6 3 x 6 - 2 16 เพราะว่า... เดี๋ยวให้เพื่อนตามไปด้วย เอาตัวนี้ก่อน 63 เท่าไร 6 x 3 เอา 6 x 3 ก่อนลูก เอา 6 x 3 6x3 คิดดี ๆ 6 x 3 3 x 6 x 3 = 18 แต่มันก็เอา 18 มาลบออก 2 เหลือ 14 ถูกต้องค่ะ เราได้แล้วนะ S1 - S6 เราได้มาแล้ว พวกนั้นค่าของ S6 ก็คือนำอะไรคะ A1 + A2 +A3 + A4 + a5 และก็บวก A6 ซึ่งค่าของ a6 ก็ได้มาแล้วเราก็นำมาบวกอะไรคะ 1 + 4 บวกด้วย 7 12 เก่งมากค่ะ แล้วก็บวกด้วย 10 1 + 4 เป็น 5 5 + 7 = 12 12 + 10 = 22 + 13 22 + 13 เออ 35 บวก 14 40... 49 ถูกไหมคะ 5 12 22 35 49 ได้คำตอบเรียบร้อย ถูกไหม ตอบถูกไหม 49 โอเค มาถึงตรงนี้เป็นอย่างไรบ้างคะลูก เข้าใจไหม อยากไปไหม ยากไหม เข้าใจไหม เข้าใจไหม เข้าใจ เข้าใจไหม แน่ใจนะ เข้าใจไหมลูก จ่อย เข้าใจไหม เข้าใจนะ ถ้าเข้าใจต้องทำแบบฝึกได้นะ เดี๋ยวครูเจนมีแบบฝึกให้ทำ ณ ตรงนี้ใครมีอะไรจะถามไหมคะลูก มีอะไรจะถามไหม ไม่ถาม ถามกันหน่อยก็ได้นะลูก จะอยากตอบมาดูตัวอย่างนี้ค่ะ ดูนะข้อ 1 ข้อ 2 3 4 5 ให้ลูก ๆ ทำในสมุดนะคะ เอ้า มอง จ่อยมอง จ่อยมองค่ะ ลูกรู้ไหมกูจะได้ทำอะไร กูครูเจน จะได้ทำอะไร จ่อย ไม่รู้ก็ไม่ดูน่ะ ลูกให้ดูให้ทำแบบฝึกหัดทั้ง 5 ข้อนี้นะคะ ลงในสมุด เดี๋ยวขอเวลาหน่อยนะคะ จากนั้นเดี๋ยวครูเจนจะให้ลูก ๆ ออกมาทำหน้ากระดาน เพื่อรีเช็กว่าลูก ๆ เข้าใจจริงหรือเปล่า โอเคไหม โอเคนะคะ เข้าใจไหม ทำในสมุด ใช่ค่ะ ลอกอันนี้ก่อน ลอกอันนี้ลงในสมุดก่อนแล้วก็ทำแบบฝึกหัดคณิตต่อ โอเคนะคะ ขอบคุณค่ะ ฮัลโหล โอเคนะคะ ตอนนี้ลูก ๆ ทำแบบแบบฝึกนะคะ ทั้ง 5 ข้อมีหลายคนทำเสร็จแล้วนะคะ หลายคนยัง ยังไม่เสร็จนะ เหลืออีกประมาณข้อหนึ่งนะคะ เท่าที่ครูเจนเดินดูนะคะ ลูก ๆ ส่วนใหญ่ ก็คือเข้าใจวิธีทำ และก็มีบางคนที่บวกเลขถูก ถูกต้องแม่นยำ แต่ก็มีหลาย ๆ คนนะที่วิธีทำถูกนะ แต่การบวกเลขน่ะลูกต้องไปซ้อมมากกว่านี้ การบวกเลขนะคะ ตอนนี้เพื่อน ๆ เรากำลังทำแบบฝึกหน้ากระดานนะคะ ซึ่งทำได้ถูกต้องด้วยนะ บวกเลขให้ถูกด้วยนะคะ ชื่นชมนะคะ ปรบมือให้เพื่อนหน่อย ปรบมือให้เพื่อนน่อยค่ะ ทำถูกต้องนะคะ เดี๋ยวตรวจคำตอบนิดหนึ่ง ถูกไหมคะ โอเคนะคะ วันนี้นะคะ ลูก ๆ 5/1 อย่าทำเก่งมากนะ ส่วนใหญ่ คือ วิธีทำเข้าใจ เข้าใจว่าการหาอนุกรม ก็คือการหาผลบวกของลำดับ ก่อนอื่นเราต้องหาลำดับแต่ละลำดับให้ได้ก่อนถูกไหมคะ หา an แต่ละตัวออกมาให้ได้ก่อน อย่างโจทย์ข้อนี้ 3n + 1 เขาไปหา S5 ลูก ๆ เข้าใจค่ะ ว่าลูก ๆ ต้องหาทั้ง 5 ก่อนคือ a1 a2 a3 a4 a5  ให้ได้ก่อน จากนั้นค่อยนำ a1 a2 a3 a4 a5  มาบวกกัน แล้วเราถึงจะได้คำตอบของค่านั้นออกมา ตอนนี้ลูก ๆ ส่วนใหญ่คือเอาใจแต่ก็มีหลายคนนะคะ ที่ยังบวกเลขไม่ไม่ถูกไม่คล่อง ตรงนี้คูรเจนฝากให้ไปฝึกนะคะ ฝึกการบวกเลขมาขึ้น หรือบางคนที่ยังเขียนไม่ทัน สายตาไม่ค่อยดีก็มานั่งใกล้ ๆ นะลูกนะ บวกเลขไม่... บวกเลขไม่คล่องให้ไปฝึก ดูแม่สูตรคูณ ดูการบวกเลข อันนี้เลขแค่หลักเดียวนะลูกนะเลขหลักเดียว เลข 2 หลัก คือ เราต้องไปซ้อมเยอะ ๆ นะคะ มาถึงตรงนี้ มีใครสงสัยอยากจะถามอะไรครูเจนไหมคะ ยังมีข้อสงสัยอะไรไหม เกี่ยวการหาอนุกรมตรงนี้ ไม่มีนะ เข้าใจดีมาก หนิงล่ะลูก หนิงไม่เข้าใจหนิงไม่ถาม ไม่ทำไม่ได้นะคะ ลูกนะ เป็นนักเรียนหน้าที่เราเคยเรียนหนังสือนะลูกนะก็ต้องตั้งใจเรียนวันนี้ วันนี้คุณเจนก็ฝากสำหรับเรื่องของการหาอนุกรมนะคะ จากการรีเช็กแล้ว 1. หลาย ๆ คนหาอนุกรมได้นะ อนุกรมได้เข้าใจนะคะ 2. ลูก ๆ หาผลบวกของพจน์ที่ n ได้นะคะ ส่วนใหญ่ คือ หาได้นะ 80 เปอร์เซ็นต์ สวัสดี 20 เปอร์เซ็นต์ ก็ไปซ้อมเพิ่มนะคะ ฝึกซ้อมเพิ่มเติม สำหรับวันนี้นะคะ ก็หมดเวลาแล้วนะ หมดเวลาแล้วนะคะ ลูก ๆ เดี๋ยวทำความเคารพพี่ล่ามหน่อยค่ะ ลูกขอบคุณพี่ล่ามหน่อย ลูกคะ ลูกเร็ว ขอบคุณพี่ล่ามนะคะ ขอบคุณค่ะ