(อาจารย์) ค่ะ สวัสดีค่ะ สวัสดีพี่ล่ามแล้วก็นักเรียนที่น่ารักทุกคนนะคะ วันนี้ตอนเช้ามาแล้วครูเห็นนะแอบขึ้นมาแล้วก็นั่งนั่งรอคนเห็นโต๊ะด้วยนะคะ ก็เหนื่อยใช่ไหมลูก เหนื่อยใช่ไหม เมื่อวานกลับมาดึกไหม เมื่อวานไปแข่งมา กลับมาค่ำไม่ใช่ไหมคะ พวกเรายังเด็กอยู่นะลูก ต้อง Active ตัวเองนะคะ เมื่อวานนี้ครูเห็น ก็คือมาประมาณ 20:00 น. น้องมาประมาณ 20:00 น แล้วก็นอนพอนะลูกกลับมาแล้วรีบอาบน้ำแล้วก็พักผ่อนเลยนะคะ โอเคนะ พร้อมที่จะเรียนไหมลูก วันนี้ครูสอนเรื่องที่ง่าย ๆ นะคะ ไม่ยากเลย ไม่ยากเลยนะคะ สำหรับลูก ๆ คุณครู... จริง ๆ ลูกเรียนไปแล้วนะคะ ครูเจนเคยสอนลูกไปแล้ว แต่วันนี้ครูจะมาทวนหน่อยหนึ่ง ก็คือเรื่องของความหมายของอนุกรม ลูกจำคำนี้นะ ที่เขียนนะคะ อนุกรมนะคะ สะกด อ อ่าง นหนู สระอุ ก ไก่ ร เรือ ม ม้า อย่าเพิ่งคุยกัน อย่าเพิ่งคุยกัน ดูพี่ล่ามด้วยนะคะ ดูพี่ล่ามด้วย ไม่ต้องคุยกัน ถ้าลูกคุยแล้วไม่มองกระดานไม่มองจอนี่ ลูกก็จะจำไม่ได้นะคะ เพราะคำนี้สำคัญ นี่คำว่า "อนุกรม" นี่สำคัญ สัญลักษณ์ของเขาเห็นไหมคะ ตัว S ที่อยู่ข้างบน ตัว S ที่อยู่ข้างบนนี่ ภาษาอังกฤษนะคือตัว S มันคืออะไร วันนี้เราจะมาดูนะคะ ว่าความหมายของอนุกรมจริง ๆ มันคืออะไร วันนี้นะคะ วัตถุประสงค์ของการเรียนรู้ของเรา ก็คือจะต้องอธิบาย เด็ก ๆ จะต้องอธิบายความหมายของอนุกรม อนุกรมหมายถึงอะไรนะคะ แล้วก็บอกประเภทของอนุกรมได้ อนุกรมจำกัด อนุกรมอนันต์ 2 อันนี้ตัวไหน เลือกให้ถูกนะคะ บอกให้ได้ และตัวสุดท้าย นักเรียนจะต้องสามารถหาผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมได้ ผลบวกนะคะ ยังไม่ถึงการคูณ การบวก เพราะฉะนั้น ลูกจะต้องฝึกทักษะการบวก การบวก ก็คือการเพิ่มขึ้นตามจำนวนที่เขาให้บวกนะคะ จำได้ไหม คำว่า "ลำดับเลขคณิต" อันนี้ครูสอนไปแล้วนะลำดับน่ะ ลำดับมันหมายถึงอะไร ตำแหน่ง a1 a1 คือ จำนวน จำนวนอะไรก็ได้นะคะ เสร็จแล้ว , มันจะขั้นด้วย , แล้วก็มีตัวเลขอีกเป็นชุดของ ถ้าบอกว่าเป็นลำดับเลขคณิตเมื่อไหร่ มันจะต้องมีค่าผลต่างร่วมระหว่าง a1 กับ a2 นะคะ ได้เท่าไร a 2 กับ a 3 ผลต่างได้เท่าไร ถ้าเมื่อไหร่ก็ตามที่ผลต่างตัวนี้นี่ มันเท่ากัน ไม่ว่าเราจะจับคู่ไหนนะคะ มาลบนี่ มันจะมีค่าเท่ากันหมดเลย อันนี้เขาถึงจะบอกว่าเป็นลำดับเลขคณิตนะคะ แล้วผลต่างร่วม สัญลักษณ์ ก็คืออะไรคะ จำได้ไหม ตัว d ตัว d นะคะ ภาษาอังกฤษตัว d น่ะจำให้ได้ตอนนี้สัญลักษณ์ภาษาอังกฤษของเรา d น่ะเรารู้มาตั้งแต่เริ่มเรียนแล้วนะคะ ก็คือผลต่างร่วมก็ตำแหน่ง a1 a1 ก็คือตัวเลขที่อยู่พจน์ที่ 1 คืออะไร จำนวนที่อยู่พจน์ที่ 1 คืออะไร นะคะ a2 a3จ นกระทั่งan an ตัวนี้ลูกก็สัมผัสมานานแล้ว คือพจน์ n นะคะ พจน์ที่ n ของชุดนี้ไม่รู้ว่าเห็นคือค่าเท่าไรนะคะ แล้วแต่ว่าโจทย์oจะให้เรามายังไงนะคะ ถ้าหาพจน์ที่ n ถ้ากำหนดให้ n = 10 แสดงว่า a1 a2 a3 แสดงว่าตรงนี้ก็คือ a4 a5 a6 a7 a8 a9 สุดท้ายก็จะเป็น a4 ขึ้นอยู่กับว่าโจทย์นะคะ กำหนดอะไรมาให้เรานะคะ ครูจะให้ช่วยนะคะ ลูกเห็นตัวเลขนี้ไหมนี้คะ ตัวเลขนี้ ใช่ มันเหมือนการที่ครูติดบนกระดาน มันเหมือนกันเลยที่ครูติดตัวเลขไว้บนกระดาน ให้ลูก ๆ ดูนะคะ หน้าจอนี่เหมือนกัน ลูกมองตัวเลขแล้วลูก ให้เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก ตัวเลขไหนคะขึ้นก่อน น้อยที่สุดคืออะไร เออ ถูกต้อง ง่ายมากใช่ไหม 1 เลข 1 น้อยที่สุดนะคะ เดี๋ยวครูจะเขียนบน... ให้เพื่อนมาเขียนช่วย รัชชานนท์เชิญออกมาเขียนตัวเลขนะคะ เรียงลำดับ ช่วยครูหน่อยลูก แล้วให้เพื่อน ๆ นะคะ เพื่อน ๆ ที่นั่งนี่ คอบบอกรัชชานนท์ ว่าตัวเลขไหนนะคะ  ลำดับเลขคณิตตัวไหน ที่เรียงตั้งแต่น้อยไปหามาก เมื่อเราเลือกตัวเลขได้แล้ว ก็ใส่ด้วยเครื่องหมาย , , ใช่ไหมคะ , ตัวเลขต่อไปคือเท่าไรลูก 2 ใช่ไหม 4 เหรอ ไม่ใช่ลูก ดูดี ๆ ถ้ามองอย่างนี้ 1 แล้ว 4 เหรอ แต่ครูบอกว่าให้เรียงลำดับ ให้เรียงจากน้อยไปหามาก เพราะฉะนั้น ตัวเลขที่เราจะต้องเอาออกมา ก็คือเลข 2 ถูกต้องนะคะ แล้วก็ , ต่อไปคือ3 นะคะ ต่อไปคืออะไรคะ 4 แล้วอะไร 5 แล้ว 6 สุดท้ายแล้วใช่ไหม โอเค เรียงลำดับได้ถูกต้องเลยลูก เรียงได้ถูกต้องนะคะ จากตัวเลขนี้ ครูถามหน่อย ลำดับตัวนี้นี่ ลำดับชุดนี้นะคะ มีค่าผลต่างร่วมเท่าไรลูก มีค่าผลต่างร่วมเท่าไร d นี่มีค่าเท่าไร ลูกคิดว่ามันเพิ่มขึ้นเท่าไรนี่ เพิ่มขึ้นเท่าไร d ผลต่างร่วม เพิ่มขึ้นเท่าไรคะ ค่า d ค่า d ค่า d เท่าไรจากลำดับชุดนี้ ไม่ใช่ 6 d คือ 1 นะคะ d คือ 1  d คือ 1 ทำไมถึงเท่ากับ 1 ทำไมถึงเท่ากับ 1 ล่ะ เพราะว่าเราจับคู่ใช่ไหมคะ เราจับคู่ a1 กับ a2 เอามาลบ a1 กับ a2 นะคะ a1 a2 เอามาลบกัน 2 ลบออก 1 ได้เท่าไร 2 - 1 ได้เท่าไร ลูกเท่ากับ 1 ทีนี้ลำดับตัวเลขที่ผ่านมาคู่นี้บ้าง 2 กับ 3เอามาลบกัน 3 - 2 เหลือเท่าไร 3 - 2 เหลือ 1 เท่ากันไหมคะ เท่ากัน มันเท่ากันนะคะ เมื่อมันเท่ากันแสดงว่า d นะคะ ตัวนี้ข้อที่ 2 d นะคะ d = 1 เขียนลงไปลูก  d ทีนี้ครูจะให้หา หาอะไร หาผลบวกของลำดับตัวนี้ ลูกมารวมสิคะ ว่าตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 จนถึง 6 นี่ ผลบวกมันคือเท่าไร ช่วยกันนะ เอาทีละตัวนะลูก 2 + 1 + 2 ได้เท่าไรคะ3 3 + 3 ได้เท่าไรคะ 3 + 3 ได้ 7 เหรอ เอาใหม่  เอาใหม่ เดี๋ยวให้รัชชานนท์เข้าไปนั่งก่อนนะ โอเค ขอบใจมากลูก d = 1 ลำดับที่ 3 คู่บอกว่าให้หาผลบวกของลำดับชุดนี้ ทีนี้ดูเป็นคู่นะคะ 1 + 2 รวมได้ 3 เอา 3 ไปบวกกับ 3 ได้เท่าไร 6 ไม่ใช่ 7 นะลูกไม่ใช่ นับดูดี ๆ นะคะ 6 + 4 เท่าไร 10 นะ 15 15 + 21 นั่นเองนะคะ คำตอบของชุดนี้ ลำดับชุดนี้ก็คือ 21 21 คืออะไร 21 ก็คือผลรวมนะคะ ผลบวกของลำดับชุดนี้ เขาบอกว่าเป็นผลบวก เพราะฉะนั้น , เลขที่เราเรียงข้างบนนะลูก บรรทัดแรกที่เราเรียง มากกว่านี้เปลี่ยนสัญลักษณ์เป็นเปลี่ยนเป็นบวก ตัวเลขเล็ก 2 เอาลงมาเหมือนเดิมค่ะ , เปลี่ยนเป็นบวก ตัวเลข 3 เอาลงมาเหมือนเดิม ตรงนี้คืออะไร บวก ห้ามลืมบวกนะคะ เพราะเขาบอกว่าเป็นผลบวก เพราะฉะนั้น สัญลักษณ์ , ต้องเปลี่ยนเป็นบวกตลอดนะคะ เท่ากับ 21 ง่ายไหมข้อนี้ วิธีการ 3 ขั้นตอน  3 ขั้นตอนนะคะ อันที่ 1 ครูมีชุดตัวเลขให้ 3 ชุดนะ ข้อที่ 2 เมื่อเราเรียงลำดับได้แล้วนะคะ เขียนเรียงลำดับแบบนี้ได้ แล้วหาค่า d หาค่า  d ค่า d เท่าไร 3 หาผลบวกได้เท่ากับเท่าไร ครูจะแบ่งนะคะ จับคู่ ให้ออกมาเขียนหน้ากระดาน ใช่ ทำเป็นคู่ 2 คนออกมาช่วยกันนะคะ ให้กำไลกับลูกปลานะคะ กำไลกับลูกปลาค่ะ คู่กัน ผู้หญิง 2 คนออกมาเลย เพื่อน ๆ ดูนะ ว่าจำถูกไหม ตอนนี้ครูแอบดูแล้วนะ ว่าเรา 2 คนช่วยกันทำนี่ วันนี้ผิดพลาดพี่ปลื้มบอกครูว่าจริง ๆ ค่า d  ที่เพื่อนหานี่ มันผิดนะคะ เดี๋ยวเรามาดู เดี๋ยวเรามาบอก เพื่อนนะ ว่าค่า d มันเท่าไรนะคะ ค่ะ มันก็จะบวกช้านิดหนึ่ง เก่งมากเลยนะคะ ทั้ง 2 คนไปนั่ง ทีนี้ครูจะเฉลยให ้เพื่อนดูนะ เพื่อน ๆ ดูนะ ลำดับขั้นตอนแรกนะคะ ลูกปลาแล้วก็กำไลนี่ ทำได้ถูกนะคะ ทำได้ถูกเลย เรียงลำดับได้ถูกจากน้อยไปหามากถูก ค่า d ถูกไหมคะ d เพื่อนบอกว่าเท่ากับ 2 ดูนะ กำไลกับลูกปลานะลูก พี่ลูกบอกว่าค่า d = 2 ทำไมถึงเท่ากับ 2 2 ตัวนี้ไม่ใช่ ผลต่าง 2 กับ 5 เอามาลบกันเหลือเท่าไร 5 - 2 เหลือเท่าไรลูก เหลือ 3 เหลือ 3 อันนี้ถูกไหมคะ ถูกไหม ถูกไหม ค่า d คือผลต่างร่วมนะลูก ผลต่างร่วม ก็คือเอา a1 กับ a2 นะคะ ที่อยู่ชิดกันนี่ เอาตำแหน่งที่มากกว่านี่ มาตั้ง ก็คือ 5 ลบออก 2 เอา 5ลบออก 2 เหลือเท่าไร เหลือ 3 กำไล... เพื่อนนะคะ ช่วยกันคิดไม่เป็นไร เดี๋ยวมาใหม่ได้ 2 เลย d คือ a1 แน่ ๆ ยังจำ... ลูกหามา d ตอนแรกที่ลูกเขียนลงไป คือเลข 2 นี่ มันคือ a1 นะคะ มันคือค่าของ a1 แต่ตัว d d ตัวนี้หมายถึงผลต่างร่วม เพราะฉะนั้น มันจะต้องเอาตัวเลขน่ะที่อยู่ชิดกันนี่เอามาลบกัน โดยสลับนะ ตัวเลขที่อยู่สลับแล้วก็มาลบกัน คือ ค่า d  d เมื่อไหร่ปุ๊บ a1 กับ a2 คู่นี้เสร็จ ลองมาทำ a2 กับ a3 สิ ค่ามันจะเท่ากันเสมอเลยนะคะ ผลต่างนี่ มันก็จะเท่ากัน เท่ากันหมดเลย เมื่อไหร่ก็ตามที่มัน หาแล้วค่า d มัน ตัวเลขมันเท่ากัน มันคือค่า d นั่นเอง อันนี้คือทดสอบแล้วก็ตรวจสอบได้เองเลยนะคะ ลูกหาผลบวกนะคะ หาผลบวกของลำดับชุดนี้ได้ถูกต้อง ก็คือ 52 แสดงว่าคู่นี้บวกเลขได้ดีนะคะ บวกเลขได้ถูกต้องเลย คู่ต่อไป พี่จ่อยกับพี่ปลื้มนะคะ มาเลย ทำเองเลยค่ะ 2 คนช่วยกันคิดนะลูก 2 คนช่วยกันคิดตามลำดับนั้น 2 คนนั้นมาดูนะ ว่าทำถูกไหม ถูกต้องนะคะ เรียงจากน้อยไปหามากเรียบร้อยแล้ว ค่า d = 5 นะคะ ถูกต้อง ต่อไปหาผลรวมนะคะ ผลบวก เตชิตกับพี่หมอกเตรียมตัวไว้เลยนะคะ ถ้าคู่นี้ทำเสร็จแล้วเดี๋ยวเราออกมาทำต่อ รวมเท่าไร ครูให้ทดได้นะ ครูให้ทดได้ เขียนบนกระดานได้นะคิดในใจ ตัวเล็กเพิ่มขึ้นเพิ่มขึ้นมันอาจจะงงนะหาคำตอบออกมาแล้ว 105 นะคะ 2 คนนี้มายืนตรงนี้ มายืนข้างหน้า ปลื้มมาก่อน ตรงนี้ ครูจะอธิบายให้ปลื้มดูนะคะ แล้วก็ให้จ่อยดูด้วย ลำดับ ลำดับได้ถูกต้องนะคะ จากน้อยไปหามาก จ่อยเป็นคนทำ เข้าใจในการเรียงลำดับนะคะ ค่า d  ปลื้มเป็นคนหาหาได้ถูกต้องเลยนะคะ 10 - 5 = 5 15 - 10 = 5 เพราะฉะนั้น 5d เท่ากันก็คือ 5 แล้วผลบวกนะคะ ปลื้มใช้เวลาในการบวกนาน ถ้าลูกจะทำให้เร็วขึ้นลูกต้องจับคู่ เพราะว่าตัวเลข มันเป็น 10 กับเลข 5 ที่ลงท้าย 5 กับ 5 รวมกันเท่ากับ 10 อยู่แล้ ว ลูกไม่ต้องคิดอะไรเยอะ แค่จับคู่ 5 กับ 5 นะ เท่ากับ 10 อยู่แล้ว ลักษณะตัวเลขข้างบนนี่ 15 กับ 5 รวมกันเป็นเท่าไร 15 ไปแล้ว 5 กับ 5 ก็เป็น 20 อยู่แล้วใช่ไหมคะ 20 แล้วนับต่อเลย 20 20 30 40 บวกอีก 30 มัน 40 แล้วใช่ไหม บวกอีก 30 40 50 60 70 นับไปเลยนะคะ อันนี้ 70 แล้วอะไรคะ 80 ก็จะเป็น 80 นับต่ออีก 20 ใช่ไหม นับต่ออีก 20 80 90 100 แล้วมันมีเศษอยู่ 5 เพราะฉะนั้น ก็คือ 105 ไม่ต้องเอามารวม บวกแล้วถ้าสมมติว่าเรายังไม่แม่นนะลูก เรายังไม่แม่นเราใช้กระดาษน่ะทดได้ ทดได้ แต่วิธีการรวมตัวเลขที่ง่ายที่สุดเร็วที่สุดนะคะ ก็คือจับคู่ 10 นั่นเอง จับคู่ 10 ตัวเลขไหนที่อยู่ในชุดนี้ มันรวมกันแล้วมันเท่ากับ 10 นะลูกมันรวมกันเท่ากับ 10 ลูกจับมาเลย เอามาก่อนเลยนะคะ ก็เป็นลำดับ เดี๋ยวนี้ต้องฝึกไปเรื่อย ๆ นะคะ เก่งมากเลยทั้ง 2 คนนะคะ ต่อไปเตกับพี่หมอกมาทำข้อสุดท้ายค่ะ ปลื้มออกมาทำเรียงลำดับเสร็จแล้วค่า d เสร็จเรียบร้อยตัวเลขเยอะ เท่าไรลูก เรียงได้ 7 นะคะ 10 13 16 19 22 ค่า d = 7 ทีนี้หาผลบวก บวกได้เท่าไรเอ่ย อันนี้มันจะไม่... นะคะ นิดหนึ่งนะคะ เพื่อน ๆ ดูนะ มาบวกรวมกัน ช่วยเตหน่อย ว่าเตจะทำถูกไหมตัวนี้นะคะ  คู่ไหนที่มันลงท้ายจับแล้วได้ 10 ลูกว่าตัวไหน 7 กับ 13 ใช่ไหม 13 ดูแล้วก็จับคู่ตัวไหนที่มันลงท้ายด้วย 10 ก่อนนะคะ 7 กับ 13 นี่ รวมกันเท่ากับเท่าไร 7 + 13 = 20 ตัดไปเลยนะ เลขนี้เป็น 20 แล้ว มี 10 อยู่ใช่ไหม เป็น 30 มาบวก 10 ตัวนี้นะคะ เป็น 30 แล้ว ยังเหลืออีก 3 ตัวนะคะ เหลืออีก 3 ตัว 9 9 ตัวนี้นะ บวกอีก 1 ใช่ไหมคะ เท่ากับ 10 มาดูตัวเลข 2 ตัวที่อยู่ต่อท้าย มันก็เหลือเศษอยู่ 1 ใช่ไหมคะ เมื่อกี้เรา 30 แล้ว 40 50 บวกอีก 2 เป็นเท่าไร 61 71 71 แล้ว เอา 71 มาบวกกับ 16 ได้เท่าไร 87 ถูกต้องนะคะ เก่งมาก เตชิตคิดคำนวณได้ถูกต้องนะคะ บวกรวมเท่ากับ 87 นั่นเอง จากกิจกรรมที่เราถามเมื่อกี้นะคะ เรารู้ว่าลำดับคืออะไร ค่า d คืออะไร แล้วตัวที่ครูให้เพิ่มก็มา ก็คือบวกใช่ไหมคะ เปลี่ยนเครื่องหมาย , เป็นบวก สัญลักษณ์นะลูก สัญลักษณ์ของคำว่า "อนุกรม" คือตัว S อนุกรมหาจำนวนผลบวกจำนวนเท่าไร ทั้งหมดเท่าไร เป็นตัวนี้ค่ะ ที่ห้อยอยู่ข้างล่างนี่ จะเป็นตัวบอกรวมกี่พจน์นะคะ รวมกี่จำนวน อย่างเช่น Sn ตัวนี้ มันจะเท่ากับ a1 คุ้นไหมคะ บวก a2 + a3 +... บวกด้วยตัวสุดท้ายคือ a3 จุดตัวนี้น่ะ a4 a5 ไปได้เรื่อย ๆ ไปเรื่อย ๆ เลยสัญลักษณ์ อนุกรมคือ Sn พวกจำนวนเท่าไร ผลบวกกี่พจน์นะคะ ก็คือตัว n ที่ห้อยอยู่นั่นแหละ ตัว n ที่ห้อยอยู่นี่ ให้สอดคล้องกันนะคะ ทีนี้ประเภทบ้าง ประเภทของอนุกรม ง่ายมากเหมือนกัน มันแบ่งเป็น 2 ประเภท ลูกจะต้องเชื่อมโยงกับลำดับจำกัด ลำดับจำกัดคืออะไร ลูกดูนะ a1 a2 a3 ... an ใช่ มันสิ้นสุดมันจบสุดท้ายที่ an มันไม่มีอะไรต่อเลย อย่างเช่นตัวนี้นะ ตัวเลขชุดนี้ลำดับชุดนี้ 2 4 6 .... 16 นะคะ ตัวสุดท้ายคือ 16 มันไม่มีต่อแล้ว เพราะมันเป็นหยุดที่ 16เ พราะฉะนั้น เขาก็เลยเรียกว่า "ลำดับจำกัด" เมื่อลำดับจำกัดจะทำเป็นอนุกรมทำอย่างไร ถ้าเมื่อไหร่ก็ตามที่มันเป็นลำดับจำกัด มันจะกลายเป็นอนุกรมจำกัดก็ต่อเมื่อเราเปลี่ยน , เป็นเครื่องหมายบวกเห็นไหมคะ , ตรงนี้เปลี่ยนบวก บวก ๆ ๆ หมดเลย ชื่อก็เลยเปลี่ยนตามนะคะ ชื่อก็เลยเปลี่ยนตาม จากลำดับเปลี่ยนไปเป็นอนุกรม ความหมายก็เลยต่างนะคะ จำให้ได้นะ ทีนี้มาดู ลำดับที่ 2 ลำดับอนันต์ลูก ลำดับอนันต์ ลูกสังเกตตัวไหน an ,  แล้วมันจบไหม มันมี ... ต่อ เพราะฉะนั้น มันต่อเนื่องไม่รู้จบ เราไม่รู้เลยว่ามันไปสิ้นสุดตรงไหน เราไปสิ้นสุดตรงไหน เพราะฉะนั้น เขาก็เลยเรียกว่า "ลำดับอนันต์" ถ้าเปลี่ยนเป็นอนุกรมอนันต์นะคะ ถ้าเปลี่ยนเป็นอนุกรมอนันต์ปุ๊บ ก็แค่เปลี่ยนเครื่องหมายสัญลักษณ์เป็น + + + แล้วก็สุดท้ายแค่นั้นเอง เป็น + เหมือนกัน แต่มันมี ... เห็นไหมอยู่ข้างหลัง เมื่อไหร่ก็ตามสังเกตง่ายมาก ถ้ามันมี ... อยู่ข้างหลัง แสดงว่าเป็นลำดับอนันต์นะคะ ถ้าเปลี่ยน , เป็นบวก เรียกว่า "อนุกรมอนันต์" ถามไหม เข้าใจนะ โอเคถ้าเข้าใจครูมีตัวอย่างให้ดู นี่ข้อ 1 ข้อ 2 ข้อ 3 ลำดับชุดนี้เปลี่ยนเป็นอนุกรม มีอะไรที่แตกต่าง ตัวนี้ลำดับ , ถูกไหมคะ ข้อที่ 1 ของ ,  ระหว่าง 1 กับ 8 ก็ ,  15 ,  22 อนุกรมเป็นอย่างไร เปลี่ยน เพราะอนุกรมคือผลบวกเท่านั้นบวกบวกอันนี้ง่ายมาก ห้ามผิดนะลูก มันง่ายจริง ๆ แค่เปลี่ยนสัญลักษณ์เอง แค่เปลี่ยนอย่างนี้เอง เสร็จแล้วให้มาเลือกเครื่องหมายถูกตรงไหน ประเภทของอนุกรม อันนี้ลูกว่ามันสิ้นสุดไหม มันสิ้นสุดที่ 36 มันมีต่อไหมคะ ข้อนี้มันต่อไหม ไม่มี เพราะฉะนั้น ก็เลยมาเลือกจำกัด อนุกรมจำกัดนะคะ อยู่ในช่องนี้ ทีนี้มาดูตัวอย่างที่ 2 ดูก็รู้แล้วเพราะว่ามันไม่จบใช่ไหม ตัวสุดท้าย มันมีต่อ มันมีต่อ ใช่ เขาก็เลยเรียกเป็นอนุกรมอนันต์ เข้าใจนะคะ ครูมีแบบฝึกให้ลูกทำ ตัวนี้เชื่อมโยงกัน ลำดับจำกัดมาจาก... ไม่ใช่ อนุกรมจำกัดมาจากลำดับนะคะ ลำดับจำกัด มันมีที่มาที่ไป มันก็มาจากลำดับอนันต์ จำให้ได้ ห้ามแบบสับสนตัวนี้มันง่ายมากเลยนะคะ ตัวนี้เป็นแบบฝึก ลูกเห็นตัวเลขแบบนี้ เดาได้เลยใช่ไหม อนุกรม เปลี่ยน ,  เป็น + แต่สังเกตดี ๆ สังเกตดี ๆ ตัวเลขตัวนี้ -2 -2 ให้เอามาเหมือนเดิม ห้ามลืมลบนะลูก ลบน่ะ ต้องเอามาด้วย ใช่ , เปลี่ยนเป็นบวกตรงนี้แล้ว 0 + -2 มันอยู่ชิดกันทำอย่างไร ให้ใส่วงเล็บนะคะ เมื่อเราทำเป็นอนุกรม ให้ใส่วงเล็บค่าที่มันเป็นจำนวนเต็มลบนะ ที่มันติดลบนี่ให้เอาวงเล็บมาใส่ ไม่อย่างนั้นลูกจะสับสน บวกเสร็จแล้วลบมันอยู่ติดกัน อันนี้ให้ใส่วงเล็บเอาไว้ เข้าใจนะ เสร็จแล้วมา + (-4) -4 เป็นตัวสุดท้ายตัวไหนคะ จำกัดหรืออนันอันไหน จำกัด จำกัดนะคะ เข้าใจนะ ทีนี้มาดูข้อ 2 ข้อ 2 ตัวนี้ชุดนี้น่ะมันเป็น n นะคะ n + 1 ให้ลูกใส่อะไร ให้ใส่วงเล็บให้เขาหน่อย ให้ใส่วงเล็บให้เขาหน่อยตอนที่มาทำเป็นอนุกรมนะคะ ป้องกันอะไร ป้องกันการสับสน ป้องกันการสับสน เลข 2 ได้มันโอเคแล้ว มันมีแค่ตัวเดียวนะคะ , ก็บวกเลย 3 + 4 + ... + n + 1 นี่ ให้ใส่,  ไม่ใช่ ให้ใส่วงเล็บ วงเล็บมาใส่ลูก ป้องกันความสับสน n + 1 ให้เอาวงเล็บมาใส่นะคะ โอเคนะ เข้าใจนะ มาดูอีกข้อ 9 ลูก ข้อ 9 ครูแค่เปลี่ยน ครูเปลี่ยนอะไร ครูเปลี่ยนเป็นเลขยกกำลังเฉย ๆ นะคะ ไม่ต้องตกใจ อย่างนี้มันก็เหมือนเดิมไหม ก็คือ 1 ยกกำลัง 3 เครื่องหมาย ,  เป็น + 1 2 ยกกำลัง 3 ต่อเลยนะคะ ไม่มีอะไรมาก อันนี้แค่เปลี่ยนเครื่องหมาย ,  เป็น + เท่านั้น ครูก็จะได้คะแนนเต็มแล้วอันนี้ครูอยากรู้ว่าลูกน่ะมีความเข้าใจในเรื่องของลำดับกับอนุกรมแค่ไหนแค่นั่นเองนะคะ แล้วก็บอกประเภทของอนุกรมได้ถูกต้อง มีคำถามไหมคะ สงสัยตรงไหนไหม ถ้าไม่สงสัยครูจะให้ทำแบบฝึกนะคะ เดี๋ยวทำแบบฝึกเลยค่ะ ลูก ๆ คะ มองกระดานนะคะ มองหน้าจอนะลูกนะ ใครที่ทำแบบฝึกยังไม่เสร็จ เดี๋ยวครูให้ทำเป็นการบ้านนะคะ เรามาดูกันของอนุกรมนะคะ เวลาตรวจเขาให้หาในแบบทดสอบนะคะ เวลาเขาให้หานี่เขาจะ... บางครั้งเขาก็จะให้พจน์ทั่วไปเรามานะคะ ให้พจน์ทั่วไปเรามา พจน์ทั่วไปคืออะไร ก็คือ an อย่างตัวอย่างที่ 1 นะคะ เท่ากับ 2n + 4 เขาให้หาอนุกรมผลบวกของพจน์ที่เท่าไรนะคะ รวม S5 แสดงว่าเราจะต้องหา an นี่ จะต้องมีอยู่ 5 ตัวถูกไหม S5 นะคะ S5 ตัวนี้ มันหมายถึง a1  a1 a1 มาจากข้างบนนะคะ พจน์ทั่วไป ข้างบนนี่ เราจะต้องหาคำตอบมาให้ได้ ว่าค่า a1 คืออะไร นะคะ a1 + a2 + a3 + a4 และบวก  a5 บวกต่อได้ไหมคะ a6 ได้ไหม ไม่ได้ เพราะอะไร เพราะว่าโจทย์ข้อกำหนดให้แค่ S5 ใช่เขาจะกำหนดมาให้ว่า S5 เพราะฉะนั้น เราจะต้องหา an ใช่ เรียนมาแล้ว เรียนมาแล้ว เพราะฉะนั้น อันนี้ง่ายเลย ง่ายเลย แบบฝึกตัวนี้ลูกยังไม่ได้ทำ เดี๋ยวครูจะให้ลูกทำเพิ่มนะคะ บางคนเขายังไม่เข้าใจ บางคนน่ะเขายังไม่เข้าใจ ดูนะ ขั้นตอนวิธีการทำอย่างไร a1 ตำแหน่งที่ 1 ใช่ไหมคะ a1 = 2n 2 คูณด้วย 1 ใช่ไหมคะ a1 ก็คือเปลี่ยนเป็น 1 + 4 เหมือนเดิม ทำในวงเล็บ 2 x 1 = 4 นะคะ 2 x 1 = 2 2 x 1 = 2 + 4 เสร็จแล้ว ร่วมสุดท้ายเท่ากับ 6 เพราะฉะนั้น ตำแหน่งนี้ก็คือ 6 นั่นเอง a1 = 6 a2 a3 a4 a5 คือเท่าไร ทำมาแล้วนะ อันนี้ทำเพิ่มนะคะ อันนี้ให้ทำในสมุด ให้ทำในสมุด ให้ลูกหา a2 โดยใช้วิธีการ วิธีทำแบบนี้เหมือนเดิมนะคะ a2 a3 a4 a5 สุดท้ายผลบวก a5 เท่ากับเท่าไร คือคำตอบ เข้าใจนะ อันนี้ทำได้นะคะ ใครทำไม่ได้บ้าง ใครยังไม่เข้าใจบ้างลูก ไม่มีนะ ครูถือว่าเข้าใจหมดนะ หรือยังงง ๆ เข้าใจแล้ว เข้าใจดีมากเลย ตัวอย่างที่ 2 เหมือนกัน ตัวอย่างที่ 2 เขาให้พจน์ทั่วไปมาแบบนี้นะคะ อย่าลืมนะ มันเป็นลบนะ ลูกอันนี้มันเป็นลบ ลูกจะต้องดูสัญลักษณ์ให้ดีนะคะ เอามาให้ครบนะคะ เอามาให้ครับ อันนี้เขาให้หา S7 เพราะฉะนั้น a1 a2 จนถึง a7 เราจะต้องหามานะคะ หามาให้ได้มันคือเท่าไร แล้วหาคำตอบเอามารวมกัน เมื่อกี้แบบฝึก ครูไม่พาทำหรอก แต่ตัวนี้คือการบ้าน ให้ลูกเอาไปทำ บันทึกตัวนี้นะคะ ลงไปในสมุดของตัวเอง ทั้งหมดมีอยู่ 5 ข้อ เยอะไหม อันนี้คือแบบฝึกที่ลูกจะต้องเอาไปทำเป็นการบ้านนะคะ ให้เวลา 1 สัปดาห์ เอามาส่งครู ก็คือวันศุกร์ ก่อนวันศุกร์ก็ได้ วันพฤหัสบดีนะคะ วันพฤหัสบดีหน้าเอามาส่งครู ทำไมทำหน้าอย่างนั้น รัชชานนท์เป็นอย่างไร เครียดเหรอ เยอะไหม หวานเลยใช่ไหม ง่ายไหมลูก ง่ายไหม วิธีการทำเหมือนเหมือนเดิมนะ อันนี้คือพจน์ทั่วไปที่ครูกำหนดมาให้ ให้ลูกหา a1 a2 a3 จะถึง a4 แล้วเอามาบวกกัน  ใช่ แล้วได้คำตอบเท่าไร วิธีการเหมือนตัวอย่างข้อที่ 1 กับข้อ 2 นั้น เข้าใจนะคะ ทั้งหมดบันทึกนี่ ลงในสมุดก่อนนะคะ เพื่อที่จะได้เอาไปเป็นเอาไปทำเป็นการบ้านนะคะ ของตัวเองในสัปดาห์นี้นะคะ จริง ๆ สัปดาห์นี้ครูจะเพิ่มให้ลูกใช้สูตรนะคะ เพราะว่าเวลาลูกมาบวกน่ะ มาบวกทีละตัว ทีละตัวทีละตัวนะมันช้า มันช้า บางครั้งเราก็บวกผิดด้วย ครูจะให้สูตรลูกไปว่า sn วิธีการหามันคืออะไร นะคะ ทำอย่างไร เดี๋ยวรอแป๊บหนึ่ง เดี๋ยวให้ลอกอันนี้ลงไปในสมุดก่อน เดี๋ยวครูจะเปิดวิธีการหา Sn โดยใช้สูตรให้ดูนะคะ ลอกเร็ว ๆ นะ แป๊บเดียว เหลือเวลาอีกนิดหนึ่ง ใช่ ตัวนี้เอาลงไปเป็นการบ้านก่อน ยังไม่ต้องแสดงวิธีทำลูก บันทึกเนื้อหาลงไปก่อน ใช่ บันทึกเนื้อหาลงไปในสมุดของเราก่อน แล้วก็เริ่มไปแสดงวิธีทำในขั้นตอนการทำนะคะ ลูกคะ ดูนะ ทีนี้เมื่อกี้ เมื่อกี้เราบอกแบบใช้วิธีคิดแบบบวกไปเรื่อย ๆ นะคะ บวกไปทีละคู่ แต่ละคู่ จนหมดจนครบ แต่ทีนี้ถ้าสมมติว่าครูจะให้ลูกหา S100 ล่ะ ลูกจะไม่มาหา a1 a2 บวกไปเรื่อย ๆ ครบ 100 ลูกว่ามันยากไหม ไม่ยาก แต่ว่ามันนานแล้วนะมันนานแล้วโอกาสผิดพลาดมาเยอะ โอกาสผิดพลาดเยอะ เดี๋ยวก็บวกผิดใช่ไหมคะ เพราะว่าตัวเลขมันเยอะ ครูมีวิธี ครูมีวิธีให้ลูกหาง่าย ๆ เลย โดยใช้สูตรนะคะ สูตรตัวนี้ลูกจะต้องจำให้ได้ เหมือนกับ an นะคะ หาพจน์ทั่วไปที่ลูกจำไปแล้ว พจน์ทั่วไป หาอย่างไร an = a1 บวกในวงเล็บ -1 คูณด้วย d ใช่ไหมคะ อันนั้นคือพจน์ทั่วไป แต่ถ้าอันนี้ล่ะ อนุกรมเลขคณิต Sn นะคะ สัญลักษณ์มี Sn = n ส่วน 2 คูณด้วยนะคะ อยู่ในวงเล็บนะ อันนี้อยู่ในวงเล็บ 2 a1 บวกด้วย (n) - 1bตัวสุดท้ายตัวนี้นี่ลักษณะเหมือน an เลยนะลูก ในวงเล็บ a - 1d นี่ จำง่าย ต้องจำเพิ่มก็คือจาก a1 น่ะ a1 ที่เราบวกตัวแรกน่ะมันจะต้องคูณด้วย 2 ก่อนนะ เอาทั้งหมดนั่นน่ะมาคูณด้วย n นะคะ ส่วน 2 ไอ้ตัว n นี่ คือเท่าไร คือที่เขาให้บวกนั่นแหละนะคะ n ตัวที่ห้อยตัว n นี่ เอาอีกตัวหนึ่งตัวที่ 2 เขาบวกไปเรื่อย ๆ Sn = n ส่วน 2 ในวงเล็บ 1 + an อยู่ 2 นะคะ มีอยู่ 2 สูตรแต่วันนี้ครูจะให้ลูกลองดูก่อนนะสูตรแรก มันอาจจะเยอะหน่อย แต่ว่าถ้าลูกฝึกบ่อย ๆ นะคะ ทำจนชิน ลูกก็จะสามารถหาคำตอบได้เร็วขึ้นนะคะ ไม่ว่าเราจะหาผลบวกที่จำนวนเยอะ ๆ S50 S60 อย่างนี้นะ มันจะง่ายขึ้น เป็นอย่างไรคะ ตัวนี้ ลำดับอนุกรมเลขคณิตนะ อนุกรมเลขคณิตเขาให้หา 5 + 10 + 15 + ไปเรื่อย ๆ จนถึง S20 จากสูตร สูตรตัวนี้นะ ลูกสิ่งที่เราจะต้องรู้ ก็คือ a1 ใช่ไหมคะ เพราะมันมีแทนค่าอยู่ตรงนี้ a1 เท่ากับเท่าไรคะในนี้ a1 เท่ากับเท่าไร a1 = 5 ใช่ไหม a1 รู้แล้วจากที่เขากำหนดให้ a1 ก็คือ 5 นั่นเอง เป็นเท่าไร เพราะโจทย์เขาก็กำหนดมาให้แล้วเห็นไหม มันห้อยอยู่ตรงนี้เองนะคะ ค่า n เท่บกับเท่าไร 20 ใช่ n = 20 เพราะว่า n = 20 d เท่ากับเท่าไร d คือ ผลต่างร่วมนะคะ ลำดับนี้ที่อยู่ชิดกัน 50 คนต่างกันเท่าไรคะตอ่าน 10 ลบด้วย 5เหลือเท่าไหร่ค่า d 5 กับ 10 สลับมา ไม่ใช่ ไม่ใช่บวก 15 ไม่ใช่บวกผลต่างลบใช่ถูกต้อง 5 ค่ะ 5 อันนี้ได้เท่ากับ 5 เพราะอะไร 10 - 5 เหลือ 5 15 - 10 ก็เท่ากับ 5 เหมือนกัน เพราะฉะนั้นค่า d คือ 5 นั่นเองเราหาครบหรือยังลูก ตัวแปรที่เราต้องการใช้ในสูตร เราหาครบแล้วนะ รู้แล้ว รู้แล้ว d รู้แล้ว เสร็จแล้วมาแทนค่าในสูตรค่ะ เอาออกมานะ เอาค่าที่เราหาได้นี่ มาใส่เข้าไปในตัวนี้ แทนเข้าไปในค่านั้น Sn เท่าไร n20 เพราะฉะนั้น ห้อยด้วย 20 เท่ากับข้างบนสุดตัวนี้ n = 20 เอา 20 ไปสวมแทนเลยนะคะ เอาไปใส่แทนเลย 20 ตัวนี้นะ เอา 20 มา เหมือนกันส่วน 2 ไม่มีอะไร เป็นค่าคงที่ เอาลงมา ลอกลงมาได้เลยนะคะ มันไม่ใช่ตัวแปร เอาลงมาได้เลยนะคะ ในวงเล็บ 2 เหมือนกัน a1 เท่าไร a1 เรารู้แล้วคือตัวนี้ ถูกไหมคะ ก็เลยเอา 5 ลงมา อยู่ตรงนี้ จำเอาไว้ตัวเลข ตัวอักษรภาษาอังกฤษนะคะ ที่เป็นตัวแปรถ้ามันอยู่ชิดกัน มันหมายถึงการคูณนะคะ มันหมายถึงการคูณ ถึงแม้ว่ามันจะไม่ใส่สัญลักษณ์คูณก็ตาม มันหมายถึงการคูณ เพราะฉะนั้น ถ้าอย่างนี้ 2 a1 หมายถึง 2 คูณด้วย a1 ให้เราใส่วงเล็บตรงนี้ ใส่วงเล็บตรง a1 เข้าไป ห้ามลืม ห้ามลืมใส่วงเล็บนะ ถ้าลูกบอกว่า 2 แล้วเอาเลข 5 ลงมาเฉย ๆ มันจะกลายเป็น 25 ไม่ใช่การคูณ ตัวนี้ความหมายมันจะเปลี่ยนไป ฝากไว้นิดหนึ่งนะคะ ตรงนี้ a1 จะต้องใส่วงเล็บ วงเล็บ a1 = 5 ใช่ไหมเอา 5 มาใส่ตรงนี้เลยนะคะ บวกนะคะ n แทนค่าง่ายมากเลย อันนี้เข้าใจนะคะ ปลื้มเข้าใจไหมลูก พอดี พอดี ปลื้มบอกพอดี พอดี เดี๋ยวไม่เป็นไร เดี๋ยวเราก็ค่อย ๆ ฝึกไปเรื่อย ๆ อันนี้คือการแทนค่าลงไปในโจทย์ ให้เอาตัวเลขตัวเลขที่เราหามาได้นะ ที่จุดครบกำหนดนี่ มาแทนค่าลงไปในสูตรนี้นะคะ เสร็จแล้วเมื่อเราแทนค่าลงไปเสร็จปุ๊บ เราเริ่มมาหาแล้วทีนี้ ทำไปทีละลำดับนะคะ ทำไปทีละขั้นตอน ตัวแรก 20 ส่วน 2 20 ส่วน 2 ตัวนี้มันหมายถึงการหาร 20 ส่วน... ไอ้ตัวส่วนนี่คือการหาร ได้เท่าไรลูก 20 เอามาแบ่ง เป็นกอง เป็นกองกองละ 2 เท่ากับ 10 นั่นเองใช่ไหม ดูนะ เดี๋ยวครูเขียนให้ดูบนกระดาน 20 หารด้วย 2 ได้เท่าไร ใช่ มันได้เท่ากับ 10 เพราะว่า 2 x 1 = 2 ถูกไหม ลบเหลือ 0 เอาลงมา 2 0 ได้ 0 ลบก็เหลือ 0 เพราะฉะนั้น หารแล้วเท่ากับ 10 นะคะ หายไปแล้วนะข้างบนน่ะ 20 ส่วน 2 นี้หายไปแล้ว หายไปแล้ว ค่าที่ได้ก็คือ 10 นั่นเองเอา 10 มาเขียนตรงนี้ ทีนี้ในวงเล็บนะคะ 2 x 5 2 x 5 ได้เท่าไรลูก 2 กับ 5 คูณกันได้เท่าไร 2 x 5 = 10 ถูกไหม 2 ตัวนี้คูณกับ 5 ได้เท่าไร 2 5 คูณกันได้เท่าไร 10 10 ได้ 10 เพราะฉะนั้น 2 กับ 5 ตัวนี้หายไป หายไป เขียนเลข 10 มาแทน เอา 10 มาแทน เพราะมันมีค่าเท่ากับ 10 นะคะ แล้วบวกด้วยในวงเล็บแบบนี้ เราจะต้องเอา 5 เข้ามาคูณก่อนนะลูก 5 x 20 5 x 20 เสร็จแล้ว -5 คูณอันนี้ขาดไปนะ อันนี้ขาดไปเดี๋ยวมาดู... เดี๋ยวครูจะแก้ในกระดานให้ดูนะคะ ตัวนี้ 20 20 - 1 คูณด้วย 5 หมายถึงเอา 5 เข้าไปคูณ 20 ได้เท่าไร 20 x 5 ลบตัวนี้เอาลงมาเหมือนเดิม เสร็จแล้วเอา 5 ไปคูณ 1 ตัวนี้เดี๋ยวครูเอาไปปรับนะคะ PowerPoinตัวนี้มันขาดหายไปเสร็จแล้วนะ เสร็จแล้วนะ ตัวนี้ 10 เอาลงมาเหมือนเดิมนะคะ 10 ตัวนี้เอามาเหมือนเดิม เรามาแก้ตัวนี้ 20 x 5 ได้เท่าไร 20 x 5 ตัวนี้ได้เท่าไร 5 x 0 ได้ 0 ใช่ 100 ตัวนี้กลายเป็น 100 แล้วนะลูก ลบ 1 x 5 ได้เท่าไร ได้ 5 หายังไม่จบนะคะ ในวงเล็บนี้ 100 -5 เหลือเท่า 100 เอาไปลบ 5 ถูกต้อง เหลือ 95 เพราะฉะนั้น 10 ตรงนี้นะ มาดูตรง ตรงหน้าจอนะลูก ดูตรงหน้าจอต่อ 10 ตัวนี้ดึงลงมา ในวงเล็บ 10 เหมือนกัน บวกด้วยค่าตรงนี้ที่เราหาได้ คือ 95 ค่าตรงนี้นะ ก็เอา 95 ลงมา บรรทัดต่อมา 10 ลงมาเหมือนเดิม 10 บวกด้วย 95 ได้เท่าไรลูก ในวงเล็บนี้ ได้เท่าไรคะ 10 + 95 ได้เท่าไร 105 ใช่ เสร็จแล้วเอามาคูณกัน เอามาคูณกัน 10 x 105 ได้เท่าไร เมื่อไหร่ก็ตามง่ายมากค่ะ ถ้าคูณกับ 10 ลูกแค่เอาเลข 0 ไปเพิ่มให้เขาลงท้ายเลขนั้นนะคะ อย่างเช่น 105 ข้างหน้า 10 ตัวนี้มันมีกี่ตัวนะคะ 0 ตัวเดียวใช่ไหม 0 มาเพิ่มเข้า ไม่ต้องเสียเวลาคูณเลย ไม่ต้องไปตั้งคูณนะ อันนี้พอมองออกหรือยัง อันนี้มันอาจจะยากหน่อย มันมีขั้นตอนกระบวนการวิธีคิดที่ค่อย ๆ ทำไปนะคะ ค่อย ๆ ทำไปทีละขั้น ทีละขั้น ทีละขั้น ถ้าลูกได้ฝึกตัวนี้ทำจนชินนะ มันก็จะหาวิธีการที่เร็วขึ้นนะคะ ในการบวก วันนี้ครูเล่าให้ฟังเฉย ๆ นะ ตัวนี้น่ะ ครูยังไม่ให้ทำแบบฝึก เดี๋ยวสัปดาห์ต่อไปนะคะ เดี๋ยวครูจะพาลูก ๆ ลองทำดูว่าหา an โดยใช้สูตรนะคะ โดยใช้สูตรตัวนี้แหละ มันจะหาได้อย่างไร วันนี้หมดเวลาแล้ว มีคำถามไหมคะ วันนี้ มีคำถามไหม ถามอะไรไหม ไม่มี ห้ามลืมอะไรคะ การบ้าน 5 ข้อที่ครูให้ไปทำใช่ไหม บันทึกลงไปในสมุดแล้ว เราโตแล้วนะคะ ลูก ๆ จะต้องมีความรับผิดชอบ เพราะฉะนั้น ลูกต้องไปทำเองนะคะ ลูกให้ไปทำเอง โอเค วันนี้ขอบคุณพี่ล่ามมาก ๆ นะคะ หัวหน้าห้องขอบคุณพี่ล่ามด้วยค่ะ ขอบคุณค่ะ