(คุณครูอุมาพร) สวัสดีค่ะ วันนี้นะคะ เราจะมาพูดคุยถึงบทที่ 1 เรื่องเซตกันต่อนะคะ ซึ่งในบทเรียนที่แล้วนะคะ นักเรียนจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับความหมายและเซตต่าง ๆ ไปแล้ว เดี๋ยวเรามาดูกันค่ะ ว่าในบทเรียนวันนี้นักเรียนจะได้เรียนเกี่ยวกับอะไรบ้างค่ะ เดี๋ยวเรามาดูวัตถุประสงค์กันดีกว่านะคะ ในบทเรียนนี้นะคะ จะพูดถึงควาหมายของเซตว่างค่ะ บอกจำนวนสมาชิกของเซต บอกความหมายของเซตจำกัดและเซตอนันต์เขียนสัญลักษณ์ของเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ เดี๋ยวเราไปเริ่มเรียนบทเรียนกันดีกว่าค่ะ จากภาพนะคะ นักเรียนจะเห็นว่าเป็นภาชนะ 1 ใบนะคะ 1, 3, 5, 7, 9 เดี๋ยวเรามาทบทวนการแจกแจงสมาชิกกันดีกว่าค่ะ นักเรียนสามารถเขียนได้อย่างไรบ้างคะ อันดับแรกเราจะต้องเขียนวงเล็บปีกกาใช่หรือเปล่าคะ ตามด้วยสมาชิกคือ 1, 3, 57 นะคะ แล้วก็ 9 ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูภาพถัดมานะคะ ภาพถัดมาเป็นพยัญชนะเช่นกันค่ะ ตัวอักษรภาษาอังกฤษเอาไว้ นักเรียนสามารถเขียนเซตนี้ได้หรือเปล่าคะ ก็คือเราจะเขียนเป็น a, c, d, e, f ใช่หรือเปล่าล่ะค่ะ เดี๋ยวเรามาดูภาชนะที่ 3 ภาชนะใบสุดท้ายนักเรียนจะเห็นว่าไม่มีสมาชิกใด ๆ อยู่เลยนะคะ นักเรียนทราบหรือเปล่าคะ ว่าถ้าไม่มีสมาชิกอยู่เลยนักเรียนจะสามารถเขียนเชตได้อย่างไรบ้าง เดี๋ยวเรามาดูกันดีกว่าค่ะ เราจะเรียกเซตที่ไม่ม่่สมาชิกนะคะ ว่า "เซตว่าง" ค่ะ โดยจะเขียนแทนเซตว่างนะคะ ด้วยสัญลักษณ์ดังนี้ค่ะ เป็นสัญลักษณ์วงเล็บปีกกหรือเราจะใช้สัญลักษณ์วงกลมนะคะ แล้วจะมีขีดทับค่ะ ตัวอย่างของเซตว่างนะคะ เซตแรกค่ะ ให้เซต A นะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ x เป็นชื่อจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นดนักเรียนทราบไหมคะว่ามีจังหวัดอะไรบ้างในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย ฮ ตอบได้ไหมคะ นักเรียนก็คงจะตอบว่าไม่มีจังหวัดอะไรนะคะ ที่ขึ้นต้นด้วย ฮ ฮ นกฮูก ถูกต้องแล้วค่ะ ดังนั้น นะคะ เซต A จึงเป็นเซตว่างค่ะ คุณครูก็จะเขียนว่าเซต A เป็นเซตว่าง โดยใช้สัญลักษณ์นะคะ เป็นวงกลมและมีขีดแบบนี้ค่ะ ถัดมานะคะ ให้ B ค่ะเป้นเซตของ x นะคะ โดยที่ x เป็นจำนวนจริงค่ะ และ x + 1 = x ค่ะ นักเรียนสามารถหาสมาชิกของเซตนี้ได้หรือเปล่าคะ โดยการหาจำนวนจริงนะคะ ที่แทนค่าลงไปใน x ค่ะ แล้วทำให้สมการนี้เป็นจริงค่ะ นักเรียนก็คงจะตอบว่าไม่มีสมการใดเลยนะคะ ที่เป็นเป็นจริง เพราะฉะนั้นแล้ว เซตนี้ ไม่มีสมาชิกนะคะ จะได้ว่าเซต B เป็นเซตว่างเช่นกันค่ะ ต่อไปเดี๋ยวเรามาดูการหาจำนวนสมาชิกของเซตกันดีกว่าค่ะ ในการหาสมาชิกของเซตนะคะ ที่มีสมาชิกไม่มากนะคะ เราสามารถทำได้โดยเขียนแจกแจงสมาชิกนะคะ แล้วแจงนับสมาชิกทั้งหมดนั้นค่ะ เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่างกันดีกว่านะคะ ตัวอย่างนี้นะคะ จงหาจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้ ข้อที่ 1 เซตว่าง ข้อที่ 2 เซต A ค่ะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป้นพยัญชนะของภาษาไทย ข้อที่ 3 เซตของ B ประกอบไปด้วยสมาชิก x นะคะ เป็นคี่บวกที่มี 2 หลักค่ะ เดี๋ยวเรามาเริ่มการหาสมาชิกในข้อที่ 1 กันดีกว่านะคะ ข้อที่ 1 นะคะ เซตว่างค่ะ จากความหมายของเซตว่างนะคะ นะคะ เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกนะคะ จึงจะได้ว่านะคะ เซตว่างนะคะ มีสมาชิก... 0 ตัวค่ะ ถัดมานะคะ เป็นข้อที่ 2 นะคะ เดี๋ยวเรมาดูกันค่ะ ในข้อนี้นะคะ เซต A นะคะ เป็นเซตที่เขียนเงือนไขมานะคะ เราต้องทำการเขียนเซตนะคะ เป็นแบบแจกแจงสมาชิกค่ะ เดี๋ยวเรามาเขียนกันเลยดีกว่านะคะ คุณครูจะเขียนเซต A นะคะ แบบแจกแจงสมาชิกค่ะ โดยการใช้พยัญชนะภาษาไทยนะคะ ก็คือ เริ่มต้นจาก ก นะคะ ตามด้วย ข ขวด ค่ะ ไปเรื่อย ๆ นะคะ ไปถึงตัวสุดท้าย คือ ฮ นกฮูกค่ะ ในการนับสมาชิกของเซต A นะคะ นักเรียนก็สามารถนับได้เลยนะคะ ว่า ก-ฮ มีกี่ตัวค่ะ ในที่นี้นะคะ จะได้ว่าเซต A นะคะ มีสมาชิกทั้งหมด 44 ตัวนั่นเองค่ะ เดี๋ยวเรามาดูข้อ 3 กันต่อเลยดีกว่านะคะ ข้อที่ 3 นะคะ เป็นการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขเเหมือนกันค่ะ เราจะต้องทำการเขียนเซตนี้นะคะ ให้เป็นการแจกแจงสมาชิกค่ะ คุณครูก็จะเขียนเซต Bแบบแจกแจงสมาชิกค่ะ พิจารณาสมาชิกนะคะ นักเรียนจะพบว่าสมาชิกในเซต B นะคะ เป็นจำนวนคี่บวกที่มี 2 หลักค่ะ นักหรือเปล่าคะ ว่าจำนวนคี่บวกที่มีสองหลังเป็นจำนวนเลขใด ก็คือ 11 นั่นเองนะคะ ถัดมาล่ะคะ 13 ค่ะ 15 นะคะ ไปเรื่อย ๆ จนถึงตัวสุดท้ายที่มีคี่บวก 2 หลัก ก็คือ 99 ค่ะ หลังจากนั้นนะคะ นักเรียนทำการนับค่ะ สมาชิกในเซต B ค่ะ จะได้ว่านะคะ สมาชิกเซต B มีจำนวนสมาชิก 45 ตัวค่ะ เดี๋ยวเรามาดูความหมายของเซตจำกัดและเซอนันต์กันต่อเลยนะคะ เรียกเซตที่มีจำนวนสมาชิกสมาชิกเต็มบวกใด ๆ เป็น 0 ค่ะ ว่าเซตจำกัดค่ะ ตัวอย่างของเซตจำกัดนะคะ ตัวอย่างแรกค่ะ เซตของ 1, 2, 3 ไปเรื่อย ๆ จนถึง 20 ค่ะ นักเรียนจะเห็นนะคะ ว่ามีสมาชิกทั้งหมด 20 ตัว ซึ่ง 20 เป็นจำนวนเต็มบวกค่ะ เราเลยเรียกเซตนี้นะคะ ว่า "เซตจำกัด" ค่ะ ต่อไปนะคะ เป็นเซตของ X ค่ะ โดยที่ x เป็นชื่อจังหวัดประเทศไทยค่ะ นักเรียนสามารถตอบได้ไหมคะ ว่ามีจำนวนสมาชิกทั้งหมดกี่ตัว 77 ตัวนั่นเองค่ะ เพราะฉะนั้นแล้ว 77 นะคะ เป็นจำนวนเต็มบวกค่ะ เลยเรียกเซตนี้ว่าเซตจำกัดเช่นกันนะคะ เป็นเซตว่างนะคะ ซึ่งนักเรียนได้หาจำนวนสมาชิกแล้วนะคะ ก็คือ 0 นั่นเองค่ะ ก็เลยเรียกว่าเซตนี้ว่าเซตจำกัดค่ะ ถัดมานะคะ เราจะเรียกเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัดนะคะ เป็นเซตอนันต์ค่ะ ตัวอย่างเช่น เซตแรกนะคะ เซตของ 1,2,3 ไปเรื่อย ๆ ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่าไม่สมารถบอกจำนวนสมาชิกทั้งหมดได้นะคะ เซตของ 1 เศษ 1 ส่าวน 2 เศษ 1 ส่วน 4 เศษ 1 ส่วน 8 ก้ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกทั้งหมดได้เช่นกันนะคะ รวมถึงเซตของ x ค่ะ ซึ่งเป็นจำนงนเต็มค่ะ ต่อไปเดี๋ยวเรามาดูควาหมายของเอกภพสัมพัทธ์กันค่ะ ในการเขียนเซตนะคะ จะต้องกำหนดเซตที่กำหนดเซดที่บ่งบอกถึงขอบเขตค่ะ โดยจะเรียกเซตนี้นะคะ ว่า "เอกภพสัมพัทธ์โดยเรานะคะ จะเขียนแทนด้วยตัว U ลักษณะแบบนี้นะคะ โดยที่เราจะต้องมีข้อตกลงค่ะ ว่าถ้าเรากล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ นะคะ จะไม่กล่างถึงสิ่งอื่นนะคะ ที่นอกเหนือจากเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูตัวอย่างกันค่ะ กำหนดให้นะคะ เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริงนะคะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ A ประ4 นะคะ และเซต B นะคะ ประกอบโดยที่ x ยกกำลัง 3 เท่ากับ -1 ค่ะ เดี๋ยวเรามาเขียนเซต A และเซต B นะคะ แบบแจกแจงสมาชิกกันค่ะ เราจะได้เซต A นะคะ โดยการพิจารณาสมาชิกค่ะ สมาชิกของเซต A นะคะ ต้องเป็นจำนวนยกกำลัง 2 ค่ะ จำนวนอะไรบ้างคะนักเรียนทรราบหรือเปล่า ก็คือ 2 และ -2 นะคะ เมื่อเรานำ 2 และ -2 มาพิจารณานะคะ จะได้ว่า 2 และ -2 เป็นจำนวนจริงนะคะ เพราะฉะนั้นแล้ว ก็คือ 2 และ -2 ค่ะ ถัดมานะคะ นักเรียนจะเห็นว่านะคะ จำนวนที่ยกกำลัง 3 นะคะ เท่าำ-1 นะคะ ก็คือ -1 นั่นเองค่ะ แล้ว -1 ก็เป็นจำนวนจริงค่ะ เพราะฉะนั้น เซต B นะคะ มีจำนวนสมาชิก คือ -1 ค่ะ ถัดมาทางด้านขวานะคะ กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ค่ะ คือ เซตของจำนวนเต็มบวกค่ะ โดยเซตของ A ประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เท่ากับ 4 นะคะ และเซต B นะคะ ปีระกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ โดยที่ x ยกกำลัง 3 = -1 ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่าทางด้านซ้ายและขวามือนะคะ เซต A และเซต B เหมือนกันนะคะ ต่างกันที่เอกภพสัมพัทธ์ค่ะ เดี๋ยวเรามาดูกันดีกว่านะคะ ว่าการกำหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกนะคะ จะได้สมาชิกของเซต A และ เซต B เป็นอะไรบ้างค่ะ เรามาดูเซต A กันก่อนนะคะ เมื่อสักครู่นี้นะคะ นักเรียนได้หาไปแล้วใช่ไหมคะ จำนวนที่ยกกำลัง 2 เท่ากับ 4 ก็คือ 2 กับ -2 นะคะ แต่เราเมื่อพิจารณาดูแล้วนะคะ เต็มบวกค่ะ สมาชิกของ A เป็น 2 เท่านั้นค่ะ ที่ B กันต่อค่ะ เมื่อสักครู่นะคะ นักเรียนก็ได้หาไปแล้วนะคะ จำนวนที่ยกกำลัง 3 แล้วเท่ากับ -1 ก็ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกเช่นกันค่ะ เพราะฉะนั้นแล้ว เซต B นะคะ จึงเป็นเซตว่างค่ะ นักเรียนจพเห็นว่าในบางครั้งนะคะ การกำหนดเอกภพสัมพัทธ์สมาชิกของเซตนะคะ แตกต่างกันด้วยค่ะ เพราะฉะนั้นแล้วนะคะ นักเรียนควรระมัดระวัง การเขียนเซตต้องตรวจสอบนะคะเอกภพสัมพัทธ์ก่อนค่ะ ดังนั้น เราจะระบุเอกภพสัมพัทธ์ดังนี้ค่ะ โดยให้เซต N นะคะ แทนเซตของจำนวนนับค่ะ เซตของ Z นะคะ แทนเซตของจำนวนเต็มค่ะ เซตของ Q นะคะ แทนเซตของจำนวนตรรกยะค่ะ Q prime นะคะ แทนเซตของจำนวนอตรรกยะค่ะ และ R แทนเซตของจำนวนจริงค่ะ ในบางครั้งนะคะ เพื่อความสะดวกนะคะ เราจะระบุเอกภพสัมพัทธ์นะคะ แทนลงการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขค่ะ ตัวอย่างนะคะ ให้เซต A ประกอบไปด้วยสมาชิก x ค่ะ ซึ่งเป็นสมาชิกของ N ค่ะ โดยที่ N เท่ากับ 4 ค่ะ นักเรียนจะเห็นว่าในเซตนี้นะคะ มีการระบุเอกภพสัมพัทธ์นะคะ ลงไปด้านหลังตัวแปรค่ะ ซึ่งในที่นี้นะคะ เซตของ N เท่ากับจำนวนนับนั้นเองค่ะ เดี๋ยวเรามาหาจำนวนของ จำนวนที่ยกกำลัง 2 นะคะ แล้ว = 4 ก็คือ 2 และ - 2 นะคะ แต่เนื่องจากเราต้องการแค่จำนวนนับนะคะ เพราะฉะนั้นแล้ว สมาชิกของเซต มีเพียงแค่ 2 ค่ะ ถัดมาที่เซต B ค่ะ ประกอบไปด้วยสมาชิก x นะคะ โดยเป็นสมาชิกของ Z ค่ะ ยกกำลัง 2 เท่ากับ 4 นะคะ นักเรียนจะเห็นว่าเซตนี้นะคะ ก็ระบุเอกภพสัมพัทธ์ คือ Z ซึ่งเป็นจำนวนเต็มลงไปด้วยค่ะ ซึ่งเมื่อเราระบุเอกภพสัมพัทธ์นะคะ เป็นตจำวนวเต็มแล้วนะคะ สมาชิกของ B ในที่นี้จึงสามารถเป็น -2 ได้ด้วยค่ะ แบบนี้ค่ะ ถ้าเรานะคะ ไม่ได้กำหนดว่าเซตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์นะคะ ในระดับนี้นะคะ เราจะถือว่าเซตในเอกภพสัมพัทธ์ค่ะ เป็นจำนวนจริงนะคะ ต่อไปเดี๋ยวเรามาทบทวบบทเรียนกันดีกว่าค่ะ บทเรียนในวันนี้นะคะ เราพูดถึงเซตว่างค่ะ เซตว่าง คือ เซตไม่มีสมาชิกนะคะ โดยจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ปีกกาหรือไม่ก็เป็นวงกลมขีดทับค่ะ และก็เซตที่มีจำนวนสมาชิกนะคะ มีจำนวนใด ๆ หรือ 0 นะคะ เราจะเรียกว่า "เซตจำกัด" และเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัดนะคะ เราจะเรียกว่า "เซตอนันต์" ค่ะถัดมานะคะ ในการเขียนเซตจะต้องกำหนดเซตที่บ่งบอกถึงขอบเเบตของการพิจารณานะคะ ว่า "เอกภพสัมพัทธ์" ซึ่งจะเขียนแทนด้วยตัว U นะคะ แล้วก็เอกภพสัมพัทธ์ที่เราจะพบบ่อยนะคะ ก็คือ N ค่ะ เป็นจำนวนนับนะคะ Z แทนเซตของจำนวนเต็ม ของจำนวนตรรกยะ Q แทนเซตของ... และ R แทนเซตของจำนวนจริงค่ะ [เสียงดนตรี]